Коста Хетагуров родился 15 октября 1859 года в горном ауле Нар в семье прапорщика русской армии Левана Елизбаровича Хетагурова. Мать Коста, Мария Гавриловна Губаева, умерла вскоре после его рождения, поручив его воспитание родственнице Чендзе Хетагуровой. Леван Хетагуров женился второй раз, когда Коста было около пяти лет. Его женой была дочь местного священника Сухиева. Позже Коста говорил о ней: «О Хъызмыда нечего и говорить. Она меня … не любила. В раннем детстве я убегал от неё к разным родственникам».