Семинар "Решение уравнений высших степеней"

Семинар: «Решение уравнений высших степеней»

Цель урока: систематизация и обобщение знаний по решению уравнений высших степеней,
содействовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков взаимоконтроля и самоконтроля, умений говорить и слушать,
выработка привычки к постоянной занятости, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент Повторение теории. Что такое уравнение? Что значит решить уравнение? Что такое корень уравнения? В чем заключается процесс решения уравнений? А какие уравнения называются равносильными? Что мы называем системой уравнений? Что является решением системы уравнений с двумя неизвестными?

II. Работа по группам – основная часть урока. Повторяем методы решения уравнений высших степеней, систем уравнений.

Класс делится на 7 групп. Каждой группе дается карточка с теоретическим и практическим вопросами: “Разобрать предложенный способ решения уравнения или системы уравнений и объяснить его на данном примере”.

1. Работа в группе 15 минут.

2. На доске записаны примеры (доска разделена на 4 части).

3. Отчет группы проходит 2 – 3 минуты.

4. Учитель корректирует отчеты групп и помогает при затруднении.

Карточка 1.

1. Решение уравнений выделением целых и рациональных корней. Метод неопределенных коэффициентов. Схема Горнера.

2. Решить уравнение: 6х⁴ +7х³ – 6х² + 7х – 2 = 0.

Карточка 2.

1. Решение возвратных уравнений 3 и 4 степени.

2. Решить уравнения:

а) 8 х³ -6 х² + 3 х - 1 = 0;

б) 6х⁴ + 5х³ – 38х² +5х + 6 = 0.

Карточка 3.

1. Решение однородных уравнений.

2. Решить уравнение: (х² – 4х + 4)²(2х - 1)² + (2х² +х – 1)( 18х – 36) – 40(х + 1)² = 0;

Карточка 4.

1. Решение уравнений методом «серединки».

2. Решить уравнение: х (х + 4) (х + 5) (х + 9) + 96 = 0

Карточка 5.

1. Решение симметрических систем уравнений.

2. Решить систему уравнений:

Карточка 6.

1. Решение систем, содержащих однородные уравнения.

2. Решить систему уравнений:

Карточка 7.

1. Решение систем уравнений методом замены (введения новой переменной).

2. Решить систему уравнений:

Карточка 1

1. Найдите действительные корни уравнения х⁴ + х³ + 2х – 4 = 0. Какими способами можно было решить данное уравнение? Какой способ решения более рациональный?

Карточка 2

1. Найдите действительные корни уравнения Зх⁵ – 6х⁴ + 4х³ - 8х² – 3х + 6 = 0.

III. Самостоятельная работа. Каждый учащийся получает индивидуальное задание. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Найдите действительные корни уравнения Зх³ – 5х² + Зх – 5 =0.

2. Решите уравнение (х+1)(х – 2)(х+3)(х – 4)=144.

Вариант 2

1. Найдите действительные корни уравнения 2х⁴ – 5х³ – х² + 5х + 2=0.

2. Решите уравнение х(х – 1)(х + 2)(х – 3) = 16.

Вариант 3

1. Найдите действительные корни уравнения 2х⁵ + 4х⁴ -5х³ – 10х² – 7х -14 = 0.

2. Решите уравнение (х – 3)(х+2)(х – 6)(х – 1)+56=0.

Вариант 4

1. Найдите действительные корни уравнения 2х⁴ – 3х² +1 = 0.

2. Решите уравнение х³ – 3х² - 4х + 12= 0.

1. Работа по времени занимает 20 минут.

2. За 5 минут до конца урока учитель дает открытые ответы для каждого уравнения.

3. Учащиеся меняются по кругу тетрадями и проверяют ответы у товарища. Выставляют оценки.

4. Тетради сдаются учителю на проверку и корректировку оценок.

IV. Итог урока.

Домашнее задание. 1. Решить уравнение: 2. Решить уравнение: х⁵ – х⁴ – 6х³ + х² – х – 6 = 0. Рассмотреть все возможные способы его решения и предложить наиболее рациональный способ. Подготовиться к контрольной работе.

Приложение.

УРАВНЕНИЯ

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением. Решить уравнение – найти его корни или доказать, что таковых нет. Корнем уравнения называется значение переменной, при под­становке которого в уравнение получается верное равенство.

Примеры

х³ + х = 0 — один корень: х = 0.

х² + х – 12 = 0 —два корня: х = 3, х = - 4.

х² = х² + 1 — нет корней (пустое множество корней ø).

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Примеры

х² = х + 2 и х² – х – 2 = 0 равносильны.

х⁴ + 2 = -16 и ЅіnЗх = 2 равносильны.

= 2х – 6 и х = (2х – 6)² неравносильны.

Процесс решения уравнения – замена уравнения ему равносильным уравнением.

Неравносильные преобразования могут привести к: потере корня или появлению «посторонних» корней

Методы решения уравнений и систем уравнений.

Возвратные 3 степени. Уравнение aх³ + bx² + cx + d = 0 наз. возвратным 3 степени, если его коэффициенты удовлетворяют системе , x = - m есть корень уравнения. Поделив многочлен aх³ + bx² + cx + d на х + m без остатка, в частном получим квадратное уравнение, решив которое найдем остальные корни исходного уравнения.

Возвратные 4 степени. Уравнение aх⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 наз. возвратным 4 степени, если его коэффициенты удовлетворяют системе .Метод решения: поделим обе части уравнения на

х² 0, , перегруппируем члены уравнения т.о. , , вводим новую переменную , тогда = t² – 2m. Далее решаем уравнение методом замены.

Метод «серединки» используют при решении уравнений вида а) (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = e и б) (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = ex². а) Если a + d = b + c, то перемножаем попарно скобки (x + a) и (x + d), (x + b) и (x + c). Получаем уравнение (x² + (a+d)x + ad)( x² + (b+c)x + bc) = e. Вводим замену: t = x² + (a+d)x и получаем квадратное уравнение относительно переменной t. б) Если a ∙ d = b ∙ c, то перемножаем попарно скобки (x + a) и (x + d), (x + b) и (x + c). Получаем уравнение (x² + (a+d)x + ad)( x² + (b+c)x + bc) = eх². Делим обе части уравнения на х² 0. ^. Вводим замену: t = и получаем квадратное уравнение относительно переменной t.

Однородные уравнения - уравнения вида , где f(x) и g(x) – многочлены или произвольные выражения. Метод решения: делим каждое слагаемое уравнения на 0, получим , вводим новую переменную , получаем квадратное уравнение относительно переменной t.

Подбором. Если уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена. Если уравнение имеет рациональные корни , p Є Z, g Є N, то p – один из делителей свободного члена, а g – один из делителей старшего коэффициента.

Теорема Безу. Пусть f(x) многочлен, с – некоторое число. 1. f(x) делится на двучлен х – с тогда и только тогда, когда число с является его корнем. 2. Остаток от деления f(x) на х – с равен f(с).

Схема Горнера. Правило отыскания коэффициентов частного и остатка.

1. Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого.

1. Чтобы найти остальные коэффициенты надо к стоящему над ячейкой числу первой строки прибавить произведение с и предыдущего элемента второй строки.

2. В последней ячейке 2 строки под свободным членом делимого получается остаток от деления.

Метод решения систем с однородным уравнением. Суть метода: разделяем однородное уравнение системы ax² + bxy + cy² = 0 на y²0, вводим новую переменную , решаем квадратное уравнение, найдя корни t₁ и t₂ и используя равенства х = t₁y и x = t₂y, переходим к совокупности систем и исключаем неизвестную х из других уравнений систем.

Система уравнений с двумя неизвестными называется симметрической, если одновременная замена неизвестных х на у и у на х не изменяет уравнений системы. Решаются такие системы при помощи стандартной замены: х ± у = m и ху = n.

Карточка 3

Решить уравнение заменой переменных:

а) (х² – х – 1)² + 3х² = 3х + 7;

б) (х – 1)(х + 1)(х + 2)х = 24.