Выполнение операций над матрицами

^{Практическая работа № 1} Тема: Выполнение операций над матрицами.

Цель: научиться выполнять операции над матрицами.

Материальное обеспечение: практическая работа.

Общие теоретические положения

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая mстрок одинаковой длины (или nстолбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде



^{ a}11

_{A } ^{ a}21

^a12 ^a22

...

...

^a1n ^



^a2n ^

^ ...

...

...

... ^



 ^am1

^am 2

...



^amn 

или, сокращенно,

^{A  a }, где

i 1,m

^(т.е. i ^{=1,2,3,…,m) – номер строки,}

j 1,n

(т.е.

ij

j =1,2,3,…,n) – номер столбца.

^{Матрицу} A ^{называют матрицей размера} mn

и пишут

A_mn . Числа

^a_ij , составляющие

матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла, образуют главную диагональ матрицы.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц,

т.е.

A B , если ^{aij  bij} , где ^{i 1,m} ,

j 1,n .

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Квадратную матрицу размера

nn

называют матрицей n -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой

O .

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором(или вектор- столбец, или вектор-строка, соответственно).

Замечание: каждой квадратной матрице A можно поставить в соответствие определенное число, называемое определителем (детерминантом) этой матрицы. Неквадратная матрица определителя не имеет.

Определители

Определители 2-го порядка

^{Определитель (или иначе, детерминант) обозначается следующим образом:} D    det ^. Простейшие из определителей – это так называемые определители 2-го порядка.

Определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по

формуле:  

^а11

^а12  а а  а а .

11 22 12 21

Элементы

^а11^{, а}22

^{образуют главную диагональ} ^,

^а21^{, а}12

– побочную. Вычисление

     

определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой: _

 ^ 

 ^   ^,

т.е. из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной.

Основные свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда равен нулю.

4. Если все элементы одного ряда  умножить на некоторое число k, то весь 

умножится на это число.

Это свойство можно сформулировать иначе:

Общий множитель элементов какого-либо ряда  можно вынести за знак  .

1. Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой  равен 0.

2. Если элементы какого-либо ряда  представляют собой

суммы двух слагаемых, то  может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

1. Определитель не изменится, если к элементам одного рядаприбавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Определители 3-го порядка

Определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

^а11

  а₂₁

^а31

^а12 ^а22

^а32

^а13 ^а23

^а33

^{ а}11^а22^а33 ^{ а}12^а23^а31 ^

^{ а}21^а32^а13 ^{ а}31^а22^а13 ^{ а}12^а21^а33 ^{ а}32^а23^а11

Элементы

^а11^{, а}22 ^{, а}33

образуют главную диагональ определителя, элементы

а₃₁, а₂₂ , а₁₃ - побочную.

Для нахождения значения определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так:

    

     

    

 

  

 

Определитель 3-го порядка представляет собой алгебраическую сумму шести произведений, причем три произведения берутся со знаком „ + “ и три – со знаком „ – “. Со знаком „ + “ берется произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к главной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы. Со знаком „ – “ берется произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения элементов, стоящих на параллели к побочной диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла таблицы.

Можно пользоваться так называемым правилом Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных ей:

^а11 ^а21 ^а31

^а12 ^а22 ^а32

^а13 ^а23 ^а33

^а11 ^а21 ^а31

^а12 ^а22 ^а32

^{ а}11^а22^а33 ^{ а}12^а23^а31 ^

^{ а}21^а32^а13 ^{ а}31^а22^а13 ^{ а}12^а21^а33 ^{ а}32^а23^а11

Определители n-го порядка

^{Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме} n ^{! членов, каждый из которых является произведением} n ^{элементов матрицы, взятых по} одному из каждой строки и каждого столбца.

^{Заметим, что с ростом} n ^{резко увеличивается число членов определителя (n!), поэтому}

даже для

n  4 использование формулы весьма трудоемко (получим 24 слагаемых!).

На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Минором некоторого элемента ^{ai j}

определителя n-го порядка называется определитель

(n-1)- го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на

пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается

^mij ^.

Так, если _{ }

^a11 ^a21

^a31

^a12 ^a22

^a32

^a13 ^a23

^a33

, то _{m21 }

^а12 ^а32

^а13 _.

^а33

• Алгебраическим дополнением элемента a_{i j}

определителя называется его минор, взятый

со знаком  1^{i  j} , где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых

находится выбранный элемент. Обозначается:

^Аij ^.

А₂₃  m₂₃ , А₁₃  m₁₃ .

Теорема: Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Задание к работе:

Вариант 1

1. ^{Запишите элемент С}24 ^{матрицы С}

2. ^{Вычислите минор М}44

3. ^{Вычислить алгебраическое дополнение С}11

4. Вычислить произведение элементов главной

диагонали

1. Разложите определитель по 3-й строчке, не вычисляя полученные определители.

2. Разложите определитель по 2 –у столбцу, через алгебраические дополнения (не вычисляя).

Вариант 2

1. ^{Запишите элемент Е}14 ^{матрицы Е}

2. ^{Вычислите минор Е}23

3. ^{Вычислить алгебраическое дополнение Е}31

4. Вычислить произведение элементов побочной диагонали

5. Разложите определитель по 2-й строчке, не вычисляя полученные определители.

6. Разложите определитель по 4 –у столбцу, через алгебраические дополнения (не вычисляя).

Вариант 3

полученные определители.

1. ^{Запишите элементD}12 ^{матрицы D}

2. ^{Вычислите минор D}31

3. ^{Вычислить алгебраическое дополнение D}23

4. Вычислить произведение элементов побочной диагонали

5. Разложите определитель по 1-й строчке, не вычисляя

1. Разложите определитель по 3 –у столбца, через алгебраические дополнения (не вычисляя).

Вариант 4

1. ^{Запишите элемент F}22 ^{матрицы F}

2. ^{Вычислите минор F}41

3. ^{Вычислить алгебраическое дополнение F}14

4. Вычислить произведение элементов главной диагонали

5. Разложите определитель по 4-й строчке, не вычисляя полученные определители.

6. Разложите определитель по 1 –у столбца, через алгебраические дополнения (не вычисляя).

Порядок выполнения работы:

1. Изучить инструкцию к практической работе.

2. Выполнить задание.

3. Оформить отчет.

Содержание отчета:

1. Тема.

2. Цель.

3. Материальное обеспечение.

4. Практическое задание.

Вопросы для самоконтроля:

1. Можно вычислить определитель с неравным числом столбцов и строк.

2. Чем отличается алгебраическое дополнение от минора.

3. Укажите способы вычисления определителей?