Конспект урока алгебры в 11 классе "Логарифмическая функция, её свойства и график"

Алгебра

11 класс

Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10 изд., стер. – Мнемозина, 2009.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. – 10 изд., стер. – Мнемозина, 2009.

Уровень обучения – базовый

Тема урока: Логарифмическая функция, её свойства и график.

Общее количество часов, отведенное на изучение темы – 3 часа.

Место урока в системе уроков по теме – урок решения ключевых задач

Цель урока – формирование понятия логарифмической функции.

Задачи урока: Образовательные: 1. Закреплять понятие логарифма, логарифмической функции, основные формулы. 2. Учить решать типовые задачи с использованием логарифмической функции. Развивающие: 1. Развивать аналитическое мышление. 2. Развивать зрительную память. 3. Развивать математическую речь учащихся. Воспитательные: 1. Воспитывать ответственное отношение к учебе. 2. Воспитывать графическую культуру.

Планируемые результаты: Знать: определение логарифмической функции, свойства функции в зависимости от основания логарифма. Уметь: строить и читать графики логарифмической функции, находить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.

Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, экран

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока - сайт mathege.ru, сайт http://interneturok.ru

Содержание урока.

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Давайте вспомним, что мы изучали на прошлом уроке. (Учащиеся называют тему прошлого урока). Достаточно ли хорошо вы изучили этот материал? Можете ли вы использовать изученный материал для решения задач? (Учащиеся: пока ещё нет, нужно научиться применять знания о логарифмической функции для решения задач). Верно. Значит, сегодня нам нужно продолжить изучение темы «Логарифмическая функция, её свойства и график» и научиться решать типовые задачи.
Откройте, пожалуйста, тетради. Запишите дату и тему урока. (Тема урока на экране)

1. Самостоятельная работа (подготовка к ЕГЭ).

Но, прежде чем начинать решать задачи по теме урока, уделим несколько минут подготовке к ЕГЭ и повторению изученного ранее. На экране две задачи. В вашем распоряжении ровно три минуты на их решение. В тетради нужно записать очень краткое решение и ответ.

а) На рисунке изображен график  — производной функции f(x), определенной на интервале (-18;6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1]. (Чертёж к задаче в презентации, Приложение)

б) На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке x₀. (Чертёж к задаче в презентации, Приложение)

1. Анализ заданий и решений самостоятельной работы. Взаимопроверка.

Время на решение задач закончилось. Обменяйтесь, пожалуйста, тетрадями. Как вы решили задачу под буквой а? (Учащиеся объясняют, дают ответ) Поставьте плюс, если решение верное, минус, если решение неверное, и плюс-минус, если допущена ошибка вычислительного характера. Как вы решили задачу под буквой б?
Теперь возьмите свои тетради и посмотрите результат. Те ребята, у которых имеются минусы, выполните дома работу над ошибками – решите по три аналогичных задачи с сайта mathege.ru (задание №7).

1. Повторение (фронтальный опрос)

Итак, переходим к изучению логарифмической функции. Очень быстро вспомним определение логарифмической функции (учащиеся отвечают). Перечислите, пожалуйста, свойства логарифмической функции.

Молодцы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы.

А1. График какой функции изображен на рисунке? (чертежи выводятся на экран) Почему вы так решили?

 А2. График какой функции изображен на рисунке? Обоснуйте ответ

А3. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

А4. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

 А5. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка. Тогда каким функциям принадлежат остальные графики?

1. Решение типовых задач

I) Решение простейших уравнений и неравенств.

Ребята, как вы считаете, какую самую первую, самую главную типовую задачу нужно научиться решать? (Научиться решать уравнения). Верно, сначала мы научимся использовать график логарифмической функции для решения простейших уравнений и неравенств. Как это делать, подробно и понятно и написано в учебнике.

Работа с учебником – стр. 254 (учащиеся самостоятельно читают, затем один из учащихся воспроизводит решение на доске)

(Решение примера смотри в презентации, Приложение)

Решим ана­ло­гич­ную за­да­чу.

II) Ребята, ещё одной важ­ной ти­по­вой за­да­чей яв­ля­ет­ся оцен­ка ло­га­риф­ми­че­ских кон­стант. (разбор решения совместно с учителем)

При­мер 1 – оце­нить числа:

а) log₂7 б) log₂3

Рас­смот­рим ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с ос­нов­ан­и­ем 2:

При х=1 функ­ция равна нулю. По­ка­жем неко­то­рые сте­пе­ни двой­ки. На­при­мер, х = 2 (пер­вая сте­пень), при этом у = 1; х = 4 (вто­рая сте­пень), при этом у = 2; х = 8  (тре­тья сте­пень), при этом у = 3

Ар­гу­мент х = 7  рас­по­ло­жен между х = 4  и х = 8 , от­сю­да зна­че­ние функ­ции у(7) = log₂7  рас­по­ло­же­но между двой­кой и трой­кой.

Ана­ло­гич­но ар­гу­мент х = 3  рас­по­ло­жен между х = 2  и х = 4 , от­сю­да зна­че­ние функ­ции у(3) = log₂3  рас­по­ло­же­но между еди­ни­цей и двой­кой.

Ответ: а) 2 log₂7 log₂3

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство: (log₅30 – log₂10)x 0 

Оче­вид­но, что ре­ше­ние сво­дит­ся к оцен­ке ло­га­риф­ми­че­ских кон­стант.

Итак, оце­ним пер­вый ло­га­рифм, вто­рой ло­га­рифм, а затем всю скоб­ку.

2 log₅30 2 3

3 log₂10 3 4

Таким об­ра­зом, пер­вый ло­га­рифм лежит в пре­де­лах от двух до трех, а вто­рой – от трех до че­ты­рех, оче­вид­но, что их раз­ность  мень­ше либо равна нулю. Таким об­ра­зом, чтобы вы­пол­ня­лось за­дан­ное нера­вен­ство необ­хо­ди­мо чтобы х был от­ри­ца­тель­ным.

Ответ: (-∞;0)

Давайте проверим себя, как мы научились оценивать логарифмические константы.

Работа с задачником - самостоятельное решение по вариантам (один вариант решает под буквой а, другой – под буквой б) и проверка решения на доске (от каждого варианта выходят по одному человеку и выписывают решение)

А как вы решите следующие задачи? Каким свойством логарифмической функции вы воспользуетесь? Верно, воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции. (самостоятельное решение задач и устная проверка решений с комментированием)

III) Следующая типовая задача – построение графиков логарифмических функций (фронтальная работа)

При­мер 1 – по­стро­ить гра­фик функ­ции:  

Как вы будете строить график этой функции? Какое преобразование графика здесь применяется?

Чтобы уве­рен­но ре­шать по­доб­ные за­да­чи, нужно знать внеш­ний вид гра­фи­ка ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции и знать пра­ви­ла пре­об­ра­зо­ва­ния гра­фи­ков. В дан­ном слу­чае пер­вым дей­стви­ем мы стро­им график функ­ции , а вто­рым сдви­га­ем его на две еди­ни­цы впра­во.

В сле­ду­ю­щих за­да­чах важно учи­ты­вать об­ласть опре­де­ле­ния.

При­мер 2 – по­стро­ить гра­фик функ­ции:

а) y = log_xx

Как бы вы построили график этой функции? С чего мы начинаем исследование функции? Верно, с нахождения области определения. Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния. За­дан­ный ло­га­рифм су­ще­ству­ет, когда ар­гу­мент боль­ше нуля и не равен еди­ни­це: x 0, x ≠ 1,
Но тогда y = 1, т.к. x¹ = x

По­лу­ча­ем гра­фик функ­ции:

б)

И снова – с чего начинается построение графика функции? Какая область определения у этой функции? За­дан­ная функ­ция опре­де­ле­на, когда ар­гу­мент стро­го боль­ше нуля: x 0.
Но тогда, со­глас­но ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству, y = x. Получаем гра­фик функ­ции:

IV)  Переходим к решению следующей типовой задачи – нахождению области значений функции

При­мер – найти об­ласть зна­че­ний функ­ции: 

Рассмотрим вспомогательную функ­цию

Это квад­ра­тич­ная функ­ция, x² ≥ 0 значит, t ≥ 4

Те­перь за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию об­ла­сти зна­че­ний сле­ду­ю­щей функ­ции:

Дан­ная функ­ция нам зна­ко­ма, мы знаем, что ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция с ос­но­ва­ни­ем 2 мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, ис­хо­дя из этого, нам до­ста­точ­но найти зна­че­ние функ­ции при t = 4 :

y (4) = log₂ 4 = 2

Ответ: [2; + ∞)

Давайте проверим, как вы научились решать этот тип задач.

Закрепление - работа с учебником (самостоятельно, с взаимопроверкой):

1. Домашнее задание: №№ 42.6, 42.8 вг, 42.10 вг

2. Подведение итогов урока

Итак, давайте вспомним – какие типовые задачи мы сегодня рассмотрели (учащиеся отвечают). Все ли задачи вы научились решать? Легко ли вам будет их решить самостоятельно, если это понадобится? Как вы оцениваете свою работу на этом уроке?

Логарифмическая функция, её свойства и график

Подготовка к ЕГЭ

А1.  График какой функции изображен на рисунке?

1)

у = 2 х

2)

у = log 2 х

3)

у = (0,5) х

4)

у = log 0,5 х

А2.  График какой функции изображен на рисунке?

1)

у = 3 х

2)

у = log 3 х

3)

у = (1/3) х

4)

у = log 1/3 x

А3.  На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = log π x . Укажите номер этого рисунка.

1

2

3

4

А4.  На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = log 0,1 x . Укажите номер этого рисунка.

1

2

3

4

А5.  На одном из рисунков изображен эскиз графика функции у = log 3 (x – 2). Укажите номер этого рисунка.

Пример 1 – оценить числа: а) log 2 7 б) log 2 3 Рассмотрим логарифмическую функцию с основанием 2:

0 " width="640"

• Пример 2 – решить неравенство: (log 5 30 – log 2 10)x 0 

Пример 1 – построить график функции: у = log 1/3 (x – 2)  

Пример 2 – построить график функции: а) y = log x x

б)

Пример – найти область значений функции: