Прототипы заданий 14. Подготовка к ЕГЭ.

Республиканский методический фестиваль «Уроки математики и информатики

в современной школе».

Методическая разработка.

Подготовка к ЕГЭ. Прототипы заданий В 14.

Владимирова Вера Васильевна.

Учитель математики МБОУ «Новобуяновская СОШ»,

Янтиковский район, Чувашская Республика.

2013 год.

Пояснительная записка.

ЕГЭ по математике направлен на контроль сформированности у выпускников математических компетенций, предусмотренных требованиями Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике. Он является одним из двух обязательных экзаменов, который сдают все выпускники общеобразовательных учреждений, и экзаменом, в массовом порядке, востребованном для поступления в вуз (в частности, на все технические специальности). Тема «Исследование функции на наибольшее, наименьшее значение, минимумы и максимумы (позиция открытого банка задач ЕГЭ В14) соответствует учебной программе для выпускников 11 класса.

Цель: помочь выпускникам при подготовке к ЕГЭ.

Задача: проверка уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме.

Актуальность: Как показал анализ результатов ЕГЭ по математике , наибольшую трудность среди заданий части «В» вызвали задания В14 (решили 38% учащихся).

Уровень апробации: школьный, районный.

Основная часть:

При исследовании функции на наибольшее, наименьшее значение, минимумы и максимумы (позиция открытого банка задач ЕГЭ В14) обучающиеся часто придерживаются определенного алгоритма, который мы рассматриваем на уроках.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке:

1. Найти производную функции.

2. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.

3. Найти значение функции на краях числового промежутка и в нулях производной, входящих в данный числовой промежуток.

4. Выбрать среди полученных значении значение, соответствующее вопросу задачи ( наибольшее или наименьшее)

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции без указания числового промежутка:

1. Найти производную функции.

2. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.

3. Провести исследование на экстремумы, на области определения функции. Если экстремум один, то именно в нем достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.

4. Найти соответствующее значение функции подстановкой.

Алгоритм нахождения точек экстремума:

1. Найти производную функции.

2. Приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение.

3. На числовой прямой отметить нули производной и точки, в которых производная не определена.

4. Соотнести поведение производной с поведением функции и ответить на вопрос.

Примеры решения из открытого банка задач ЕГЭ В14.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение:

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке: 

Наименьшим значением заданной функции на отрезке  будет . 

Ответ: −1.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение:

Найдем производную заданной функции: 

Найдем нули производной на заданном отрезке: 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: 51.

Пример3 : Найдите наименьшее значение функции . 
Решение:

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке , в нашем случае — в точке 3. Функция  в этой точке определена и принимает значение . Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции. 

Ответ: 2.

Пример 4. Найдите наибольшее значение функции . 
Решение:

Поскольку функция  возрастающая, заданная функция достигает наибольшего значения в той же точке, в которой достигает наибольшего значения выражение . Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке , в нашем случае — в точке  −3. Значение функции в этой точке равно  

Ответ: 9.

Пример5: Найдите точку минимума функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции: 

Найдем нули производной: 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: 

Искомая точка минимума .

Ответ: -2,5.

Пример6 . Найдите точку максимума функции .
Решение:

Найдем производную заданной функции: 

.

В точке 3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эта точка является точкой максимума.

Ответ: 3.

Задания для самостоятельного решения с ответами:

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Ответ: 1.

2. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

Ответ: -24.

3. Найдите точку максимума функции . Ответ: 6.

4. Найдите точку минимума функции .  Ответ: -1

5.Найдите точку максимума функции . Ответ: -4.

Список использованной литературы:

1. А.Н.Колмогоров. « Алгебра и начала анализа. 10-11 класс»

2. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике 2013.