kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Разработка урока по алгебре для 9 класса по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Разработка урока по алгебре для 9 класса по теме "Прогрессии". Тип урока - обобщение и систематизация знаний. Данный урок нацелен на обобщение и систематизацию знаний учащихся по арифметической и геометрической прогрессиям. Способствует развитию навыков применения основных формул для решения задач. В структуре урока содержатся задания для повторения формул, решение задач, исследовательская работа, сообщения учащихся по теме урока. В ходе урока прослеживается интеграция с историей и литературой. К разработке прилагается презентация.

Просмотр содержимого документа
«ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО ПРОГРЕССИЯМ»

КГУ «Маяковская средняя школа отдела образования акимата Алтынсаринского района»








Открытый урок


Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»


Алгебра 9 «Б» класс



Урок подготовила и провела:

учитель математики

Кутенко Т.В.
















Январь 2015 год

с.Первомайское


Открытый урок по алгебре


Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Класс: 9 «Б»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цель:

  1. Обобщить и систематизировать знания по арифметической и геометрической прогрессии;

2.Способствовать развитию навыков применения основных формул в ходе решения задач;

3. Воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Оборудование: мультимедийное оборудование, ватманы, цветные маркеры, рабочее поле для каждого ученика, листы ответов.


Структура урока:

Этапы урока

Содержание работы

Продолжительность, мин

Задачи, решаемые на этапах урока

Вводный

Оргмомент


3





Установочный

Актуализация знаний:


Фронтальный опрос определений

Основные формулы прогрессии

Определение прогрессий по слайдам

Решение задач (работа в парах)


1

1

2

4

Коррекция ЗУН.

Мотивация дальнейшей деятельности.

Закрепление знаний.

Определение последовательности промежуточных этапов с учетом конечного результата.

Основной

Роль прогрессий в повседневной жизни


Работа в группах. Решение задач (мини-исследование)

Отчеты групп

Выступления учащихся



4

1

10

Создание условий эффективной и рациональной деятельности учащихся и учителя.

Развитие интереса к математике.

Формирование коммуникативных действий: общение, умение вступать в диалог, инициативное сотрудничество.

Моделирование с целью выяснения общих законов.

Контролирующий

Самостоятельная работа

Проверка самостоятельной работы

7-8

1

Создание условий для индивидуальной работы. Выявление уровня учебных достижений. Коррекция ЗУН

Итоговый

Рефлексия. Домашнее задание

3

Рефлексия способов и условий действия, полученных результатов


РЕЗЕРВ: Задачи на концентрацию внимания



Ход урока

        1. Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте ребята, садитесь. Сегодня у нас с вами открытый урок. У нас присутствуют гости. Поэтому для того, чтобы снять напряжение и не волноваться, я предлагаю начать наш урок с высказывания:

«Человек страшится только того, чего не знает. Знанием побеждается страх» (слайд №2)

Учитель: Я желаю вам сегодня максимально проявить знания!

Учитель: Сегодня мы заканчиваем изучение темы «Последовательности». (слайд №1) На уроках познакомились с возрастающими, убывающими, ограниченными, неограниченными последовательностями, но особое внимание удели двум последовательностям, каким?

Ученик: Арифметическая и геометрическая последовательности.

Учитель: этим последовательностям дали имена и сказали о них: «Прогрессии».

Что означает слово «Прогрессия»? (слайд №3)

Ученик: Движение вперед.


Учитель: Сегодня мы будем двигаться вперед и убедимся, что раздел математики «Прогрессии» является неотъемлемой частью общечеловеческой культуры и окружающего нас Мира.

  1. Актуализация знаний учащихся.

1. Ответим устно на вопросы:

- Какую прогрессию называют арифметической?

- Какую прогрессию называют геометрической?

- Как найти разность арифметической прогрессии?

- Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

- Назовите формулу n -го члена арифметической прогрессии. Что в формуле обозначает n?

-Назовите формулу n -го члена геометрической прогрессии.


2. Давайте вспомним формулы. Посмотрите на слайд и соотнесите формулы в нужные столбцы. (слайд №5 )

Арифметическая прогрессия: an=a1+d(n-1); an=kn+b; Sn= (a1+an)n\2; d=an+1-an

Геометрическая прогрессия: Sn=bnq-b1\q-1 ; q=bn-1\bn; an=a1qn-1


3. Перед вами несколько числовых последовательностей. Выберите те, которые являются арифметической прогрессией и найдите ее разность; те, которые являются геометрической прогрессией и найдите ее знаменатель. Для этого заполните небольшую таблицу в бланках ответов. (Дается время 2мин.). (слайд №6)

Арифметическая последовательность

Геометрическая последовательность

-2; 0;2; …

-4; -8; -16;…

8; 6; 4;…

7; 14;28;…


  1. -2; 0; 2; 4;……

  2. -4; -8; -16;……

  3. 7; 14; 28; 56;…

  4. 8; 6; 4;…….




Сверяем свои ответы и оцениваем себя. (Слайд №7).

4. Решение задач . Работа в парах.(слайды № 8,9)

А) Поезд отойдя от станции равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце 21 минуты ? (эта задача на арифметическую или геометрическую прогрессию?)

Решение: а211+d(n-1)==50+50*20=1050м

Б) Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут ?

Дано: a1=15 Решение: an=a1+(n-1)d

d=10 an=a1+nd-d

an=105 nd=an-a1+d

Найти: n

10n=105-15+10

10n=100

n=10


  1. Обобщение и систематизация знаний.


Исследовательская работа. Работа в группах.

Учитель: Когда мы начинали изучать геометрическую прогрессию, я вам рассказывала легенду об изобретении шахматной доски. Но мы не решали эту задачу. Сегодня мы с вами проведем небольшое исследование и решим эту задачу. Работаем в группах. Решение оформляем на ватманах. (приложение 2) (слайды 10-13)

Учитель: А сейчас мы немного передохнем, и послушаем выступления ваших одноклассников о том, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

  1. Выступления учащихся (Презентации Вики Бородулиной, Карины Достьяровой и Мадины Башпеновой)


Учитель: Вы убедились, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры?


Учитель: Сейчас вам необходимо показать свои знания по этой теме и выполнить индивидуальную самостоятельную работу. (7-8мин.)


  1. Самостоятельная работа (тесты) с последующей проверкой (слайд №15-17)

Учитель: Самостоятельная работа пройдет под девизом

«Гений состоит из 1 процента вдохновения и 99 процентов потения» Т. Эдисон (слайд №14)

Прогрессии.

I вариант

  1. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с5 =7, а с7 =13

А) 2

Б) 3

В) -2

Г) другой ответ

  1. Чему равна сумма первых пяти членов геометрической прогрессии (bn),

если b1 = l, а знаменатель равен -2?

А) 11

Б) -17

В) 17

Г) другой ответ


  1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической про­грессии (an),

если a1 =6, a5 = - 6.

А) 30

Б) 5

В) 0

Г) 1


  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической про­грессии (bn),

если b10 = l0, а b12 = 40?

А) 2

Б) ±2

В) 4

Г) 15

  1. В арифметической прогрессии (сn) разность равна -0,3, а с1=8. Найдите все натуральные n, при которых выполняет­ся неравенство: сn 4,6?

А) n

Б) n

В) n

Г) n

  1. Найдите сумму бесконечной геометрической про­грессии (an),

если a1 =3, a2 = 0,3 .

А)

Б)

В)

Г) 1


  1. В арифметической прогрессии (an), найдите a7, если a3 + a11 =20.

А) 5

Б) 10

В) 20

Г) другой ответ




Проверочная работа (тест)


  1. Б

  2. А

  3. В

  4. Б

  5. Г

  6. Б

  7. Б


Подведение итогов урока. Рефлексия.

  1. Итак, ребята, наш урок подошел к концу.

-Что мы сегодня на уроке с вами повторили?

-Что нового узнали? (Обсуждение)

Завершить наш урок хочу такими словами: (слайд № 18)

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

  1. Домашнее задание. Подготовить исследовательскую работу по теме: Что выгоднее? (1000000 тенге прямо сейчас или 1тиын ежедневно удваивающийся в течение 30 дней? ) (слайд 19)

Результаты исследовательской деятельности представить в виде:
-буклета;
-презентации.

  1. Выставление оценок. Весь урок учащиеся выставляют себе оценки за каждый этап в оценочных листах, затем считают результаты и оглашают их.



























ПРИЛОЖЕНИЕ

Рабочее поле

Учени___ 9 «Б» класса____________________________________

  1. Заполнить таблицу

1.-2; 0;2; 4;…

2.-4; -8; -16;…

3.7; 14;28;56;…

4.8; 6; 4;…

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия





  1. Решение задач.

А) Поезд отойдя от станции равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце 21 минуты ? (эта задача на арифметическую или геометрическую прогрессию?)

Решение:



Ответ:

Б) Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут.

Решение:







Ответ:

  1. Задача :






  1. Самостоятельная работа. (тест)

Прогрессии.

I вариант

  1. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с5 =7, а с7 =13

А

Б

В

Г

2

3

-2

другой ответ


  1. Чему равна сумма первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = l, а знаменатель равен -2?

А

Б

В

Г

11

-17

17

другой ответ


  1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической про­грессии (an), если a1 =6, a5 = - 6.

А

Б

В

Г

30

5

0

1


  1. 4. Чему может быть равен знаменатель геометрической про­грессии (bn), если b10 = l0, а b12 = 40?

    А

    Б

    В

    Г

    2

    ±2

    4

    15

  2. В арифметической прогрессии (сn) разность равна -0,3, а с1=8. Найдите все натуральные n, при которых выполняет­ся неравенство: сn 4,6?

    А

    Б

    В

    Г

    n

    n

    n

    n

  3. Найдите сумму бесконечной геометрической про­грессии (an), если a1 =3,

a2 = 0,3 .

А

Б

В

Г

1


  1. В арифметической прогрессии (an), найдите a7, если a3 + a11 =20.

А

Б

В

Г

5

10

20

другой ответ


Оценочный лист

Ф.И. ученика_________________________________________________


№ задания

Своя оценка

Оценка учителя

1



2



3



4



5



Оценочный лист

Ф.И. ученика_________________________________________________


№ задания

Своя оценка

Оценка учителя

1



2



3



4



5



Оценочный лист

Ф.И. ученика_________________________________________________


№ задания

Своя оценка

Оценка учителя

1



2



3



4



5








Просмотр содержимого презентации
«презентация к уроку»

КГУ «Маяковская средняя школа отдела образования акимата Алтынсаринского района » Открытый урок Алгебра 9 класс Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» Кутенко Т.В. учитель математики

КГУ «Маяковская средняя школа отдела образования акимата Алтынсаринского района »

Открытый урок

Алгебра 9 класс

Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Кутенко Т.В.

учитель математики

«Человек страшится только того, чего не знает. Знанием побеждается страх»

«Человек страшится только того, чего не знает. Знанием побеждается страх»

Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания по арифметической и геометрической прогрессии; 2.Способствовать развитию навыков применения основных формул в ходе решения задач; 3. Воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Цель:

1. Обобщить и систематизировать знания по арифметической и геометрической прогрессии;

2.Способствовать развитию навыков применения основных формул в ходе решения задач;

3. Воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Среди перечисленных формул выберите те, которые относятся к арифметическим и геометрическим прогрессиям Геометрическая прогрессия Арифметическая прогрессия а n =a 1 +d(n-1) S n =b n q-b 1 \q-1   q=b n -1\b n a n =k n +b S n = (a 1 +a n )n\2 d=a n+1 -a n a n =a 1 q n-1

Среди перечисленных формул выберите те, которые относятся к арифметическим и геометрическим прогрессиям

Геометрическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

а n =a 1 +d(n-1)

S n =b n q-b 1 \q-1

q=b n -1\b n

a n =k n +b

S n = (a 1 +a n )n\2

d=a n+1 -a n

a n =a 1 q n-1

  • a n =a 1 q n-1
-2; 0;2; 4;… -4; -8; -16;… 7; 14;28;56;… 8; 6; 4;…
  • -2; 0;2; 4;…
  • -4; -8; -16;…
  • 7; 14;28;56;…
  • 8; 6; 4;…
Арифметическая последовательность Геометрическая последовательность -2; 0;2; …  -4; -8; -16;… 8; 6; 4;…  7; 14;28;…

Арифметическая последовательность

Геометрическая последовательность

-2; 0;2; …

-4; -8; -16;…

8; 6; 4;…

7; 14;28;…

Поезд отойдя от станции равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце 21 минуты ?  (эта задача на арифметическую или геометрическую прогрессию?) а 21 =а 1 +d(n-1)==50+50*20=1050м

Поезд отойдя от станции равномерно увеличивал скорость на 50 м в минуту. Какова была скорость поезда в конце 21 минуты ? (эта задача на арифметическую или геометрическую прогрессию?)

а 21 1 +d(n-1)==50+50*20=1050м

Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут? Дано:  a 1 =15 d=10 a n =105 Найти: n Решение: a n =a 1 +(n-1)d  a n =a 1 +nd-d  nd=a n -a 1 +d  10n=105-15+10  10n=100 n=10 Ответ: 10 дней

Подготовку к экзамену начинают с 15 мин. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 мин. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1час 45минут?

Дано: a 1 =15 d=10 a n =105

Найти: n

Решение: a n =a 1 +(n-1)d

a n =a 1 +nd-d

nd=a n -a 1 +d

10n=105-15+10

10n=100 n=10

Ответ: 10 дней

ЛЕГЕНДА  О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

ЛЕГЕНДА

О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Древнеиндийский царь Шерам пожелал наградить изобретателя шахмат древнеиндийского ученого Сету. -« Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое пожелание, проси, что хочешь» заявил самонадеянный царь. -«Прикажи выдать за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую прикажи дать два зерна, за третью-четыре, за четвертую- восемь, за пятую …» . -«Довольно, ты получишь зерна за все 64 клетки доски согласно твоему желанию, просьба твоя ничтожна, слуги принесут тебе твою пшеницу…» раздраженно сказал самоуверенный царь Шерам .

Древнеиндийский царь Шерам пожелал наградить изобретателя шахмат древнеиндийского ученого Сету.

-« Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое пожелание, проси, что хочешь» заявил самонадеянный царь.

-«Прикажи выдать за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую прикажи дать два зерна, за третью-четыре, за четвертую- восемь, за пятую …» .

-«Довольно, ты получишь зерна за все 64 клетки доски согласно твоему желанию, просьба твоя ничтожна, слуги принесут тебе твою пшеницу…» раздраженно сказал самоуверенный царь Шерам .

Ученый Сета улыбнулся, поклонился и ушел дожидаться обещанной награды . Наутро царь осведомился у слуг, доставлена ли награда изобретателю. -« О повелитель, число зёрен было так велико…» «Как бы оно не было велико, награда должна быть выдана, не жалейте амбаров с зерном»- надменно сказал царь. «Не в твоей власти исполнять такие желания, во всех твоих амбарах и на полях , и на всей Земле нет такого числа зерен, которое потребовал ученый Сета» - ответили слуги. «Назовите это чудовищное число!»- воскликнул изумленный царь.

Ученый Сета улыбнулся, поклонился и ушел дожидаться обещанной награды . Наутро царь осведомился у слуг, доставлена ли награда изобретателю.

-« О повелитель, число зёрен было так велико…»

  • «Как бы оно не было велико, награда должна быть выдана, не жалейте амбаров с зерном»- надменно сказал царь.
  • «Не в твоей власти исполнять такие желания, во всех твоих амбарах и на полях , и на всей Земле нет такого числа зерен, которое потребовал ученый Сета» - ответили слуги.
  • «Назовите это чудовищное число!»- воскликнул

изумленный царь.

«ГЕНИЙ СОСТОИТ ИЗ 1 ПРОЦЕНТА ВДОХНОВЕНИЯ И 99 ПРОЦЕНТОВ ПОТЕНИЯ».     Т. ЭДИСОН

«ГЕНИЙ СОСТОИТ ИЗ 1 ПРОЦЕНТА ВДОХНОВЕНИЯ И 99 ПРОЦЕНТОВ ПОТЕНИЯ». Т. ЭДИСОН

Самостоятельная работа   1. Найдите разность арифметической прогрессии (с n ), если с 5 =7, а с 7 =13  А) 2  Б) 3  В) -2  Г) другой ответ  2. Чему равна сумма первых пяти членов геометрической прогрессии (b n ),  если b 1 = l, а знаменатель равен -2?  А) 11  Б) -17  В) 17  Г) другой ответ  3. Найдите сумму первых пяти членов арифметической про­грессии (a n ),  если a 1 =6, a 5 = - 6.   А) 30  Б) 5  В) 0  Г) 1   

Самостоятельная работа 1. Найдите разность арифметической прогрессии (с n ), если с 5 =7, а с 7 =13 А) 2 Б) 3 В) -2 Г) другой ответ 2. Чему равна сумма первых пяти членов геометрической прогрессии (b n ), если b 1 = l, а знаменатель равен -2? А) 11 Б) -17 В) 17 Г) другой ответ 3. Найдите сумму первых пяти членов арифметической про­грессии (a n ), если a 1 =6, a 5 = - 6. А) 30 Б) 5 В) 0 Г) 1  

4,6? А) n

4.Чему может быть равен знаменатель геометрической про­грессии (b n ), если b 10 = l0, а b 12 = 40? А) 2 Б) ±2 В) 4 Г) 15 5.В арифметической прогрессии (с n ) разность равна -0,3, а с 1 =8. Найдите все натуральные n, при которых выполняет­ся неравенство: с n 4,6? А) n

Проверочная работа 1.Б 2.А 3.В 4.Б 5.Г 6.Б 7.Б Критерии оценивания : 7 заданий – «5» 5-6 заданий – «4» 4 задания – «3» 1-3 задания- «2»

Проверочная работа

1.Б 2.А 3.В 4.Б 5.Г 6.Б 7.Б

Критерии оценивания :

7 заданий – «5»

5-6 заданий – «4»

4 задания – «3»

1-3 задания- «2»

Урок сегодня завершен, Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут!

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Домашнее задание: Тема исследовательской работы: Что выгоднее?  (1000000 тенге прямо сейчас или 1тиын ежедневно удваивающийся в течение 30 дней? )

Домашнее задание:

Тема исследовательской работы:

Что выгоднее?

(1000000 тенге прямо сейчас или 1тиын ежедневно удваивающийся в течение 30 дней? )

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ:    -БУКЛЕТА;   -ПРЕЗЕНТАЦИИ.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ: -БУКЛЕТА; -ПРЕЗЕНТАЦИИ.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!  ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ В ДВИЖЕНИИ ВПЕРЕД!

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ

В ДВИЖЕНИИ ВПЕРЕД!

РЕЗЕРВНЫЕ ЗАДАНИЯ Запомнить все числа , включенные в таблицу, а затем их воспроизвести. (Постарайся увидеть закономерность)  7  14  56  28  112  448  896  224  1792 Разгадка: это геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Необходимо запомнить два числа 7 и 2 .

РЕЗЕРВНЫЕ ЗАДАНИЯ

Запомнить все числа , включенные в таблицу, а затем их воспроизвести. (Постарайся увидеть закономерность)

7

14

56

28

112

448

896

224

1792

Разгадка: это геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Необходимо запомнить два числа 7 и 2 .

Запомнить все числа , включенные в таблицу, а затем их воспроизвести. (Постарайся увидеть закономерность)  -12  -9  -3  -6  0  9  12  6  15 Разгадка: это арифметическая прогрессия с разностью 3. Необходимо запомнить два числа -12 и 3 .

Запомнить все числа , включенные в таблицу, а затем их воспроизвести. (Постарайся увидеть закономерность)

-12

-9

-3

-6

0

9

12

6

15

Разгадка: это арифметическая прогрессия с разностью 3. Необходимо запомнить два числа -12 и 3 .


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 9 класс

Автор: Кутенко Татьяна Владимировна

Дата: 28.04.2015

Номер свидетельства: 206735

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(116) "Разработка урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии" "
    ["seo_title"] => string(71) "razrabotka-uroka-arifmietichieskaia-i-ghieomietrichieskaia-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "213934"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1432184798"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(150) "Конспект урока на тему "Определение арифметической и геометрической прогрессий"" "
    ["seo_title"] => string(93) "konspiekt-uroka-na-tiemu-opriedielieniie-arifmietichieskoi-i-ghieomietrichieskoi-proghriessii"
    ["file_id"] => string(6) "163974"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1422553445"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "«РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ  УЧАЩИХСЯ К ЕНТ» "
    ["seo_title"] => string(52) "riekomiendatsii-po-podgotovkie-uchashchikhsia-k-ient"
    ["file_id"] => string(6) "209484"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1431179042"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства