Урок в 7 классе «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов».

По системе развивающего обучения я преподаю в 7 классе, руководствуясь учебником А.Г.Мордковича «Алгебра 7». Именно этот учебник и задач­ник к нему реализуют практически все дидактичес­кие принципы развивающего обучения.

Теме: «Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов».

Цели: отработать навыки применения разных приёмов для разложения многочленов на множители.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Актуализация опорных знаний. Формулирование цели урока.

1) - Рассмотрите алгебраические выражения:

(1) 3а²в(1 – 2а);

(2) (х – 2)(х² +2х + 4);

(3) 27х⁶у³ – 72х⁴у⁴ + 48х²у⁵;

(4) (5а + 1)² ;

(5) (9с – ав)(9с + ав);

(6) m² – n² + d² + 2md ;

(7) а² + 10а + 25 – у²;

(8) х(х – 4)(25 + 3х);

(9) х⁴ + 4у⁴;

(10) – 4а²+ 40ав – 100в².

3 а д а н и е 1. Распределите данные выражения на группы и объясните, по какому признаку прове­дено распределение.

Учащиеся сначала выделили две группы.

В пер­вую вошли выражения (1), (2), (4), (5), (8), по­скольку в каждом из них есть двучлен, выступаю­щий в качестве отдельного множителя.

Во вторую группу были отнесены все остальные выражения, ведь ни в одном из них не встречались «умножен­ные друг на друга скобки» (ребята выразились при­мерно так).

Некоторые учащиеся заметили, что вторая группа неоднородна, в ней есть и трех­члены (3) и (10), и четырехчлены (6), (7), и даже двучлен (9).

1. Формулирование цели урока.

- Посмотрите на вторую группу многочленов и скажите, чем мы займёмся сегодня на уроке? (Разложением на множители многочленов, среди которых будут и трехчлены, и четырехчлены, и двучлены.)

- Посколь­ку рассматриваемые нами выражения различны, то различны и способы разложения на множители. К тому же чаще всего они применяются не порознь, а комбинируются, сочетаются друг с другом. Повто­рим же те способы, которые понадобятся нам в даль­нейшем

3.) 3 а д а н и е 2 (устно). Учащимся демонстрируется плакат:

- Какая именно ошибка допущена в каждом выражении справа.

4.) 3 а д а н и е 3 (устно). Среди равенств, указанных ниже, найдите как правильные формулы, записанные в не­привычном порядке, так и содержащие ошибку. Исправьте ошибочные выражения.

а) х² + у² – 2ху = (х – у)²;

б) m² + 2mn – n² = (m – n)²;

в) 2pt – p² – t² = (p – t)²;

г) 2cd + c² + d² = (c + d)².

5.) - Мы вспомнили способ разло­жения на множители с помощью формул сокращен­ного умножения. А какие еще способы разложения на множители мы изучали?

Учащиеся вспоминают способ вынесения общего множителя за скобки и способ группировки по со­ответствующим опорным сигналам:

* + * = * +

+ = * + * = * +

III. Изучение нового материала.

1.) 3 а д а н и е 4. Разложить на множители выра­жения (3), (10) и (6), (7).

(Выражением (3) под контролем учителя, выражением (10) — самостоятельно. Точно так же и вторая пара: выражение (6) преобразовывали в ходе беседы с учителем, (7) — самостоятельно.)

(3) 27х⁶у³ – 72х⁴у⁴ + 48х²у⁵.

Учитель: С какого приема нам следует начать?

Предполагаемый ответ: Попробуем вынести общий множитель:

3х²у³(9х⁴ – 24х²у + 16у²)

Учитель, Давайте проанализируем структуру вы­ражения, стоящего в скобках.

Предполагаемый ответ: Выражение в скобках можно переписать так:

( (3х²)² - 23х²4у + (4у)²) и тогда исходное выражение можно привести к виду 3х²у³(3х² – 4у)².

(10) – 4а²+ 40ав – 100в² = -4(а² – 10ав + 25в²) = - 4(а – 5в)².

(6) m² – n² + d² + 2md .

Учитель. Уместно ли начинать разложение на множители с вынесения общего множителя?

Предполагаемый ответ: Здесь нет общего множителя и выно­сит нечего. Надо попробовать группировку. Попы­таемся объединить первый член со вторым, а тре­тий с четвертым:

(m² – n²) + (d² + 2md) = (m – n)(m + n) + d(d + 2m).

А дальше мы не знаем, что делать.

Учитель. Если первая попытка группировки закон­чилась неудачей, давайте сделаем вторую попытку:

(m² + 2md) + ( - n² + d²) = m(m + 2d) + (d² – n²) = m(m + 2d) + (d – n)( d + n).

Учащиеся. Опять неудача. Уж не отказаться ли нам от приема группировки?

Учитель. Мы не исчерпали еще всех возможнос­тей этого приема. Ведь ниоткуда не следует, что слагаемые можно объединять только парами. Давайте попробуем объединить сразу три слагаемых. Но вот какие же три из четырех выгоднее всего выб­рать?

Учащиеся. Давайте объединим слагаемые, где есть множители т, d и md, т.е. запишем: m² – n² + d² + 2md = (m² +d² +2md) – n² = …

Учитель. Что же вы остановились? Разве вы не видите, что в скобках стоит что-то знакомое?

Учащиеся (продолжают выкладки).

... = (т + d )² — п² = ...

Мы такого никогда раньше не встречали.

Учитель. Давайте проанализируем полученное выражение. Если бы нам надо было его прочитать не буквами, а словами, то с какого слова начали бы мы речь?

Учащиеся (в замешательстве). Со слова... со сло­ва «разность».

Учитель. Правильно. А как можно охарактеризо­вать выражения, объединенные знаком «минус»?

Учащиеся. Это квадраты, только вот первый квад­рат вроде и не совсем квадрат. Сумма там мешается.

Учитель. Это вам потому сумма «мешается», что вы все хотите видеть сразу, а надо сначала видеть главное. Вспомним, как раньше мы записывали разность квадратов в виде опорного сигнала:

² _ ² = _ * +

Разве мы разбирали, что там спрятано «внутри» фигурок, которыми изображается опорный сигнал?

Учащиеся. Тогда можно продолжить

... = (т + d — п)(т + d + п).

А что дальше делать?

Учитель. А дальше надо вспомнить, чего требова­лось достичь.

Учащиеся. Разложить на множители, т.е. сделать так, чтобы одна скобочка умножалась на другую. Но у нас так и получилось!

IV. Закрепления изученного (са­мостоятельная работа).

1.) Задание 5. (см.: № 34.14 (в, г,). № 34.15 (в, г) из учебника А.Г.Мордковича «Алгебра 7»).

2.) Разло­жите на множители выражения:

а) – 5p² – 10pq – 5q²; б) m² — п² - 8m + 16;

в) 9 – р² + q² - 6q; г) -12z³ – 12z² – 3z;

д) т⁷ – 2n – m — 4n²; с) а⁴ + 64b⁴.

В ходе проверки самостоятельной работы учитель обращает внимание ребят на то, что никто из них не выполнил задание е). Так возникает проблем­ная ситуация: «Можно ли разложить двучлены вида а⁴ + 64в⁴ и х⁴ + 4у⁴ ?.

Учитель подчеркивает, что этот вопрос будет раз­решен на следующем уроке.

V. Занимательная математика.

- Подумайте над занимательной за­дачей от капитана Врунгеля.

Вот как знаменитый капитан «Беды» доказывал, что 2x2 = 5.

Возьмем верное равенство

16 - 36 = 25 - 45

и выполним преобразования

16 – 36 + 20 = 25 – 45 + 20,

4² - + = 5² - 2 + ,

,

4 - = 5 - ,

4 = 5,

2 х 2 = 5.

- Почему же за такое «блестящее» доказательство капитану Врунгелю была присуждена Нобелевская премия в области антиматематики?

VI. Домашнее задание.

VII. Итог урока.