Введение в комбинаторику

№ п/п

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Ожидаемый результат

1

Организационно мотивационный

- приветствие учащихся

- сообщение темы урока

- сообщение цели и способа деятельности

- приветствие учителя

- принятие темы, цели урока

- включение в работу

- настрой на урок

- мотивация к деятельности

2

Введение в тему

Лекция.

В математике есть задачи, в которых требуется из элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, составленных по определённому правилу. На практике часто приходится делать перебор определённого количества данных.

Например, учителю приходится распределять различные виды работ между группами учащихся, офицеру выбирать из солдат наряд, агроному размещать культуры на полях и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов. Задачи такого типа называются комбинаторными задачами.

Слайд 2.

Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Некоторые комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., в Древнем Китае, позднее в Римской империи. Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке.

Решение комбинаторных задач - это перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения. Если комбинаторная задача имеет несколько решений, то возникает вопрос о подсчете таких решений, возникает проблема оптимального варианта решения задачи.

Слайд 3.

Задача. Путешественник хочет выехать из города А, посетить города В,С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать?

На рисунке схема путей, связывающих города. Варианты путешествия отличаются порядком посещения городов В, С, D.

Есть ли оптимальные варианты решения данной задачи? (Есть. Это кратчайшие пути ABDCA и ACDBA.)

Бурное развитие экономических приложений математики привело к возникновению и изучению обширного класса комбинаторных задач - задач на оптимизацию.

Мы на уроках комбинаторики при решении комбинаторных задач будем подсчитывать число решений.

Слайд 5.

Этот раздел комбинаторики называется теорией перечислений.

Термин «факториал» происходит от латинского слова factor – производящий.

Произведение первых n натуральных чисел, т.е. 1• 2 • 3 •…• n называют «n-факториал» и обозначают n! («эн факториал»)

Слайд 6.

1•2•3•…•n=n!

Слайд 7.

4! = 1•2•3•4=24

3! =1•2•3=6

6!= 1•2•3•4•5•6=720

Факториалы в комбинаторике возникают очень часто. Поэтому принято считать, что если ответ выражен через факториал, то задача решена.

Слайд 8.

Главное свойство факториала (следует из определения): (n+1)!=(n+1)•n!

Подставим в эту формулу n=0.

Слайд 9.

Следствие: 1!=1, 0!=1

- делают необходимые записи

- решают задачу

- составляют по рисунку на слайде таблицу

- сверяют с таблицей на слайде 4

- отвечают на поставленный вопрос

- записывают определение факториала

- записывают формулу для вычисления факториала

- вычисляют факториалы

- записывают свойство факториала

- записывают формулы

- знакомство с основными понятиями комбинаторики

- знакомство с новым типом задач

- усвоение способа вычисления факториала

3

Применение изученного

Работа в группах

Слайды 9-11.

1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) при n=3

Работа в парах

Слайды 12-14.

2. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Слайд 15.

3. Решить систему уравнений:

Слайды 16-17.

4. Упростить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

- выполняют задания, ответы сверяют с данными на слайдах

-

6

Постановка домашнего задания

Слайды 18.

1. Вычислить:

а) 6!;б) ; в) ;г) ; д) ;е) .

2. Решить уравнения:

а) ;

б) .

-записывают домашнее задание

- понимание домашнего задания

7

Подведение итогов

Вопросы учащимся:

- С каким разделом математики сегодня познакомились?

- Что такое факториал?

- каково его основное свойство?

Чему равны 1! и 0! ?

Слайд 19.

-Спасибо за урок

- отвечают на вопрос

-определение уровня присвоения темы