Обобщение темы "Магнитное поле"

Электромагнетизм

Тема 1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

• 1.1. Магнитные взаимодействия
• 1.2. Закон Био-Савара-Лапласа
• 1.3. Магнитное поле движущегося заряда
• 1.4. Напряженность магнитного поля
• 1.5. Магнитное поле прямого тока
• 1.6. Магнитное поле кругового тока
• 1.7. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

1.1. Магнитные взаимодействия

В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает магнитное поле .

Помещенная в это поле маленькая магнитная стрелка устанавливается в каждой его точке вполне определенным образом, указывая тем самым направление поля.

Тот конец стрелки, который в магнитном поле Земли указывает на север, называется северным , а противоположный – южным .

При отклонении магнитной стрелки от направления магнитного поля, на стрелку действует механический крутящий момент М кр , пропорциональный синусу угла отклонения α и стремящийся повернуть ее вдоль указанного направления.

При взаимодействии постоянных магнитов они испытывают результирующий момент сил, но не силу .

Подобно электрическому диполю, постоянный магнит в однородном поле стремится повернуться по полю, но не перемещаться в нем.

Отличие постоянных магнитов от электрических диполей заключается в следующем:

• Электрический диполь всегда состоит из зарядов, равных по величине и противоположных по знаку.
• Постоянный же магнит, будучи разрезан пополам, превращается в два меньших магнита, каждый из которых имеет и северный и южный полюса.

Подводя итоги сведениям о магнетизме, накопленным к 1600 г., английский ученый-физик Уильям Гильберт написал труд

«О магните, магнитных телах и большом магните – Земле»

В своих трудах У. Гильберт высказал мнение, что, несмотря на некоторое внешнее сходство, природа электрических и магнитных явлений различна . Все же, к середине XVIII века, окрепло убеждение о наличии тесной связи между электрическими и магнитными явлениями .

• В 1820 г. Х. Эрстед открыл магнитное поле электрического тока.
• А. Ампер установил законы магнитного взаимодействия токов.
• Ампер объяснил магнетизм веществ существованием молекулярных токов.

магнитная стрелка

гальванический элемент

Самый распространенный вид гальванических элементов - это батарейки

Открытие Эрстеда.

При помещении магнитной стрелки в непосредственной близости от проводника с током он обнаружил, что при протекании по проводнику тока, стрелка отклоняется; после выключения тока стрелка возвращается в исходное положение (см. рис.).

Из описанного опыта

Эрстед делает вывод :

вокруг прямолинейного

проводника с током

есть магнитное поле.

Общий вывод : вокруг всякого проводника с током есть магнитное поле .

Но ведь ток – это направленное движение зарядов .

Опыты подтверждают: магнитное поле появляется вокруг электронных пучков и вокруг перемещающихся в пространстве заряженных тел.

Вокруг всякого движущегося заряда помимо электрического поля существует еще и магнитное.

qV=const

13

14

15

15

Подобно электрическому полю, оно обладает энергией и, следовательно, массой. Магнитное поле материально. Теперь можно дать следующее определение магнитного поля:

Магнитное поле – это материя, связанная с движущимися зарядами и обнаруживающая себя по действию на магнитные стрелки и движущиеся заряды, помещенные в это поле.

Аналогия точечному заряду – замкнутый плоский контур с током (рамка с током) , линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле.

15

Основное свойство магнитного поля – способность действовать на движущиеся электрические заряды с определенной силой.

В магнитном поле контур с током будет ориентироваться определенным образом .

Ориентацию контура в пространстве будем характеризо-

вать направлением нормали, которое определяется

правилом правого винта

или « правилом буравчика » :

За положительное направление

нормали принимается направление

поступательного движения винта,

головка которого вращается в

направлении тока, текущего в рамке

Контур ориентируется в данной точке поля только одним способом.

За направление магнитного поля в данной точке принимается положительное направление нормали.

15

Вращающий момент прямо пропорционален величине тока I , площади контура S и синусу угла между направлением магнитного поля и нормали

здесь М – вращающий момент , или момент силы ,

- магнитный момент контура (аналогично – электрический момент диполя).

15

Направление вектора магнитного момента совпадает с положительным направлением нормали :

15

Отношение момента силы к магнитному моменту

для данной точки магнитного поля будет одним и тем же и может служить характеристикой магнитного поля, названной магнитной индукцией :

– вектор магнитной индукции, совпадающий с нормалью

По аналогии с электрическим полем

15

Магнитная индукция характеризует силовое действие магнитного поля на ток (аналогично,

характеризует силовое действие электрического поля на заряд).

– силовая характеристика магнитного поля, ее можно изобразить с помощью магнитных силовых линий .

Поскольку М – момент силы и Р m – магнитный момент являются характеристиками вращательного движения, то можно предположить, что магнитное поле – вихревое .

15

Условились, за направление принимать направление северного конца магнитной стрелки.

Силовые линии выходят из северного полюса, а входят, соответственно, в южный полюс магнита.

Для графического изображения полей удобно пользоваться силовыми линиями ( линиями магнитной индукции ).

Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора в этой точке.

15

Конфигурацию силовых линий легко установить с помощью мелких железных опилок которые намагничиваются в исследуемом магнитном поле и ведут себя подобно маленьким магнитным стрелкам ( поворачиваются вдоль силовых линий ).

15

1.2. 3акон Био–Савара–Лапласа

В 1820 г. французские физики Жан Батист Био и Феликс Савар , провели исследования магнитных полей токов различной формы. А французский математик Пьер Лаплас обобщил эти исследования.

15

qV=const

27

3акон Био–Савара–Лапласа

Элемент тока длины d l создает поле с магнитной индукцией :

или в векторной форме:

27

Здесь: I – ток;

– вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, куда течет ток;

– радиус-вектор, проведенный от элемента тока в точку, в которой мы определяем

;

r – модуль радиус-вектора;

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы единиц.

27

Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и точку, в которой вычисляется поле .

27

31

Направление связано с направлением

« правилом буравчика » : направление вращения головки винта дает направление , поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

31

Закон Био–Савара–Лапласа устанавливает величину и направление вектора в произвольной точке магнитного поля, созданного проводником с током I .

Модуль вектора определяется соотношением:

где α - угол между и ; k – коэффициент пропорциональности.

31

Закон Био–Савара–Лапласа для вакуума можно записать так:

где – магнитная постоянная.

31

I

31

31

Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма ( суперпозиция ) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока :

31

1.3. Магнитное поле движущегося заряда

Электрический ток – упорядоченное движение зарядов , а магнитное поле порождается движущимися зарядами.

Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью

31

Индукция магнитного поля, создаваемого одним зарядом , движущимся со скоростью :

31

В скалярной форме индукция магнитного поля одного заряда в вакууме определяется по формуле:

Эта формула справедлива при скоростях заряженных частиц

31

1.4. Напряженность магнитного поля

Магнитное поле – это одна из форм проявления электромагнитного поля , особенностью которого является то, что это поле действует только на движущиеся частицы и тела, обладающие электрическим зарядом, а также на намагниченные тела.

31

Магнитное поле создается проводниками с током, движущимися электрическими заряженными частицами и телами, а также переменными электрическими полями.

Силовой характеристикой магнитного поля служит вектор магнитной индукции поля, созданного одним зарядом в вакууме:

31

31

Напряженностью магнитного поля называют векторную величину , характеризующую магнитное поле и определяемую следующим образом:

Напряженность магнитного поля заряда q , движущегося в вакууме равна:

З акон Био–Савара–Лапласа для

31

1.5. Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим магнитное поле

прямого тока

31

Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода . Из рис. 1.6 видно, что:

Подставив найденные значения r и d l в закон Био–Савара–Лапласа, получим:

31

Для конечного проводника угол α изменяется от α 1 до α 2 . Тогда:

Для бесконечно длинного проводника α 1 = 0,

а α 2 =  , тогда:

или

(1.5.1)

(1.5.2)

47

1.6. Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим поле, создаваемое током I , текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R .

47

т.к. угол между и α – прямой, то

тогда получим :

(1.6.1)

47

Подставив в (1.6.1) и, проинтегрировав по всему контуру

получим выражение для нахождения магнитной индукции кругового тока :

При х = 0 , получим магнитную индукцию в центре кругового тока :

(1.6.2)

(1.6.3)

47

51

Заметим, что в числителе (1.6.2)

– магнитный момент контура. Тогда, на большом расстоянии от контура, при , магнитную индукцию можно рассчитать по формуле:

(1.6.4)

51

Силовые линии магнитного поля кругового тока хорошо видны в опыте с железными опилками ( см. рис.).

51

51

55

1.7. Теорема Гаусса для вектора

магнитной индукции

Поток вектора через замкнутую поверхность должен быть равен нулю .

Таким образом:

Это теорема Гаусса для Ф В (в интегральной форме): поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю .

(1.7.1)

55



55

В природе нет магнитных зарядов – источников магнитного поля , на которых начинались и заканчивались бы линии магнитной индукции .

Заменив поверхностный интеграл в (1.7.1) объемным, получим:

где – оператор Лапласа .

(1.7.2)

55

М агнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю :

или

Электростатического поля может быть выражено скалярным потенциалом φ , а магнитное поле – вихревое, или соленоидальное

(1.7.3)

55

Основные уравнения магнитостатики

• Основные уравнения магнитостатики для магнитных полей, созданных постоянными потоками зарядов, записанные в дифференциальной форме, имеют вид

div B = 0, rot B =  0 j .

Первое из этих уравнений говорит, что дивергенция вектора В равна нулю.

• Если сравнить его с аналогичным уравнением для электрического поля

то можно прийти к выводу, что магнитного аналога электрического заряда не существует. Нет зарядов, из которых выходят линии вектора магнитной индукции В .

• Возникают магнитные поля в присутствии токов и являются вихревыми полями в области, где есть токи .
• Векторная функция векторного аргумента – ротор, взятая от В, пропорциональна плотности тока

=  0 j .

• Магнитные линии образуют петли вокруг токов.
• Не имея ни конца, ни начала, линии В возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли.
• В любых, самых сложных случаях линии В не исходят из точек.
• Утверждение, что div В = 0 , справедливо всегда.

Сравнив уравнения магнитостатики

rot В =  0 j , div В = 0

с уравнениями электростатики

rot Е = 0, div Е =

можно заключить, что электрическое поле всегда потенциально, а его источниками являются электрические заряды.

55