Дисциплина Техническая механика тема "Сопротивление материалов"

Сопротивление материалов

Метод сечений

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно разрезается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен нее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие до разреза, оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил

• Так как основным расчетным объектом является в сопротивлении материалов брус и чаще всего нас будут интересовать внутренние силы в его поперечном сечении, то рассмотрим, каковы будут статические эквиваленты внутренних сил в поперечном сечении бруса.

а-а – поперечное сечение

Fгл – главный вектор

Ми – главный момент (изгибающий момент)

N – составляющая, направленная вдоль оси бруса (продольная сила)

Q – составляющая, перпендикулярно этой оси (поперечная сила)

Для определения статика дает три уравнения равновесия оставленной части бруса, а именно:

ΣZ=0, ΣY=0, ΣM=0.

• Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т.е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов.

Q x

В поперечном сечении бруса возникает шесть внутренних силовых факторов, для определения которых статика дает шесть уравнений равновесия оставленной части бруса: ΣX=0, ΣY=0, ΣZ=0, ΣMx=0, ΣMy=0, ΣMz=0.

N – продольная сила

Q x, Q y – поперечные силы

Mк – крутящий момент

Миx, Mиy – изгибающие моменты.

• При различных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные внутренние силовые факторы. Рассмотрим частные случаи:

• 1. В сечении возникает только продольная сила N. В этом случае это деформация растяжения. (если сила N направлена от сечения) или деформация сжатия (если сила N направлена к сечению).
• 2. В сечении возникает только поперечная сила Q. В этом случае это деформация сдвига.
• 3. В сечении возникает только крутящий момент Мк. В этом случае это деформация кручения.
• 4. В сечении возникает только изгибающий момент Ми. В этом случае это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент Ми и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.
• 5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий и крутящий моменты или изгибающий момент и продольная сила), то в этих случаях имеет место сочетание основных деформаций.

• Гипотеза независимости действия сил:
• П ри действии на тело нескольких нагрузок внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации в любом месте могут быть определены как сумма этих величин, найденных от каждой нагрузки в отдельности.

Растяжение и сжатие

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

При изучении ряда деформаций мы будем мысленно представлять себе брусья состоящими из бесчисленного количества волокон, параллельных оси, и предполагать, что при деформации растяжения и сжатия волокна не надавливают друг на друга (это предположение называется гипотезой о ненадавливании волокон).

Можно сказать, что при растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле:

где: N – продольная сила

A – площадь поперечного сечения

Закон Гука при растяжении и сжатии

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически закон Гука можно записать в виде равенства: σ =Eε Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляется упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах: [E] = [σ]/[ε] = Па

Расчетная формула при растяжении и сжатии.

• Пр е дельным напряжением при статической нагрузке для пластических материалов является предел текучести , для хрупких - пр е дел прочности.
• Сечения , для которого коэффициент запаса прочности является наименьший, называется опасным.
• Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым и обозначают

• Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, различающихся формой использования расчетной формулы:

1) проектный расчет , при котором определяются размеры опасного сечения по формуле

2) проверочный расчет , при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с допускаемым по формуле

3) определение допускаемой нагрузки ведется по формуле

Смятие

Если детали конструкции, передающие значительную сжимающую нагрузку, имеют небольшую площадь контакта, то может произойти смятие поверхностей деталей. Для предотвращения смятия, например, под гайки и головки болтов подкладывают шайбы.

Для простоты расчетов полагают, что при контакте по плоскости возникают нормальные напряжения смятия, равномерно распределенные по площади контакта. Расчетное уравнение на смятие имеет вид:

где: F- сжимающая сила

- допускаемое напряжение на смятие

Aсм – площадь контакта

Если соприкасающиеся детали сделаны из разных материалов, то на смятие проверяют более мягкий материал.

Сдвиг (срез)

Сдвигом называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила.

Деформацию сдвига можно наблюдать, например при резке ножницами металлических полос или прутков.

Условие прочности детали конструкции заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочие напряжение) не должно превышать допускаемое.

Расчетная формула при сдвиге:

Q – поперечная сила

A – поперечное сечение

По этой формуле проводят проектный и проверочный расчеты и определяют допускаемую нагрузку.

Закон Гука при сдвиге

• Касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу .

Математически закон Гука можно записать в виде равенства: Τ = Gγ

Коэффициент пропорциональности G характеризует жесткость материала ( т.е. способность сопротивляться упругим деформациям) при сдвиге и называются модулем сдвига или модулем упругости второго рода.

Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах: [G] = [σ]/[γ] = Па

Кручение

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент.

Крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

• Проверка прочности (проверочный расчет)

• - крутящий момент
• - полярный момент сопротивления
• - касательное напряжение
• - допускаемое касательное напряжение

• Подбор сечений

• Определение допускаемого крутящего момента.

Проверка на жесткость.

- угол закручивания

- модуль сдвига, характеризующий жесткость материала при деформации сдвига

- полярный момент инерции сечения

• Сечение – круг

Полярный момент инерции

Полярный момент сопротивления

• Для кольцевого сечения

- внутренний диаметр кольца

- наружный диаметр кольца

Изгиб

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.

При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений; волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, лежащие на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения

Теорема Журавского

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского это теорема звучит так: Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.

Уравнение изгибающего момента с текущей координатой z:

Расчеты на прочность при изгибе.

• Проверка прочности (проектный расчет)
• Проверка прочности (проектный расчет)

- нормальное напряжение

- максимальный изгибающий момент

- осевой момент сопротивления

• Определение максимального изгибающего момента.
• Определение максимального изгибающего момента.

• Определение осевого момента сопротивления
• Определение осевого момента сопротивления

Гипотезы прочности.

• Гипотезы прочности – это научные пре дположения об основной причине достижения материалов предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.
• Эквивалентным напряжением называется такое условное напряжение при одноосном растяжении, которое равноопасно заданному случаю сочетания основных деформаций.

1) Гипотеза наибольших касательных напряжений. (третья теория прочности)

• Опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают пр е дельной величины.

- нормальное напряжение; - касательное напряжение

Для вычислений эквивалентных напряжений

2) Гипотеза Мора (четвертая теория прочности).

К.О. Мор (1835 – 1918) – немецкий ученый в области сопротивления материалов и строительной механике, создатель одной из теорий прочности, графических методов определения напряжений при сложном напряженном состоянии (круг Мора).

• Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

Эта формула одинаково пригодна как для хрупких, так и для пластичных материалов, при = 1 она тождественна с формулой третьей теории прочности.

• 3) Энергетическая гипотеза. (пятая или энергетическая, теория прочности)
• При деформации алиментарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и ее объем. Таким образом энергия состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
• Опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает пр е дельной величины .