РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ n-Й СТЕПЕНИ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ (технологические находки)

Статья/Физика и математика – Математика

Пономарёва О.Ф.

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ n-Й СТЕПЕНИ

НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

МКОУ Кумылженская СОШ № 1 имени Знаменского А.Д.

В данной работе рассматривается метод разложения многочленов n-й степени на линейные множители, решение приведённых уравнений n-й степени. Даны алгоритмы решения и краткости рассуждений.

Ключевые слова: разложение многочленов n-й степени на линейные множители, соотношения между корнями и коэффициентами приведённого многочлена третьей и четвёртой степеней.

Практическое значение имеет умение быстро производить разложение многочленов n-й степени на линейные множители. В своей практике считаю весьма важным и даже необходимым добиваться от учащихся именно такого способа решения приведённых уравнений n-й степени.

Повторив определение и свойства приведённого квадратного трёхчлена:

1. Р(х) = х² + pх + q — приведённый квадратный трёхчлен.

2. Разложение квадратного трёхчлена на множители:

если х₁ , х₂ — корни приведённого квадратного трёхчлена, то х² + pх + q = (х — х₁) (х — х₂ ).

На основании этого свойства можно составить квадратный трёхчлен по его корням.

Задание 1. Составить квадратный трёхчлен по его корням х₁ = 3; х₂ = 5.

Решение.

х₁ = 3; х₂ = 5, то (х — 3) (х — 5) = х² — 8х + 15.

Ответ: х² — 8х + 15.

1. Теорема Виета для приведённого квадратного трёхчлена.

Если х₁ , х₂ — корни многочлена х² + pх + q, то p = — (х₁ + х₂), q = х₁ • х₂.

Решая приведённые квадратные уравнения, отыскиваются корни среди делителей свободного члена.

Задание 2. Решить уравнение х² — 5 х + 6 = 0.

Решение.

х² — 5 х + 6 = 0, х₁ = 2; х₂ = 3,

так как — (х₁ + х₂) = — 5, х₁ • х₂ = 6.

Ответ: х₁ = 2; х₂ = 3.

Подумайте над следующим вопросом: «Справедливы ли эти свойства для произвольного многочлена n-й степени?» Используя сравнение и аналогию, учащиеся дают определение приведённого многочлена n-й степени и формулируют для него свойство, аналогичное свойству II. «Если х₁, х₂, х₃,..., х_n — корни приведённого многочлена Р(х) степени n, то Р(х) = (х — х₁) (х — х₂)... (х — х_n)».

Задание 3. Составить приведённый многочлен Р(х) 3-й степени,

если х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = ―1.

Решение.

Так как Р(х) = (х — х₁ ) (х — х₂ )... (х — х_n ),

где х₁, х₂, х₃,…, х_n — корни приведённого многочлена Р(х) степени n,

то Р(х)= (х — 1 ) (х — 2 ) (х + 1 ).

Произведя раскрытие скобок, имеем: Р(х) = х³ — 2 х² — х + 2.

Ответ: х³ — 2 х² — х + 2.

Задание 4. Составить приведённый многочлен Р(х) 4-й степени, если х₁ = х₂ = √2, х₃ = х₄ = ―√2.

Решение.

Так как Р(х) = (х — х₁ ) (х — х₂ )... (х — х_n ),

где х₁, х₂, х₃,…, х_n — корни приведённого многочлена Р(х) степени n,

то Р(х)= (х — √2) (х — √2) (х + √2) (х + √2).

Используя формулу сокращённого умножения (а² — в²) =(а — в) (а + в),

имеем: Р(х) = (х² — 2)², Р(х) = х⁴ — 4 х²+ 4.

Ответ: х⁴ — 4 х²+ 4.

Используя разложение приведённого многочлена n-й степени на множители, выведем соотношения между корнями и коэффициентами

приведённого многочлена третьей степени, четвёртой степени.

1. Если многочлен х³ + pх² + qx + r имеет корни х₁, х₂, х₃, то верны равенства: р = ― (х₁ + х₂ + х₃), q = x₁х₂ + х₂х₃ + х₁х₃, r = ― х₁ х₂ х₃.

2. Если многочлен х⁴ + pх³ + qx² + rх + s имеет корни х₁, х₂, х₃, х₄, то верны равенства: р = ― (х₁ + х₂ + х₃ + х₄), q = x₁х₂ + x₁х₃ + x₁х₄ + х₂х₃ + х₂х₄ +х₃ х₄, r = ― (х₁ х₂ х₃ + х₁ х₂ х₄ + х₂ х₃ х₄), s = х₁ х₂ х₃ х₄.

Задание 5. Числа х₁, х₂, х₃ ― корни многочлена D(х) = 3х³ + 5х² + х + 4.

Определить: 1) х₁ + х₂ + х₃; 2) х₁ х₂ х₃; 3) 1/ х₁ + 1/х₂ + 1/х₃.

Решение.

Так как D(х) = 3х³ + 5х² + х + 4, то Р(х) = х³ + 5/3 • х² + 1/3 • х + 4/3,

где х₁, х₂, х₃ — корни приведённого многочлена Р(х) степени 3-й.

х₁ + х₂ + х₃ = — р, то 1) х₁ + х₂ + х₃ = — 5/3.

Используя r = ― х₁ х₂ х₃ , имеем: 2) х₁ х₂ х₃ = ― 4/3.

3) Преобразуем: 1/ х₁ + 1/х₂ + 1/х₃ =

х₂ х₃ : (х₁ х₂ х₃) + х₁ х₃ : (х₁ х₂ х₃) + х₁ х₂ : (х₁ х₂ х₃) =

(х₁ х₂ + х₁ х₃ + х₂ х₃) : (х₁ х₂ х₃) = 1/3 : (― 4/3) = ― 1/4.

Ответ: — 5/3; ― 4/3; ― 1/4.

Задание 6. Решить уравнение х³ — 5 х² — х + 21 = 0.

Решение.

х³ — 5 х² — х + 21 = 0,

Так как х₁ + х₂ + х₃ = 5; x₁х₂ + х₂х₃ + х₁х₃ = — 1; х₁ х₂ х₃ = — 21.

Решая систему из трёх уравнений с тремя неизвестными,

отыскиваем корни данного уравнения: х₁ = 1 — 2√2; х₂ = 3; х₃ = 1 + 2√2.

Ответ: х₁ = 1 — 2√2; х₂ = 3; х₃ = 1 + 2√2.

Применяя данный метод разложения приведённого многочлена n-й степени на множители, от учащихся не нужно требовать подробной записи, после условия исходного приведённого многочлена n-й степени можно сразу записывать разложение на множители.

Отметим, что рассмотренный метод позволяет быстро определять корни приведённых уравнений n-й степени и уравнений общего вида n-й степени, что имеет важное практическое значение для учащихся во время проведения внешних аттестаций, различного типа исследований качества знаний.

Литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / под ред. А. Б. Жижченко.– 3-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 368 с.

2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.