Числа и закон физики

/cmd

М.А. Старшов

ЧИСЛА И ЗАКОН ФИЗИКИ

По преданию у некоей Сильвии было два сына, Ромул и Рем, и после многих драматических приключений они основали великий город Рим.

Спустя много веков, в 1866 году,  был открыт астероид названный именем знаменитой, но подзабытой матери героев. По своей форме астероид Сильвия похож на крупную картофелину с массой около 2,8· 1016 кг и  размерами примерно 230· 260· 380 километров, так что средняя плотность вещества этого небесного путешественника процентов на двадцать больше плотности воды. Вокруг своей оси астероид совершает оборот за 5 часов с небольшим.

И надо же так случиться, что именно у этого астероида впервые астрономы нашли два спутника. Естественно, их так и назвали – Рем и Ромул. Сегодня известно, что оба спутника вращаются вокруг мамочки почти по круговым орбитам, Рем на среднем расстоянии 710 км, Ромул удалён на 1360 км. Времена этих оборотов равны соответственно 33 и 87,6 часа.

Так вот что интересно – если поделить периоды обращения этих лун астероида друг на друга и возвести в квадрат, получим 7,05, но если возвести в куб отношение радиусов их орбит, придём точно к той же цифре 7,05!

Иначе говоря, оба «брата»  прекрасно подтверждают с таким трудом открытый великим астрономом Иоганном Кеплером так называемый третий закон движения планет солнечной системы вокруг центрального светила (1616 г.).

Хотя, если честно посчитать, всё-таки небольшая разница  в числах присутствует – 7,0466 и 7,0282. Но это примерно четверть процента, т.е. ошибка, скажем,  в периоде обращения одной из лун астероида в несколько секунд вполне оправдает эту разницу (забавно, что отношение обратных величин тех же параметров орбит этих спутников гораздо меньше отличаются на глаз – 0, 142 и 0, 14119).

Для тех школьников, которые не напрягаются от слова «логарифм», может быть интересно вглядеться в таблицу сведений об орбитах настоящих планет нашей солнечной системы. если принять за единицу среднего расстояния любой планеты до центра Солнца, например, расстояние до этой точки от Земли, хотя это и необязательно, зато приятно для землян, а за единицу периодов обращения всех планет вокруг Солнца взять земной год, да ещё дополнить таблицу логарифмами этих величин, получим таблицу:

Планета

R/R0

lg R/R0

T/T0

lg T/T0

Меркурий

0,39

-0,4

0,24

-0,62

Венера

0,72

-0,14

0,62

-0,21

Земля

1

0

1

0

Марс

1,51

0,18

1,9

0,27

Юпитер

5,2

0,7

11,9

1,07

Сатурн

9,5

0,98

29,5

1,47

Уран

19,2

1,28

84

1,92

Этой таблички достаточно, чтобы построить в двойном логарифмическом масштабе график, показывающий зависимость периода обращения планет вокруг общего центра от расстояния их до этого центра. Получается очень хорошая прямая с тангенсом угла наклона 1,5, то есть полтора. Это и есть та самая полуторная пропорция, которую после долгих проб и ошибок чуть ли не случайно нашёл Иоганн Кеплер, не знавший ещё логарифмов. Удивительную таблицу логарифмов, правда, немного раньше опубликовал Д. Непер, но опередил совсем не намного по тем временам, да и произошло это в другой стране, так что Кеплер никак не мог воспользоваться этим гениальным изобретении в своей работе. Однако порой кое-кто пишет, что Кеплер ими пользовался на пути к открытию своего третьего закона, именно так и сформулированного автором: квадраты времён обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца.  

Позже Лаплас, кажется, скажет афористично, что изобретение логарифмов увеличило жизнь астрономов вдвое. В том смысле, что вычисления стали гораздо легче и быстрее, операции умножения, деления, возведения числа в любую степень можно теперь заменить единственным действием сложения. Несколько веков инженеры пользовались даже для самых ответственных расчётов удобной и безотказной логарифмической линейкой. Даже жаль, что сегодня её полностью вытеснили калькуляторы и компьютеры, помимо всего прочего линейка естественным образом ограничивала точность вычислений до разумного предела, третий знак в инженерных и физических расчётах, как правило, означает излишнюю точность, и на линейке именно он и был последним.

Возвращаясь к закону Кеплера, можно заметить, что точно такой же график получится, если найти данные по многочисленным спутникам Юпитера или Сатурна, у которого не только всем известные кольца есть, но и спутников немало. Цифры будут иные, но тангенс угла наклона останется всё тем же, ровно полтора. Следовательно, закон Кеплера столь же всеобщий, как закон всемирного тяготения Ньютона. В конце концов, не будь законов Кеплера, был бы гораздо сложнее путь с законам Ньютона.