Разложение многочленов на линейные множители. Теорема Виета для приведённого многочлена n-й степени (технологические находки).

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ. ТЕОРЕМА ВИЕТА ДЛЯ ПРИВЕДЁННОГО МНОГОЧЛЕНА n-Й СТЕПЕНИ

Выполнила: Д. Оралбаева, ученица 11 класса

Руководитель: О.Ф. Пономарёва, учитель математики высшей квалификационной категории

МКОУ Кумылженская СШ № 1 имени Знаменского А.Д.

Кумылженского района Волгоградской области

Математика ─ наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Актуальность:

заключается в необходимости понимать, как действует метод разложения многочленов n-й степени на линейные множители.

Проблема:

насколько разнообразны способы разложения многочленов n-й степени на линейные множители?

Цели:

• исследование и выявление новых методов разложения многочленов n-й степени на линейные множители,
• решение приведённых уравнений n-й степени,
• совершенствование своих возможностей в области проектной деятельности и познания процесса изменения величин,
• воспитание чувства гордости за науку.

Задачи проекта:

• развитие интереса к исследовательско-познавательной деятельности, популяризация знаний;
• раскрытие творческого потенциала;
• развитие коммуникативных навыков;
• формирование управленческих умений (умения понимать поставленную задачу, понимать последовательность действий для выполнения поставленной задачи, планировать свою работу);
• формирование социального опыта (навыков организации, осуществление сотрудничества в процессе совместной работы, воспитание ответственности за порученное дело).

Методы:

• поисково-исследовательский метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в Интернет-ресурсах;
• анализ данных, полученных в ходе исследования.

Вспомним определение и свойства приведённого квадратного трёхчлена:

• приведённый квадратный трёхчлен:

Р(х) = х 2 + pх + q,

где х ― переменная, p и q ― некоторые числа;

• разложим квадратный трёхчлен на множители: х 2 + pх + q = (х — х 1 ) (х — х 2 ), где х 1 , х 2 — корни приведённого квадратного трёхчлена .

Задание 1. Составить квадратный трёхчлен по его корням х 1 = 3; х 2 = 5 .

Решение.

На основании свойства приведённого квадратного трёхчлена, имеем:

х 1 = 3; х 2 = 5, то (х — 3) (х — 5) = х 2 — 8х + 15.

Ответ: х 2 — 8х + 15.

Задание 2. Решить уравнение х 2 — 5 х + 6 = 0.

Решение.

х 2 — 5 х + 6 = 0, х 1 = 2; х 2 = 3,

так как — (х 1 + х 2 ) = — 5, х 1 • х 2 = 6.

Ответ: х 1 = 2; х 2 = 3.

«Справедливы ли эти свойства для произвольного многочлена n-й степени?»

• Если х 1 , х 2 , х 3 ,..., х n — корни приведённого многочлена Р(х) степени n, то Р(х) = (х — х 1 ) (х — х 2 )... (х — х n ).

Задание 3. Составить приведённый многочлен Р(х) 3-й степени, если х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = ―1.

Решение.

Так как Р(х) = (х — х 1 ) (х — х 2 )... (х — х n ),

где х 1 , х 2 , х 3 ,…, х n — корни приведённого

многочлена Р(х) степени n,

то Р(х)= (х — 1 ) (х — 2 ) (х + 1 ).

Произведя раскрытие скобок, имеем:

Р(х) = х 3 — 2 х 2 — х + 2.

Ответ: х 3 — 2 х 2 — х + 2.

Задание 4. Составить приведённый многочлен Р(х) 4-й степени, если х 1 = х 2 = √2, х 3 = х 4 = ―√2.

Решение.

Так как Р(х) = (х — х 1 ) (х — х 2 )... (х — х n ),

где х 1 , х 2 , х 3 ,…, х n — корни приведённого

многочлена Р(х) степени n, то

Р(х)= (х — √2) (х — √2) (х + √2) (х + √2).

Используя формулу сокращённого умножения

(а 2 — в 2 ) =(а — в) (а + в), имеем:

Р(х) = (х 2 — 2) 2 , Р(х) = х 4 — 4 х 2 + 4.

Ответ: х 4 — 4 х 2 + 4.

Вывод соотношений между корнями и коэффициентами приведённого многочлена третьей и четвёртой степеней.

• Если многочлен х 3 + pх 2 + qx + r имеет корни х 1 , х 2 , х 3 , то верны равенства: р = ― (х 1 + х 2 + х 3 ), q = x 1 х 2 + х 2 х 3 + х 1 х 3 , r = ― х 1 х 2 х 3 .
• Если многочлен х 4 + pх 3 + qx 2 + rх + s имеет корни х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , то верны равенства:

р = ― (х 1 + х 2 + х 3 + х 4 ),

q = x 1 х 2 + x 1 х 3 + x 1 х 4 + х 2 х 3 + х 2 х 4 +х 3 х 4 ,

r = ― (х 1 х 2 х 3 + х 1 х 2 х 4 + х 2 х 3 х 4 ), s = х 1 х 2 х 3 х 4 .

Задание 5. Числа х 1 , х 2 , х 3 ― корни многочлена D(х) = 3х 3 + 5х 2 + х + 4. Определить: 1) х 1 + х 2 + х 3 ; 2) х 1 х 2 х 3 ; 3) 1/ х 1 + 1/х 2 + 1/х 3 .

Решение.

Так как D(х) = 3х 3 + 5х 2 + х + 4, то Р(х) = х 3 +

5/3 • х 2 + 1/3 • х + 4/3,

где х 1 , х 2 , х 3 — корни приведённого

многочлена Р(х) степени 3-й.

х 1 + х 2 + х 3 = — р, то 1) х 1 + х 2 + х 3 = — 5/3.

Используя r = ― х 1 х 2 х 3 , имеем: 2) х 1 х 2 х 3 = ―

4/3.

3) Преобразуем: 1/ х 1 + 1/х 2 + 1/х 3 =

х 2 х 3 : (х 1 х 2 х 3 ) + х 1 х 3 : (х 1 х 2 х 3 ) + х 1 х 2 : (х 1 х 2 х 3 ) = (х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 ) : (х 1 х 2 х 3 ) =

1/3 : (― 4/3) = ― 1/4.

Ответ: — 5/3; ― 4/3; ― 1/4.

Задание 6. Решить уравнение х 3 — 5 х 2 — х + 21 = 0.

Решение.

х 3 — 5 х 2 — х + 21 = 0,

Так как х 1 + х 2 + х 3 = 5; x 1 х 2 + х 2 х 3 + х 1 х 3 = — 1;

х 1 х 2 х 3 = — 21.

Решая систему из трёх уравнений с тремя

неизвестными, отыскиваем корни данного

уравнения: х 1 = 1 — 2√2; х 2 = 3; х 3 = 1 + 2√2.

Ответ: х 1 = 1 — 2√2; х 2 = 3; х 3 = 1 + 2√2.

Результаты работы:

апробация созданного проекта на:

• внеурочной деятельности школьников профильных групп,
• элективных занятиях,
• на заседании МО учителей математики, физики, информатики и ИКТ.

Участие в международной научно-практической интернет конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований 2015».

Вывод:

Отметим, что рассмотренный метод позволяет быстро определять корни приведённых уравнений n-й степени и уравнений общего вида n-й степени, производить разложение многочленов n-й степени на линейные множители.

Доступность, логичность материала может быть использовано для подготовки к различным типам исследований качества знаний учащихся.

Литература:

• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / под ред. А. Б. Жижченко.– 3-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 368 с.
• Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

Спасибо за внимание!