Занятие элективного курса: "Различные способы решения уравнений с параметром: аналитическим и графическим методом".

Соловьева Екатерина Николаевна

Класс: 9. Дата проведения: 21.01.15.

Тема: Различные способы решения уравнений с параметром: аналитическим и графическим методом.

Тип урока: урок повторения.

Цель: - способствовать формированию умений решать уравнения с параметром;

- способствовать развитию навыков исследовательской деятельности;

- способствовать развитию навыков самоконтроля;

- способствовать развитию поисковой и познавательной активности.

Средства: опорные схемы, мультимедиа, доска, мел.

План урока

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте. Тема нашего сегодняшнего урока: Решение уравнений с параметром графическим методом.

1. Актуализация знаний

Давайте вспомним: Какое уравнение называется уравнением с параметром? (Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.)

Что значит аналитически решить уравнение? (Это решение, представленное в виде формулы (и соответственно полученное тоже путем математических выкладок).)

Что значит графически решить уравнение? (Построить график левой части и график правой части. Абсцисса точки пересечения и будет решением.)

1. Историческая справка

Употребление букв и разных других математических знаков появилось не сразу, а в результате долгого развития математики. Оно началось по-настоящему лишь в XV веке. До этого все величины выражались только словами. Алгебру тех времен называли, поэтому риторической, то есть словесной.

Во второй половинеXV века в Италии, Германии и других странах Европы были введены некоторые алгебраические символы и положено начало употреблению букв.

Арифметика учит общаться с числами и числовыми (арифметическими) выражениями, алгебра же - с буквами и алгебраическими выражениями, составленными из цифр, букв и знаков действий. Арифметическое выражение есть частный случай алгебраического.

1. Постановка проблемы

Даем ученикам задание: При каких а уравнение имеет единственное решение?

Это задание вызовет у них затруднение, в плане того, каким способ решать его.

1. Рассмотрение способов решения задачи

Учащиеся рассматривают способы решения этого уравнения:

1. Обеспечим неотрицательность обеих частей,

возведем в квадрат обе части уравнения:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

1способ (Аналитический) По условию уравнение должно иметь один корень, значит,

D=0, 8а +49=0,

а = - 49/8; , но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ:

Если D0, то только один корень уравнения должен удовлетворять условию

а)

б)  Ø

Ответ:

2 способ) Решим это задание графическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика - «полу» парабола с вершиной х = -3; у= 2х – а – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом а прямая у=2х – а перемещается вправо.

у

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х

Угловой коэффициент равен 2, т. е.

- абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , а =

При х = - 3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= - 6.

А при а - 6 имеем одну точку пересечения.

Ответ:

После рассмотренных решений можно заметить, что графический метод более рационален и удобен в применении.

1. Решение заданий

При каких значениях параметра а уравнение (а+6)х²+2ах+1=0 имеет единственное решение?

Решение:

Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю.

D=(2а)² - 4(а+6)=4а²-4а-24

4а²-4а-24=0 Разделим обе части уравнения на 4

а²-а-6=0

а = - 2; а = 3

Ответ: при а = - 2; а = 3 уравнение имеет единственное решение.

Повторим схему исследования уравнений с параметрами:

Какие способы ее решения вы можете предложить? Таким образом, цель нашего занятия не просто научиться решать систему уравнений с параметрами , но и рассмотреть различные способы решения: аналитический и графический.

- Кто планирует решать эту систему аналитически? А кто предпочитает графический способ? Объединитесь, пожалуйста в группы по выбранному способу решения.

Ребята меняются местами и объединяются в группы, согласно выбранному способу решения.

- Группа, которая выбрала аналитический метод, запишут свое решение в тетрадях и мы рассмотрим его с помощью документ - камеры. А графический способ мы рассмотрим на интерактивной доске.

Вам дается минут 5-7 на решение.

После проверяются и анализируются решения, предложенные ребятами.

Теперь предлагаю вам еще одну систему уравнений. В чем вы заметили отличие?

- Кто сейчас выбирает группу аналитиков? А кто предпочитает графический способ? Объединитесь, пожалуйста в группы по выбранному способу решения.

- идет, возможно, переформирование групп.

В течении 10 минут ребята обсуждают решение. После чего снова оба решения проверяются.

Давайте рассмотрим еще один пример:

1. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что , и – корни исходного уравнения лишь при условии . Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости . На рисунке искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ. При , или , или .

Как видим, и эту задачу рациональнее будет решать графическим методом.

1. Закрепление материала

Для закрепления дадим еще несколько уравнений с параметрами, при решении которых целесообразно использовать графический метод.

1. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

2. При каких уравнение имеет решение?

1. Домашнее задание

При каких значения параметра система имеет единственное решение

Попробуйте решить ее разными способами.

9. Рефлексия:

Сегодня мы с вами рассмотрели уравнения с параметрами решаемые двумя способами : аналитическим и графическим методом.

Как видим, используя этот метод, при решении задач, будут успешно формироваться поисковая и познавательная активность, а так же положительное эмоциональное отношение к познавательной и исследовательской деятельности.

МБОУ Раково-Таврическая СОШ №6