"Схема исследования функции"

Схема исследования функции

Выполнила учитель математики МОУ СОШ «РОК № 3» ЦО «Коленовская школа» Киселева Татьяна Николаевна

1. Находим область определения функции D(f), функция у = f(х)

Например, для функции у = х 2 D(f) = R, то есть любое число из промежутка (- Ꝏ; +Ꝏ)

Для функции у = 1/х D(f) любое число из промежутка (- Ꝏ; 0) U (0; +Ꝏ)

Для функций у = sin x и y = cos x любое число из промежутка [ -1; 1 ]

2. Проверяем функцию на четность или нечетность

Если f(-x) = f(x), то функция четная , график функции симметричен относительно оси ОУ.

Если f(-x) = - f(x), то функция не четная , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

В противном случае функция будет ни четной ни нечетной.

3. Если функция периодическая, то находим период функции

Например, периодическими являются функции у = sin x, y = cos x их период 2 ∏n,

у = tg x и y = ctg x период ∏n

4. Находим точки пересечения графика с осями координат

Находим нули функции — это точки пересечения графика с осью абцисс ОХ.

Для этого решаем уравнение f(x) = 0.

Например, если функция у = х 2 +3х+2,то нули будут х 2 +3х+2 = 0, откуда х 1 = -2, х 2 = -1

Находим точку пересечения графика с осью ординат ОУ. Для этого находим значение функции при х = 0, для вышеуказанной функции у = 2.

0 и f(x)

5. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки на которых функция сохраняет знак

Для того, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции нам нужно решить неравенства f(x) 0 и f(x)

6. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума

Для этого следуем алгоритму:

а) Находим производную функции f / (x)

б) Приравниваем производную к нулю f / (x) = 0 и находим корни уравнения — это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки на которых производная положительна — это промежутки возрастания функции. Промежутки на которых производная отрицательна — это промежутки убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с + на - , являются точками максимума .

Точки, в которых производная меняет знак с - на + , являются точками минимума .

7. Находим значения функции в точках экстремума.

То есть в точках максимума и минимума

8. По данным исследования строим график функции

Задания для самостоятельной работы:

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график

1

У = 4 — 2 х — 7 х 2

11

У = - х 2 +5х +4

У = -2 +3х - х 3

2

У = 5 + 12ж -х 3

12

3

У = 2х 3 + 3х 2 - 4

13

У = х 4 — 2х 2 - 3

14

У = 6х 2 — х — 5

4

У = 9 + 8х 2 - х 4

У = 3х 3 — х 3

У = - 2х 2 + х

5

15

6

У = (1/2)х 4 - х 2

16

У = х 3 — 6х 2 — 15х — 2

17

7

У = 2х — (1/6)х 3

У = 4х 2 - 2х 4

18

У = 5х 3 - 3х 5

8

У = (1/2)х 4 - 8х 2

у = - 5х 2 — 10х

9

У = 3х 5 — 5х 3 + 2

19

10

У = (1/4)х 4 — (1/2)х 2

У = (1/5)х 5 — (1/3)х 3

20