ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА на тему «Формула корней квадратного уравнения»

Тип занятия:

урок изучение нового материала

Авторы УМК:

УМК Мерзляк А.Г., Полонский В. Б., Якир М. С. «Алгебра: 8 класс». Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. – М.: Вентана – Граф, 2018

Основные понятия

Квадратное уравнение, коэффициенты квадратного уравнения, приведенное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, дискриминант

Цель деятельности: организовать работу учащихся, направленную на вывод формул нахождения корней квадратного уравнения и использование формулы при решении квадратных уравнений.

Планируемый результат обучения

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Уметь находить корни квадратного уравнения по формулам, уметь определять количество корней по значению дискриминанта.

Личностные:
- формирование представлений о значимости математики в развитии современного общества;
- развитие логического и критического мышления;
- развитие умения работать в группе, в паре;

Метапредметные:
- уметь анализировать и осмысливать текст задачи;
- извлекать из текста необходимую информацию;
- строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы;
- оценивать полученный результат;
- осуществлять самоконтроль;

Предметные:
- решать квадратные уравнения, а также приводимые к ним уравнения;
- научиться работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации);
- делать проверку вычислений.

Межпредметные связи

история, литература, геометрия

Оборудование

1. Учебник.

2. Презентация к уроку.

3. Мультимедийный проектор.

4. Раздаточный материал для индивидуальной работы

Организация пространства.

Формы работы

Фронтальная(Ф), Индивидуальная(И), Работа в парах(П)

Этап

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1. Мотивация к учебной деятельности (1 мин)

Цель этапа: включение обучающихся в деятельность на личностно-значимом уровне

Здравствуйте, дети!

«Приобретать знания - это храбрость.

Приумножать знания - это мудрость.

А умело применять - великое искусство.»

Начать наш сегодняшний урок мне хотелось бы следующим высказыванием о персонаже в произведении английского поэта средних веков Джеффри Чосера из сборника «Кентерберийские рассказы»

«…Посредством уравнений, теорем,

я уйму всяких разрешал проблем…»

Как вы думаете, какому математическому понятию, будет посвящено наш сегодняшний урок?

Учащиеся слушают цитату.

Эмоциональный настрой.

Уравнения

Р6, Л1,Л2,К1

2. Актуализации знаний, постановка учебной задачи (5 мин)

Цель этапа: подготовка мышления учащихся и осознание ими потребности к выявлению причин затруднений в собственной деятельности.

(Ф)

Как вы думаете, какова цель нашего урока?

Раз уж мы говорим об уравнениях, давайте вспомним – что это такое?

Мы прочтем стихотворенье

О квадратном уравнении.

Что застыл как камень, брат?

Ну пиши: ах² Плюс bх, плюс с. И смело

Зануляй все это дело.

О квадратном уравнении

Получил ты представление.

Безусловно нужно знать,

Как уметь его решать.

Итак, о каком же виде уравнений идет речь? Назовите общий вид такого уравнения.

Является ли уравнением выражение (х + 1)(х – 4) = 0?

Запишите его в тетрадях. Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?

Хорошо.

Решите, пожалуйста, это уравнение.

А можно ли его решить другим способом?

Приведите наше уравнение к такому виду.

Назовите его коэффициенты. А что еще вы можете сказать об этом уравнении?

Хорошо.

Устная работа.

1. Какие уравнения называются квадратными?

2. Какое максимальное число корней может иметь квадратное уравнение?

3. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

4. Какое уравнение называется неполным квадратным?

5. Какая теорема планиметрии часто используется при решении задач на составление квадратного уравнения?

Высказывают предположения.

Равенство, содержащее неизвестное.

Квадратное

Уравнения вида

ах² + вх + с = 0.

Да.

Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

х = -1 и х = 4.

Да, его можно привести к квадратному уравнению.

х2 – 3х – 4 = 0

Оно полное и приведенное.

Р1, Р3, П2, К2,К3

3. Создание проблемной ситуации (5 мин).

Цель: обсуждение затруднений, поиск решения учебной задачи.

(Ф)

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскара

О безьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая,
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?

Давайте попробуем решить задачу. Каким способом?

Верно, уравнение – универсальный способ решения задач различных областей науки.

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – (x/8)².

С оставим уравнение:

(x/8)²+12=x;

X²/64-х+12=0

x²-64х+768=0

Но для решения необходимо знать формулы корней квадратного уравнения.

Слайд

Ответы детей. Высказывают мнения.

Уравнением

Р1, Р2, П4, П8, К3,К4

4. Совместное открытие нового знания. (15 мин)

Цель этапа: построение учащимися нового способа действий и формирование умений его применять, как при решении задачи, вызвавшей затруднение, так и при решении задач такого класса или типа вообще

(Ф)

Вывод формулы. Для решения поставленной задачи воспользуемся уже известным нам методом выделения полного квадрата.

Уравнение общего вида выглядит следующим образом ах²+вх+с=0 – квадратное уравнение, где а, в, с числа, и а≠0

Разделим обе части нашего уравнения на а (это сделать возможно, т.к. а≠0). Далее следует вывод формул корней квадратного уравнения:

Проанализируем полученное выражение.

- Всегда ли данное выражение будет иметь смысл? От чего это зависит?

- Какие значения может принимать подкоренное выражение?

- Если подкоренное выражение будет положительным, сколько корней будет иметь квадратное уравнение?

- Если подкоренное выражение будет = 0, сколько корней будет иметь квадратное уравнение?

- Если подкоренное выражение будет отрицательным, сколько корней будет иметь квадратное уравнение?

Значит подкоренное выражения для нас очень важно. Этому выражению математики придумали особенное название: дискриминант. В переводе с латыни это слово означает «различать». Обозначается дискриминант D

Формула для вычисления корней квадратного уравнения общего вида будет иметь вид

(П)

Составление алгоритма решения квадратных уравнений

Контролирует работу пар.

Составим алгоритм решения квадратных уравнений с помощью формулы корней. ( на столах заготовка данной блок-схемы, заполнять которую вы будете группой)

Вопросы для схемы:

1) Значение каких величин нам необходимо знать для решения квадратного уравнения?

2) Что нам необходимо вычислить, чтобы выяснить есть ли у данного уравнения действительные корни или их нет?

Запишем формулу дискриминанта в блок схему.

3) Что надо сделать с дискриминантом, чтобы выяснить существуют ли корни у данного уравнения?

Какое условие мы запишем ?

Если данное условие не выполняется, то какие возможны варианты?

Если Д=0, то сколько корней будет иметь уравнение?

Вычисляем его по формуле. При выполнении последнего условия корней у уравнения нет.

D

D = 0

D 0

Уравнение не имеет корней

Уравнение имеет один корень

Уравнение имеет два корня

Определить коэффициенты а, в, с

Вычислить дискриминант D = b²- 4ac

Анализируют полученные формулы, отвечают на вопросы по способу преобразования уравнения

от значения подкоренного выражения

положительное, отрицательное, 0

2 корня

1 корень

Корней нет

Работают в парах, заполняют блок схему. Группа, выполнившая задание быстрее всех, представляет свой результат у доски

а, в, с

дискриминант

сравнить с 0

Д0

Д=0 или Д

1

Пример алгоритма: 1)Выписать коэффициенты уравнения

2)Вычислить дискриминант, определить число корней

3)Найти корни

4)Записать ответ. Обсуждают правильность выбора способа действия. Оформляют вывод, как алгоритм вычисления

Р3, П2, П4, П9, К4, К6, К7,

4. Первичное закрепление и проговаривание во внешней речи (2 мин)

Цель этапа: проговаривание нового знания

Итак вернемся к решению нашей задачи. Напомню:

Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая,
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?

(x/8)²+12=x;

X²/64-х+12=0

x²-64х+768=0

Найдем корни полученного ранее уравнения:

Решение:

D=1024

x1=16, x2=48

Ответ:16 и 48.

Р2, Р7, П8, К4

1. Динамическая пауза(1 мин).

Цель: Создать условия для снятия переутомления.

Учитель проводит гимнастику.

Коль писать мешает нос,

Значит, это сколиоз

Вас сгибает над тетрадкой,

Позвоночник не в порядке.

Мы ему сейчас поможем:

Руки за голову сложим,

Повороты влево – вправо,

И наклоны влево – вправо,

Ручки к солнцу потянулись,

Мы назад ещё прогнулись,

Повращаем мы плечами,

Чтоб они не подкачали.

Улыбнулись всем, кто рядом.

Вот! Уже другой порядок!

А теперь повыше нос:

Нам не страшен сколиоз.

Сядем ровно, ручки – в руки,

Продолжаем путь к науке!

Встают.

Делают гимнастику

Л3

6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. (5 мин)

Цель этапа: интериоризация способов действий, вызвавших затруднения, самопроверка их усвоения, индивидуальная рефлексия достижения цели и создание (по возможности) ситуации успеха.

Работа с учебником по вариантам

№ 656(а), 659(а) №656(б), 659(б)

Два сильных ученика выполняют упражнения за доской.

Работают индивидуально (если возникают затруднения, обращаются за помощью).

Сверяют с готовым решением

Р3, Р4, Р8, Р9, П10, К1, К7

7. Включение в систему знаний и повторение. (5 мин)

Цель этапа: включение «открытия» в систему знаний.

Какое уравнение удобнее решать:

- Извлечением квадратных корней из обеих его частей? (Д)

- Представляя его в виде квадрата двучлена? (О)

- Вынесением общего множителя за скобки? (И)

- Используя общую формулу корней? (Ф)

- По формуле, связанной с чётностью второго коэффициента? (А)

- Разложением на множители по формуле разности квадратов? (Т)

Самопроверка на слайде

Диофант

Р7, П2, П5, П8, К1,К2, К3

8.Рефлексия учебной деятельности (1 мин)

Цель этапа: осознание обучающимися своей УД (учебной деятельности), самооценка результатов деятельности своей и всего класса.

Упражнение «Система координат». 

Ось х — увеличение багажа знаний, приобретение опыта; ось у — активность, удовольствие. На четырех секторах системы координат каждому участнику предлагается «сделать выстрел в мишень» (используя маркер, поставить знак в каждом из четырех секторов системы координат по принципу мишени). Чем ближе расположен знак к центру пересечения осей, тем выше оценивает ученик свою деятельность по предложенным параметрам на уроке.

Высказывают мнения.

Оценивают свою активность и приобретенные знания.

Р5, Л1, К8,

9.Домашнее задание (1 мин)

Учебник

№658, 660(1-4), 664(1-2) выучить формулы.

Записывают в дневник.

Р1