Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

познакомиться с формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, учиться применять на практике.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии»

Конспект урока алгебры в 9 классе
Тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Класса: 9
Цель урока: формирование знаний и первичное закрепление умений по теме «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии»

Образовательная: познакомиться с формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, учиться применять на практике.
Воспитательная: учить слушать и слышать, уважать чужое мнение, поддерживать других и быть к ним благожелательными.
Развивающие: способствовать развитию критического мышления через восприятие информационного текста; используя приемы технологии критического мышления, стимулирующие мыслительную и творческую деятельность учеников, учить вдумчивому чтению.

Номер урока в теме: 1

Тип урока: Урок изучения новых знаний.

Технологии обучения: урок-лекция, проблемное,

Формы организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, коллективные способы обучения

Оборудование урока: компьютер и мультимедийное оборудование; карточки с заданиями

Методическое сопровождение: компьютерная презентация

^ ПЛАН УРОКА

Блоки	Этапы урока	Время
1	организационный момент мотивация, постановка цели актуализация изучения темы	8 мин.
2	Основная часть: первичное усвоение нового материала осознание, осмысление первичное закрепление и применение нового материала	22 мин.
3	Домашнее задание и рекомендации по его выполнению	2 мин.
4	Подведение итогов урока: - выполнение Теста - достижения - рефлексия	8 мин.

^ 1.Постановка целей урока

Сегодня, ребята, мы продолжаем изучение геометрической прогрессии. Давайте вместе с вами вместе попытаемся сформулировать тему нашего урока. Слайд 1

Работа в тетради, на доске число. Запишем тему урока в тетради: «Сумма n первых членов геометрической прогрессии. Мы должны познакомиться с формулой суммы первых п членов геометрической прогрессии и учиться применять ее Слайд 2

Прежде чем перейти к новой темы, мы с вами продолжаем готовиться к итоговой аттестации. Слайд 3.

2.Устная работа

. Вопросы
1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? 2. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

3. В третьем тысячелетии високосными годами будут 2008, 2012 ,2016, 2020 продолжите, в какой последовательности записаны года?

У каждой группы на столе находятся карточки с формулами. Учитель называет формулу, дети, молча, поднимают карточку.

+(n-1)d		Sn= n		d=
		q=

Учитель:
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
Формула для нахождения разности арифметической прогрессии
Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии

Слайд 4 Найти знаменатель геометрической прогрессии

Итак, мы повторили основные формулы геометрической прогрессии. Вы показали свои знания по предыдущим темам. Скажите, кто из вас играет в шахматы Представьте себе шахматную доску...

^ 3. Историческая справка (слайды 5-10)

Ученик 1 группы.

Индийский царь Шерам, впервые познакомившись с шахматами, восхитился их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что замечательную игру изобрёл его подданный Сета, царь призвал к себе мудреца, желая лично наградить за выдумку. Властелин обещал выполнить любую его просьбу и был удивлен, когда тот попросил лишь некоторое количество пшеничных зёрен. На первое поле доски он попросил положить одно зерно, на второе – два и так далее: на каждое последующее поле нужно было класть вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь распорядился побыстрее выдать изобретателю его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что для выполнения его приказа не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал

^{1 + 2 + 2}2 ^{+ … + 2}63 ^{= 2}64 - 1 зерно. Это число записывается двадцатью цифрами и фантастически велико.

18 квинтиллионов 446 квадриллионов
744 триллиона 73 миллиарда
709 миллионов 551 тысяча 615 зерен

^ 4.Актуализация новых знаний.

Ученик 2 группы (слайд 11)

Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму п первых её членов через S_n:

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n. (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

S_nq=b₁q+b₂q+b₃q+…+b_n-1q+b_nq.

Учитывая, что b₁q=b₂, b₂q=b₃, b₃q=b₄, …, b_n-1q=b_n,

Получим S_nq=b₂+b₃+b₄+…+b_n+b_nq. (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

S_nq – S_n=( b₂+b₃+…+b_n+b_nq) – (b₁+b₂+…+b_n-1+b_n)=b_nq – b₁.

S_n(q – 1)=b_nq – b₁.

Отсюда следует, что при q ≠ 1
(слайд 12)
. (I)

Мы получили формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии, в которой q ≠ 1. Если q=1, то все члены прогрессии равны первому члену иS_n=nb₁.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо b_n выражение b₁q^{n – 1}. Получим:

, если q ≠ 1. (II)

Учитель

1 задача : Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии ( b_n), которой b1=3 и q= .
Т.к. известны первый член и знаменатель прогрессии, то удобно пользоваться формулой (II). Получим:

^ 5. Физкультминутка.

Гимнастика для глаз.
Я буду называть последовательность. Если арифметическая прогрессия, то 2 раза поднять обе руки, если геометрическая прогрессия, то подпригиваем 4 раза.

1) 1,2,3, 4, ...

2) 5, 25, 125, 625,..

3) 1, 3, 8, 10, ...

4) 2. 4, 8, 16, 32,..

6. Решение задач по группам.

Учитель раздает каждой группе 5 задач и объясняет задание.

1 группа	2 группа
1) b1=2 и q=2.Найти S	2) 6) b1=3 и q=-2. Найти S
3) №648 (а)	4) № 648 (б)
5) № 649 (а)	7) №649 (в)
8) № 649 (б)	9) № 649 (г)
10) Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320? q=2,	11) Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после их десятикратного деления, если первоначально было 6 клеток. , q=2 клетки делились 10 раз, значит надо найти

Ответы

1 группа	2 группа
1) Отв: 30	2)6) Отв:-15
3) №648 (а) Отв 15,5	4) № 648 (б) Отв: 624,8
5) № 649 (а) Отв: -63	7) №649 (в) Отв:-63
8) № 649 (б) Отв: 147	9) № 649 (г) Отв:
10) Отв 5	11) Отв: 6144

Перед вами пять задач. Каждой группе предложено обсудить решение 5-ой задачи. В течение 5 минут вы обсуждаете задачу и предлагаете ее решение. Затем один из группы выходит к доске и записывает решение задачи. При записи задачи на доске, весь класс записывает решение в свои тетради. У каждой группы на парте есть ватман, вы можете сделать к задаче пояснительную схему.

^ 7. Решение тестов

«3»	«4»	«5»
1. b₃=12, b₅=48 q-? A) 4 Б) -4;4 В) -2 Г) -2;2	b₄=25, b₆=16 q-? A) Б) ; В) Г) ;	b₁₂=3¹⁵, b₁₄=3¹⁷ q-? A) 9 Б) -9;9 В) -3 Г) -3;3
2. Изданных геометрических прогрессий выберите ту, среди которой есть число 5. A) a_n = -3ⁿ Б) a_n = 3ⁿ В) 32^n-1 Г) a_n = 23^n-1	2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них геометрическая прогрессия. Укажите A) 1; … Б) 1;3;5;7;… В) 1;2;4;8;… Г) 1;2;3;5;…	2. В геометрической прогрессии b₅=12 b₇=27 b₆-? A) 19,5 Б) 25 В) 18 Г) 36
3. b₁=64, q=2 S₅-? A) 64 Б) 1984 В) 128 Г) 192	3. b₁=10, q= S₄-? A) 187,5 Б) 16,75 В) 18,75 Г) -18,75	3. b₁=3 , q= S₆-? A) Б) В) Г) 21

^ Ответы тестов

3	4	5
1) Г	1)Г	1) Г
2) Б	2)В	2)В
3)Б	3) В	3) В

8.Проверка теста

9. Домашнее задание Выполнить задание 6 на сайте «Решу ОГЭ»(Прогрессии)
10.Итог урока. Учитель подводит итоги урока, выставляет оценки.
Литература: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. К.И. Нешков, с. Б Суворова ; под ред. С.А. Теляковского. Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.