Практическое занятие. Тема: Перпендикуляр и наклонная.

Практическое занятие

Тема: Перпендикуляр и наклонная.

Цели:

Образовательная: продолжить формирование у студентов умений решать задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная».

Воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач.

Развивающая: развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, индивидуальные карточки-задания, записи на доске.

Использование элементов педагогических технологий:

1. сотрудничества;

2. здоровье сберегающих (чередование видов деятельности);

3. информационно-коммуникационных;

4. развивающих;

5. личностно-ориентированных.

Результативность:

формирование компетенций: ценностно-смысловой, учебно-познавательной, коммуникативной, личного самосовершенствования.

План занятия.

1) Подготовительный этап.

Повторение опорных знаний.

1) Проверка усвоения пройденного материала фронтально (или индивидуально) по следующим вопросам (на экран проектируются вопросы, на которые студенты отвечают устно).

1. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости.

2. Какая прямая называется наклонной к плоскости?

3. Что называется проекцией наклонной на плоскость?

4. Как формулируется теорема о трех перпендикулярах?

5.Как определяется угол между прямой и плоскостью?

2) Теоретический этап.

а) К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 13 см, проекция наклонной равна 5 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

б) Расстояние от точки D до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 15 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC, если АВ = 10 см.

3) Практический этап.

Самостоятельное применение умений и знаний.

Провести самостоятельную работу в 15 вариантах. (Приложение 1)

Список литературы.

1. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 клас­сы. — М., 2014.

2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014.

Приложение 1.

Варианты для самостоятельной работы.

Вариант 1

1)Точка А не лежит в плоскости, а точка Е - принадлежит этой плоскости. АЕ = 13 cм, проекция этого отрезка на плоскость равна 5см. Каково расстояние от точки А до данной плоскости?

2)Равнобедренный треугольник ABE находится в плоскости α. Боковые стороны треугольника ABE равны по 10 см, а сторона основания AE=16 см. К этой плоскости проведены перпендикуляр CB, который равен 6 см, и наклонные CA и CE. Вычислите расстояние от точки C до стороны треугольника AE.

3) Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника, а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если ВС = 4, DC =6.

Вариант 2

1) Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°. P∈a, точка R - проекция точки P на плоскость β. PR=7 см. Найди PC.

2)Прямоугольный треугольник MBE (∢M=90°) находится в плоскости α.  BE=13 см, а ME=12 см. К этой плоскости проведён перпендикуляр CB длиной 7 см. Вычисли расстояние от точки C до стороны треугольника ME.

3)Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что АВ =АС = 5 см, ВС= 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

Вариант 3

1) К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 10 см, проекция наклонной равна 6 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

2) Точка K расположена в расстоянии 8 cm от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от вершин прямоугольника расположена точка K, если длина сторон прямоугольника 24 cm и 18 cm.

3) Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС=9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD;

Вариант 4

1) К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 18 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

2) Расстояние от точки G до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 12 см. Найдите расстояние от точки G до плоскости ABC, если АВ = 9 см.

3) Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.

Вариант 5

1) Прямая  m пересекает плоскость ß в точке A, и образует с плоскостью угол 60°,P∈ m,  точка R - проекция точки P на плоскость β. PR=9 см. Найди PА.

2)Наклонная AD с плоскостью α образует угол 30˚, а наклонная DC с плоскостью α образует угол 45˚. Длина перпендикуляра DB равна 7 см. Вычисли длины обеих наклонных.

3) Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BМ = 10 дм, АВ = 5 дм.

Вариант 6

1) Длина отрезка VB равна 10 м. Он пересекает плоскость в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 2 м и 3 м. Найди острый угол, который образует отрезок VB с плоскостью.

2) Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен 5, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен 60˚. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = 8. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

3) Из точки А, удаленной от плоскости ß на расстояние 5 см, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость ß образуют угол в 120°. Найдите ВС.

Вариант 7

1) Проекции наклонных AD и DC на плоскости α равны соответственно 4 см и 10 см, а угол между ними равен  60°. Вычисли расстояние между концами проекций наклонных.

2) Точка M расположена в расстоянии 10 cm от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от вершин прямоугольника расположена точка M, если длина сторон прямоугольника 12 cm и 5 cm.

3) Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 11 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

Вариант 8

1) К плоскости α проведена наклонная СD (C∈α). Длина наклонной равна 16 см, наклонная с плоскостью образует угол 30°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка D.

2) Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

3) Отрезок КD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника КРЕ. Известно, что КР =КЕ = 4 см, РЕ= 8 см, КD = 14 см. Найдите расстояния от концов отрезка КD до прямой РЕ.

Вариант 9

1) Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна 7см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 30°?

2) Расстояние от точки N до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 5 см. Найдите расстояние от точки N до плоскости ABC, если АВ = 8 см.

3) Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, КВ = 7 см, КС=9 см. Найдите расстояние между прямыми АК и CD.

Вариант 10

1) Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна 15. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 60°.

2) Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите расстояние от точки D до прямой AC

3) Точка М расположена в расстоянии 10 см. от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от верши прямоугольника расположена точка M, если длина сторон прямоугольника 16 см и 10 см.

Вариант 11

1) Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

2) Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 √7 см.

3) Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС=10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите площадь треугольника ACD.

Вариант12

1) Проекции наклонных AМ и МC на плоскость α равны соответственно 5 см и 8 см, а угол между ними равен  45°.

Вычисли расстояние между концами проекций наклонных

2) Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны

3) Через вершину М квадрата MNOR проведена прямая MF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если MF = 12 дм, MN = 6 дм.

Вариант 13

1) Один конец данного отрезка лежит в плоскости ß, а другой находится от нее на расстоянии 12 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости ß.

2) Точка P расположена в расстоянии 12 см от плоскости прямоугольника ABCD и в равных расстояниях от вершин прямоугольника.

Рассчитай, на каком расстоянии от вершин прямоугольника расположена точка P, если длина сторон прямоугольника 8 см и 6 см.

3) Проекции наклонных MN и MK на плоскости α равны соответственно 8 см и 12 см, а угол между ними равен  30°. Вычисли расстояние между концами проекций наклонных.

Вариант 14

1) Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна 8см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 45°.

2) Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если AB = 25 см, ∠BAD = 60°, BM =12,5 см.

3) Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что ∠OAB= ∠BAС = 60°, АО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Вариант 15

1) Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 3 см и 7 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.

2) Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

3) Наклонная НМ, проведенная из точки Н к данной плоскости, равна 9см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой НМ и данной плоскостью равен 45°?