Поурочное планирование по алгебре в 8 классе.

Тематическое

планирование

учебного

материала

для учебника Ю.Н. Макарычева,

Н.Г. Миндюка, К.И. Нешкова,

СБ. Суровой

«Алгебра 8»

3 часа в неделю, всего - 120 час.

Преподаватель – Рамазанов Сабир Сабирович.

Предисловие

Предлагаемое пособие представляет собой подробное поурочное планирование по алгебре для 8 класса общеобразовательных учреждений.

Пособие ориентировано, прежде всего, на работу с базовым учебником:
Ю.Н. Макарычев, Н.Г Миндюк и др. Алгебра: 8 класс. — М.: Просвещение.

В пособие включены также темы, позволяющие его использовать и при работе с учебником:

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. Алгебра:8 класс. — М; Просвещение.

Каждый урок разбивается на ряд этапов:

1. Сообщение темы и цели урока (~ 1-2 мин)

Учащимся кратко сообщается тема проводимого урока и цели, которые должны быть достигнуты: ознакомиться с новыми понятиями, сведениями, изучить способы решения типовых задач, отработать определенные навыки и т. д.

1. Повторение и закрепление материала (~ 15—18 мин)

Включает в себя ответы по домашнему заданию (~ 5 мин) как по теоретическим вопросам, так и разбор нерешенных задач. Это может быть сделано либо учителем, либо кем-то из школьников (желательно добровольно). Эта часть урока включает в себя и контроль знаний (~ 10—12 мин). Поурочные контрольные материалы представлены в виде: тестов, письменных опросов и самостоятельных работ.

Тесты используются при контроле сравнительного простого материала, не требующего серьезных теоретических знаний или сложных способов решения.

В письменных опросах предусмотрены теоретические вопросы, связанные с основными понятиями, сведениями и приемами решения задач; а также решение задач.

В самостоятельные работы включены более сложные задачи, требующие сравнительно серьезных усилий.

1. Изучение нового материала (~ 10—15 мин).

С помощью учащихся и наводящих вопросов рассматривается новая тема. При этом желательно максимально активизировать учащихся - достигнутые знания усваиваются лучше сообщенных.

Разумеется, изучение нового материала должно сопровождаться решением задач по теме (у доски, самостоятельно на месте и др.).

Помимо задач, приведенных в базовых учебниках, почти для каждого урока приводятся творческие задания, которые требуют более высокой техники вычислений, отработанных навыков, логического мышления.

В зависимости от уровня подготовки класса такие задачи могут быть использованы при работе в классе, в домашних заданиях, на факультативных занятиях.

В конце урока подводятся его итоги (~ 1—2 мин). Сообщается, какие цели урока достигнуты (что удалось сделать), проставляются оценки за ответы на уроке и за самостоятельную работу, записывается домашнее задание.

По прохождении темы предусмотрена контрольная работа в трех уровнях сложности. Уровень сложности определяется или учителем или самим учащимся. Для написания контрольной работы желательно использовать сдвоенный урок (80 мин), т. к. в 8 классе учащиеся еще не слишком собраны.

Также проводится и зачетная работа, в которую включено большее количество задач трех уровней сложности. Такая работа позволяет сравнить успехи учащихся в одинаковых условиях.

Собранный в пособии материал избыточен. Поэтому его можно использовать для дифференцированного обучения, факультативных занятий, проведения олимпиад и т. д. Пособие будет полезно в первую очередь начинающим учителям, которые могут использовать целиком изложенные уроки.

Опытные учителя могут использовать предложенный материал, частично сообразуясь со своим опытом и планом. Разумеется, поурочные разработки являются ориентировочными и рассчитаны в основном на классы с высокой математической подготовкой.

Рекомендации к проведению уроков:

Разумеется, все изложенное носит исключительно рекомендательный характер.

Определяющими факторами являются подготовленность клас­са, его работоспособность, интерес к изучению алгебры. Поэтому ни одно планирование не может являться догмой. Весь ход урока должен способствовать обучению школьников. На наш взгляд, пусть каждый отдельный школьник лучше усвоит тот материал, который в состоянии понять, чем не поймет ничего. В последнем случае ситуация принимает лавинообразный характер - у учащихся возникает комплекс неполно­ценности, к выполнению домашнего задания привлекаются все домо­чадцы, возникают списывание, подсказки, шпаргалки и т. д.

Другая причина, по которой нельзя создать универсальное поуроч­ное планирование - использование в школах 3-4 различных учебников. При этом даже для одного конкретного учебника предусмотрены не­сколько различных вариантов обучения (с соответствующим тематиче­ским планированием и различным количеством часов на обучение).

В связи с этим данное пособие позволяет проводить занятия по двум наиболее распространенным учебникам по варианту 120 часов в год. Содержание уроков является избыточным (в расчете на очень подготовленный, сильный класс). При необходимости часть материала опускается либо излагается достаточно поверхностно.

С уче­том несобранности и неорганизованности семиклассников желательно иметь в расписании сдвоенные уроки алгебры. Тем более их желательно иметь при написании контрольных работ и тематических зачетов.

Поурочное планирование включает в себя четыре вида занятий:

- урок на изучение нового материала;

- урок на отработку и закрепление пройденного материала;

- контрольная работа;

- тематический зачет.

Рассмотрим эти виды занятий:

Урок на изучение нового материала включает в себя семь этапов:

1. Сообщение темы и цели занятий (~ 1-2 мин). Необходимо донести до учащихся необходимость данной темы (области применения этих знаний) и цель урока (навыки и приемы, которые должны быть усвоены в ходе проведения урока).

2. Изучение нового материала (основные понятия) (~ 15 мин) возможно двумя путями:

1) с помощью подсказок, примеров и наводящих вопросов учителя школьники самостоятельно (при фронтальной работе) приходят к формулировке основных понятий и правил рассматриваемого раздела алгебры. Затем учитель уточняет и корректирует эти результаты. Однако, учитывая, что изучение алгебры начинается именно в седьмом классе и все понятия для учащихся незнакомы, такой путь можно рекомендовать лишь для самых простых тем либо отдельных фрагментов урока;

2) учитель формулирует основные понятия и правила, иллюстрируя их примерами. Такой подход требует меньше времени, но менее эффек­тивен (всегда полезнее самостоятельно решить задачу, чем услышать объяснение ее решения).

1. Контрольные вопросы по изучаемому материалу задает учитель для проверки усвоения и понимания возникающих понятий, терминов и т. д. (-5 мин). Вопросы могут задаваться как индивидуально, так и фронтально. Следует обратить внимание именно на понимание понятий, а не на их механическое запоминание. Для этого рекомендуется кроме определения попросить учащегося привести соответствующие примеры. В случае затруднения такие примеры могут привести другие школьники или учитель.

2. Задание на уроке дает учитель из числа наиболее характерных, типовых задач (-15 мин). Задание может выполняться:

1. самостоятельно учащимися всего класса в тетрадях с последую­щим разбором кем-то из школьников (например, первым выполнившим задание) у доски. При этом желательна активная работа всех учащихся: поиск ошибок в решении на доске, вопросы по решению, другие спосо­бы решения и т. д.;

2. в виде диалога учащихся, сидящих за одной партой: решение за­дания, обмен тетрадями и взаимная проверка решения;

3. в виде работы у доски одного или нескольких школьников.

После выполнения задания возможен как взаимоконтроль учащихся у доски, так и подключение к проверке решения всего класса. Разумеет­ся, при этом будет происходить и диалог учителя с отвечающим у доски.

1. Задание на дом дается учителем из числа типовых, характерных задач, аналогичных рассмотренным в классе. Задание должно быть рас­считано на 30-40 минут. Желательно, чтобы учащимися были рассмот­рены разные способы решения задачи. Это приводит к активизации мышления школьников, творческому пониманию материала и т. д.

При выполнении домашнего задания необходимо приучить школь­ников фиксировать непонятый материал: теоретические сведения, нере­шенные задачи и т. д. Полезно научить школьников формулировать, что именно им непонятно. Четко сформулированный вопрос - это половина ответа на этот вопрос. Особенно такие навыки понадобятся учащимся в старших классах. Разумеется, все возникающие вопросы и нерешенные задачи необходимо разобрать на ближайшем занятии по математике.

6. Во многих уроках предусмотрены творческие задания. Эти за­дания отличаются от приводимых в учебнике - или большей сложно­стью, или нестандартностью формулировки задания, или новым спо­собом решения. Поэтому рассмотрение подобных заданий очень полез­но. В зависимости от подготовленности класса эти задания могут быть рассмотрены:

1) на внеклассных занятиях (дополнительные занятия, кружки, фа­культативы и т. д.);

2) со всеми учащимися как в качестве задания в классе, так и в каче­стве домашнего задания;

3) дифференцированно с наиболее подготовленными школьниками или на уроке, или в виде домашнего задания;

4) во время проведения математических боев, олимпиад, недель ма­тематики и т. д.

Творческие задания выполняются в пределах отведенного времени на урок.

1. Подведение итогов урока (~ 1-2 мин) проводится учителем с учетом самостоятельной работы школьников, ответов у доски. Отдель­ных дополнений, вопросов, комментариев учащихся. За все эти виды деятельности выставляются оценки с их кратким обоснованием.

Урок на отработку и закрепление пройденного материала от­личается этапом II. Теперь на этом этапе предусмотрено повторение и закрепление пройденного материала (~20 мин). Прежде всего, оно включает ответы на вопросы по домашнему заданию. Желательно, что­бы такие ответы давались самими учащимися класса. Вопросы могут включать в себя непонятые определения, термины и другой теоретиче­ский материал. По-видимому, возникнет и необходимость разбора не­решенных задач.

В этой части урока желательная максимальная активность всего клас­са. Школьник, объясняя и комментируя свое решение задачи, лучше ус­ваивает изучаемый материал. Кроме того, его объяснения могут оказаться более удобными для понимания ровесниками, чем объяснения учителя. Ориентировочное время на такую стадию этапа II - 5-10 минут.

На второй стадии этого этапа предусмотрен контроль усвоения мате­риала (письменный опрос или самостоятельная работа), на который от­водится — 10-15 минут.

Письменный опрос содержит теоретический вопрос и 1-2 задачи, аналогичные заданию в классе и домашнему заданию. При проверке ответа на теоретический вопрос следует в первую очередь обращать внимание на понимание, а не на строгость и четкость формулировок (к ним учащиеся придут в старших классах).

Самостоятельная работа включает 2-3 типовых, характерных задачи.

В материалах уроков тесты не содержатся. Это связано с тем, что учащиеся седьмого класса очень часто ошибаются. Тестирование не дает возможности выявить причину ошибки: непонимание темы, невнима­тельность, пробелы в предыдущем материале, арифметические ошибки и т. д. Поэтому тестирование целесообразно в более старших классах (да и то по определенным темам).

По каждой изучаемой теме приводятся одна или две контрольные работы. Они составлены в шести вариантах различной сложности (ва­рианты 1, 2 - самые простые, варианты 3, 4 - сложнее, варианты 5, 6 - самые сложные).

Вариант содержит 6 задач, из которых две последние чуть сложнее предыдущих. Как правило, задачи вариантов подобны задачам, решае­мым в классе и дома. Выбор вариантов может быть сделан или самими учащимися (с учетом их самооценки), или учителем (с учетом успехов школьника).

Оценка контрольной работы может быть выполнена следующим об­разом: в вариантах 1, 2 за любые пять решенных задач ставится оценка «5», за четыре задачи - оценка «4», за три задачи - оценка «3». Шестая задача дает учащимся некоторую свободу выбора и определенный ре­зерв. При таких же критериях за решение заданий вариантов 3, 4 добав­ляется 0,5 балла; за решение заданий вариантов 5, 6 - добавляется 1,0 балла (учитывая большую сложность их заданий).

Контрольная работа рассчитана на два урока (на наш взгляд - это оп­тимальное время на написание работы). Учащиеся седьмого класса еще в достаточной степени не собраны, медлительны, неорганизованы. Поэтому одного урока на проведение контрольной работы недостаточно. При необходимости за счет уменьшения количества задач или за счет некоторого либерализма при проверке контрольная работа может быть проведена и за один урок.

После каждой контрольной работы проводится ее анализ и разбор наиболее сложных задач. Ко всем заданиям вариантов 1-4 приведены ответы, задачи вариантов 5, 6 разобраны. Полезно после контрольной работы вывешивать на стенде в классе разбор заданий всех вариантов. Заметим, что за счет дифференциации самих вариантов и заданий в них, возможна некоторая необъективность оценок за контрольную работу.

Чтобы устранить подобную необъективность, дать возможность повышения оценок у учащихся, еще раз повторить и закрепить пройденную тему на последнем занятии, проводится письменный тематический зачет. Ему предшествует урок на повторение данной темы.

Тематический зачет составлен в двух равноценных вариантах. Задания каждого варианта разделяются по сложности на три группы («группа А» - самые простые задачи, «группа В» - более сложные задачи и «группа С» - самые сложные задачи). Каждая задача из «А» оценивается в 1 балл, из «В» - в 2 балла, из «С» - в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока «А» можно получить 7 баллов, блока «В» - 8 баллов и блока «С» - 9 баллов (всего 24 балла). Оценка «3» ставится за 6 баллов, оценка «4» - за 10 баллов, оценка «5» - за 14 баллов.

Тематическое планирование к учебнику
Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой

вариант: 3 ч в неделю (всего 102 ч).

Номер параграфа	Содержание материала		Количество часов
Глава I. Рациональные дроби			23
1	Рациональные дроби и их свойства		5
2	Сумма и разность дробей		6
	Контрольная работа № 1		1
3	Произведение и частное дробей		10
	Контрольная работа N 2		1
Глава II. Квадратные корни			21
4	Действительные числа		2
5	Арифметический квадратный корень		5
6	Свойства арифметического квадратного корня		3
	Контрольная работа N 3		1
7	Применение свойств арифметического квадратного корня		9
	Контрольная работа N 4		1
Глава III. Квадратные уравнения			22
8	Квадратное уравнение и его корни		3
9	Формула корней квадратного уравнения		7
	Контрольная работа № 5		1
10	Дробные рациональные уравнения		10
		Контрольная работа № 6	1
Глава IV. Неравенства			18
11	Числовые неравенства и их свойства		7
12	Неравенства с одной переменной и их системы		10
	Контрольная работа N 7		1
Глава V. Степень с целым показателем			10
13	Степень с целым показателем и ее свойства		6
14	Приближенные вычисления		3
	Контрольная работа № 8		1
	Повторение		7
	Итоговая контрольная работа		1

Глава I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ.

§ 1. Рациональные дроби и их свойства.

Урок № 1.

Тема урока: Рациональные выражения.

Цели урока:

Образовательные:

- выявление уровня вычислительных навыков работы с рациональными дробями;

- коррекция знаний, умений, навыков;

- ввести понятия рациональные выражения и допустимые значения

переменных в них;

- формировать умение находить рациональные выражения, выполняя действия над числами и ис­пользуя скобки.

Развивающие:

- развивать логическое мышление обучающихся;

- развивать математическую речь обучающихся;

- развивать наблюдательность, память обучающихся.

Воспитательные:

- прививать аккуратность, точность;

- формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

План урока:

№	Этап урока	Содержание	Время (мин)
1	Организационный момент.	Нацелить учащихся на урок	5
2	Изучение нового материала (основные понятия).	Объяснить и повторить с обучающимися понятие рациональных дробей и рассмотреть их свойства.	15
3	Контрольные вопросы.	Выяснение знаний обучающихся о некоторых основных формулах и понятий математики при помощи контрольных вопросов.	5
4	Задание на уроке.	Закрепить сведения, разобранные на уроке, с помощью решения примеров.	15
5	Задание на дом.	Задать обучающимся задание на дом и объяснить порядок его выполнения.	2
6	Подведение итогов урока.	Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке	3

Ход урока:

1. Организационный момент (5 минут):

- заполнить доску (число, тема урока, домашнее задание);

- заполнить журнал (проставить число, отметить отсутствующих, записать тему, число и домашнее задание);

- проверить готовность обучающихся к уроку (наличие учебников, тетрадей, дневников, письменных принадлежностей).

1. Изучение нового материала (основные понятия) (15 минут):

Напомним основные понятия, введённые в 7-м классе.

Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и с помощью скобок.

Пример 1:

Алгебраические выражения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Алгебраическое выражение, которое не содержит деления на выражения
с переменными, называется целым.

В примере 1 целыми являются выражения а) и б).

Выражение, которое содержит деление на переменные, называется дробным.

В примере 1 дробными являются выражения в) — е).
Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями.
После преобразований целые выражения можно подразделить на одночлены
и многочлены.

Пример 2:

а) Целое выражение после преобразований станет одночленом.

б) Целое выражение после преобразований

является многочленом (четвертой степени).

Рациональное выражение, представляющее собой дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называется рациональной дробью.

При этом одночлены считаются частным видом многочленов.

Пример З:

а) Рациональные дроби: и т.д.

б) Рациональные выражения:

не являются рациональными дробями (по определению), т. к. в первых двух случаях выражения не являются дробью, в третьем случае числитель дроби будет многочленом только после преобразований, в четвёртом случае знаменатель дроби станет многочленом также только после преобразований.

Разумеется, принципиальных отличий рационального выражения от рациональной дроби не существует. После соответствующих преобразований рациональное выражение можно привести к рациональной дроби.

В примере 36 в первом случае достаточно привести подобные члены, во втором случае привести выражения к общему знаменателю, в третьем случае числитель возвести в квадрат, в четвёртом случае знаменатель возвести в куб.

Помимо рассмотренных алгебраических выражений в математике используются и другие выражения: иррациональные, логарифмические и др. Для наглядности виды алгебраических выражений представлены на схеме.

Рациональное выражение

Другие выражения

Целое выражение

Дробное выражение

Одночлен

Многочлен

Рациональная дробь

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных. Целое выражение имеет смысл при любых значениях, входящих в него переменных, т. к. все действия с переменными выполнимы.

Пример 4:

Найдём значение целого выражения при и . Подставим значения переменных а и b в выражение А и получим:

.

Дробное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, при
которых знаменатели величин равны нулю.

Пример 5:

а) Дробное выражение не имеет смысла при а - 2 = 0 (т. к. делить на нуль нельзя), т. е. при а = 2. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Поэтому допустимыми значениями переменных являются все значения а, кроме числа 2, и все значения b.

б) Дробное выражение не имеет смысла при х-2у = 0 (т. к. делить на нуль нельзя), т. е. при х = 2у. При всех остальных значениях переменных х и у это выражение имеет смысл. Поэтому допустимыми значениями переменных являются все значения х и у, кроме тех, для которых х = 2у.

в) Рациональная дробь не имеет смысла, если знаменатель

.

Такое равенство выполняется при a=2 и b=-3. Поэтому допустимыми значениями переменных являются все значения а, кроме числа 2, и все значения b, кроме числа -3.

г) Рациональная дробь не имеет смысла, если знаменатель дроби 9а²-16 = 0. Решим это уравнение. Используя формулу разности квадратов, разложим его левую часть на множители: 9а²-16 = 0 или (За)²-4²=0, или (За-4За+4)=0. Произведение множителей равно нулю, если один из них равен нулю. Получаем два линейных уравнения:

За — 4 = 0 (его корень ) и 3a + 4 = 0 (корень ). Поэтому допустимые значения переменной а все числа, кроме чисел и .

д) Рациональная дробь имеет смысл при всех значениях а и b, т. к. знаменатель дроби не равен нулю при всех значениях переменных.

1. Контрольные вопросы (5 минут):

1. Какое выражение называется алгебраическим? Приведите примеры.

2. Дайте определение целого и дробного выражения. Приведите примеры.

3. Вспомните понятия одночлена и многочлена (курс 7-го класса). Приведите примеры.

4. Какое выражение называется рациональной дробью? Приведите примеры.

5. Какие значения переменных называются допустимыми?

6. При каких значениях переменных целое выражение имеет смысл?

7. При каком условии дробное выражение не имеет смысла? Приведите примеры.

1. Задание на уроке (15 минут):

№ 2; 3; 4 (г); 5 (б); 7 (а, в); 9 (б); 10 (б); 12; 14; 15 (а); 17 (а); 18 (а, б); 19 (а).

1. Задание на дом (2 минуты):

Записать задание на дом и объяснить порядок выполнения:

№ 1; 4 (в); 5 (б); 7 (б, г); 8 (а); 9 (а); 10 (а); 11; 13; 15 (г); 16 (б, в); 17 (б);
18 (в, г); 19(6).

1. Подведение итогов урока (3 минуты):

 - подвести итоги урока;

- сделать выводы о достижении поставленных перед уроком целей;

- выставить оценки обучающимся;

- объявить и похвалить наиболее отличившихся обучающихся.

Уроки №№ 2—3.

Тема урока: Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Цели уроков:

Образовательные:

- выявление уровня вычислительных навыков работы с рациональными дробями;

- коррекция знаний, умений, навыков;

- объяснить основное свойство дроби;

- научить обучающихся использовать основное свойство дроби при решении примеров и задач;

- рассмотреть основное свойство дроби и отработать навыки сокращения

дробей и приведения дробей к заданному знаменателю.

Развивающие:

- развивать логическое мышление обучающихся;

- развивать математическую речь обучающихся;

- развивать наблюдательность, память обучающихся.

Воспитательные:

- прививать аккуратность, точность;

- формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

План урока:

№	Этап урока	Содержание	Время (мин)
1	Организационный момент.	Нацелить учащихся на урок.	5
2	Повторение и закрепление пройденного материала.	Разобрать с обучающимися проблемные вопросы по домашнему заданию и выяснить остаточные знания при помощи письменного опроса.	10
3	Изучение нового материала (основные понятия).	Объяснить и повторить с обучающимися понятие рациональных дробей и рассмотреть их свойства.	10
4	Контрольные вопросы.	Выяснение знаний обучающихся о некоторых основных формулах и понятий математики при помощи контрольных вопросов.	5
5	Задание на уроке.	Закрепить сведения, разобранные на уроке, с помощью решения примеров.	10
6	Задание на дом.	Задать обучающимся задание на дом и объяснить порядок его выполнения.	2
	Подведение итогов урока.	Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке	3

Ход урока:

1. Организационный момент (5 минут):

- заполнить доску (число, тема урока, домашнее задание);

- заполнить журнал (проставить число, отметить отсутствующих, записать тему, число и домашнее задание);

- проверить готовность обучающихся к уроку (наличие учебников, тетрадей, дневников, письменных принадлежностей).

1. Повторение и закрепление пройденного материала (10 минут):

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос + тест).

Вариант 1

1. Какое выражение называется рациональной дробью? Приведите примеры.

2. Найдите значение дроби при х = 0,6.

Ответы: а) -3; б) ; в) .

1. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
   
   
   

Ответы: а) ; б) ; в) .

Вариант 2

1. Какие значения переменных называются допустимыми? Приведите примеры.

2. Найдите значение дроби при х = 0,6.

Ответы: а) ; б) ; в) .

1. Укажите допустимые значения переменной в выражении: .
   
   
   

Ответы: а) ; б) ; в) .

1. Изучение нового материала (основные понятия) (10 минут):

Свойства рациональных дробей и операции с ними очень похожи на свойства числовых дробей и действия с ними. Напомним известное вам основное свойство обыкновенной дроби:

если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь, т. е. равенство верно при любых натуральных значениях а, b и с.

Это равенство справедливо не только при натуральных, но и при любых других значениях переменных а, b и с, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. при и .

Докажем это утверждение.

Пусть дробь . Тогда по определению частного имеем а = bт.
Умножим обе части этого равенства на число с и получим .

На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем

Так как и (т. е. ), то выразим из этого равенства величину . Кроме этого равенства, есть равенство .

Приравняем правые части этих выражений и получим требуемое равенство .

В связи с этим равенством уточним некоторые понятия 7-го класса. Ранее тождеством называлось равенство, которое выполнялось при любых значениях переменных.

Тождествами, например, были все формулы сокращенного умножения, свойства сложения и умножения чисел и т. д.

Равенство верно при всех значениях переменных, при которых его левая и правая части имеют смысл, т. е. при всех допустимых значениях переменных.

Такие равенства также называют тождествами. Очевидно, что ранее данное понятие тождества является частным случаем более общего определения.

Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными. Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Было доказано, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Поэтому по определению это равенство является тождеством. Такое тождество называют основным свойством дроби.

Основное свойство дроби используют для ее приведения к заданному знаменателю.

Пример 1

Приведём дробь к знаменателю (т. е. запишем данную дробь в виде дроби со знаменателем ).

В заданном (новом) знаменателе выделим в качестве множителя старый знаменатель , т. е. запишем равенство . Поэтому, чтобы получить дробь с новым знаменателем , по основному свойству дроби умножим числитель и знаменатель данной дроби на множитель . Тогда получим: . При этом множитель называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю данной дроби .

Пример 2

Приведём дробь к знаменателю Зy-2х. Видно, что новый знаменатель Зу -2х и старый знаменатель 2х - Зу отличаются только знаком, т. е. Зу - 2х = - (2х - Зу) = — 1 (2х - Зу). Поэтому умножим числитель и знаменатель данной дроби на дополнительный множитель (—1).

По основному свойству дроби получим: .

Пример 3

Приведём дробь к знаменателю .

Учтём, что новый знаменатель по формуле разности квадратов. Поэтому умножим числитель и знаменатель данной дроби на дополнительный множитель . По основному свойству дроби имеем:

^.

Заметим, что приведение дробей к заданному знаменателю используется при сложении и вычитании дробей.

Поменяем в основном свойстве дроби левую и правую части местами и получим тождество . Это равенство позволяет заменить дробь вида более простой тождественно равной дробью , т. е. сократить дробь на общий множитель с числителя и знаменателя.

Пример 4

Сократим дробь .

Видно, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель . Поэтому представим числитель и знаменатель дроби в виде произведений, имеющих один и тот же множитель , и сократим дробь на этот множитель.

Получаем: . После сокращения дроби мы получили более простую дробь .

Заметим, что при сокращении дроби надо выделять наибольший общий множитель числителя и знаменателя.

В рассмотренном примере множитель был наибольшим. Для выражений и число 7 является наибольшим общим делителем чисел 35 и 7, а² — множитель а
в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель, b² — множитель b также в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель. Поэтому множитель - наибольший общий множитель числителя и знаменателя.

Если общий множитель числителя и знаменателя будет не наибольшим, то после сокращения на него дроби дробь может быть сокращена ещё. Например, если вместо наибольшего общего множителя рассмотреть множитель , то получаем: .

Очевидно, что полученную дробь можно еще раз сократить на общий множитель b.

Пример 5

Сократим дробь .

Для сокращения дроби разложим ее числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращённого умножения.

Для числителя по формуле разности кубов получаем:

.

Для знаменателя по формуле разности квадратов имеем:

.

Видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель (2a-b), на который сократим дробь: .

Разумеется, при сокращении дробей используют и другие способы разложения многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, на множители. В частности, широко используется способ группировки и вынесения общего множителя за скобки.

Пример 6

Сократим дробь .

В числителе дроби вынесем общий множитель а за скобки и получим: .
В знаменателе дроби сгруппируем члены и вынесем общий множитель за скобки. Имеем: . Видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель , на который сократим данную дробь.

Получаем: .

Так как для этого и дальнейших уроков используется разложение на множители числителя и знаменателя дроби, то напомним основные способы разложения многочленов на множители:

1. вынесение общего множителя за скобки;

2. группировка членов многочлена;

3. использование формул сокращённого умножения.

Напомним также формулы сокращённого умножения:

1. (разность квадратов двух чисел равна произведению разности и суммы этих чисел).

2. (квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

3. (квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

4. (разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы).

Заметим, что неполным квадратом суммы чисел а и b называется выражение (по аналогии с квадратом (или полным квадратом) суммы чисел а и b, который равен ).

1. (сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности).

Отметим, что неполным квадратом разности чисел а и b называется выражение (сравните с полным квадратом разности чисел а и b, который равен .

1. (куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа).

2. (куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

1. Контрольные вопросы (5 минут):

1. Докажите основное свойство дроби.

2. Какое равенство называется тождеством? Приведите примеры.

3. Основные способы разложения многочленов на множители.

4. Формулы сокращённого умножения (рекомендуется опросить нескольких учащихся).

1. Задание на уроке (10 минут):

№ 23 (б, д); 25 (д); 27 (а); 28 (б, г); 29 (а, г); 30 (в); 31 (б); 32 (а); 33 (б, е);
35 (б); 37 (в); 42 (б); 44 (в); 45 (б, д, з).

1. Задание на дом (2 минуты):

Задать обучающимся задание на дом и объяснить порядок его выполнения:

№ 23 (а, г, е); 24 (в, е); 25 (а); 27 (б); 28 (а, в); 29 (д, е); 30 (д); 31 (а); 32 (б); 33 (а, г, д, ж); 35 (а г); 36; 37 (а, д); 38 (а, д, ж); 39 (а е); 41 (а); 46 (а, в, д).

1. Подведение итогов урока (3 минуты):

- подвести итоги урока;

- сделать выводы о достижении поставленных перед уроком целей;

- выставить оценки обучающимся;

- объявить и похвалить наиболее отличившихся обучающихся.

§ 2. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ

Урок № 4.

Тема урока: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Цели урока:

Образовательные:

- изучить сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями;

- формировать умение обучающихся выполнять действия сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Развивающие:

- развивать логическое мышление обучающихся;

- развивать математическую речь обучающихся;

- развивать наблюдательность, память обучающихся.

Воспитательные:

- прививать аккуратность, точность;

- формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

План урока:

№	Этап урока	Содержание	Время (мин)
1	Организационный момент.	Нацелить учащихся на урок.	5
2	Повторение и закрепление пройденного материала.	Разобрать с обучающимися проблемные вопросы по домашнему заданию и выяснить остаточные знания при помощи письменного опроса.	10
3	Изучение нового материала (основные понятия).	Объяснить и повторить с обучающимися понятие рациональных дробей и рассмотреть их свойства.	10
4	Контрольные вопросы.	Выяснение знаний обучающихся о некоторых основных формулах и понятий математики при помощи контрольных вопросов.	5
5	Задание на уроке.	Закрепить сведения, разобранные на уроке, с помощью решения примеров.	10
6	Задание на дом.	Задать обучающимся задание на дом и объяснить порядок его выполнения.	2
	Подведение итогов урока.	Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке	3

Ход урока:

1. Организационный момент (5 минут):

- заполнить доску (число, тема урока, домашнее задание);

- заполнить журнал (проставить число, отметить отсутствующих, записать тему, число и домашнее задание);

- проверить готовность обучающихся к уроку (наличие учебников, тетрадей, дневников, письменных принадлежностей).

1. Повторение и закрепление пройденного материала (10 минут):

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Сократить дробь: а) ; б) ; в) .

2. Постройте график функции .

Вариант 2

1. Сократите дробь: а) ; б) ; в) .

2. Постройте график функции .

1. Изучение нового материала (основные понятия) (10 минут):

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же.

Пример 1

Сложим и вычтем дроби и . По приведённому правилу получаем:

.

По тому же правилу складывают и любые дроби с одинаковыми знаменателями, т. е. . Докажем, что это равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. при с 0.

Пусть .

Почленно сложим эти равенства и получим: или .

По определению частного из равенства получаем , из равенства имеем . Почленно сложив равенства и , получим . Так как , то выразим из этого равенства . Итак, имеем два равенства

и т + п= . Приравняв правые части этих равенств, получим . Таким образом, получено тождество, из которого следует правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Итак, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их
числители, а знаменатель оставить тем же.

Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Пример 2

Сложим дроби и .

В соответствии с приведённым правилом получаем:

.

Пример 3

Сложим дроби , и .

Ещё раз используем правило сложения дробей и получим:
.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению. Докажем, что при любых значениях a, b и с 0 выполняется тождество .

Учтём, что операция вычитания обратна по отношению к сложению. Поэтому достаточно доказать, что сумма дробей и равна дроби . Проверим это: . Из

доказанного тождества следует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 4

Вычтем из дроби дробь .

Применим приведённое правило вычитания дробей и получим:

.

Иногда при выполнении сложения или вычитания дробей приходится изменять знак знаменателя одной из дробей и заменять операцию сложения операцией вычитания (или наоборот).

Пример 5

Сложим дроби и .

Учтём, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями. Поэтому изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью (это соответствует умножению числителя и знаменателя дроби на число -1 в соответствии с основным свойством дроби). Получим: .

После этого сложение данных дробей сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда имеем:

.

Разумеется, правила сложения и вычитания дробей в ряде случаев удобно использовать совместно.

Пример 6

Упростим выражение: .

Применим совместно правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и получим: .

Данное выражение имеет смысл при тех значениях а, при которых знаменатель , т. е. при .

1. Контрольные вопросы (5 минут):

1. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?

2. Докажите тождество .

3. Как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями?

4. Докажите тождество . .

1. Задание на уроке (10 минут):

№ 51 (б); 52 (д); 54 (б, е); 55 (а, д); 56 (а); 58 (б); 59 (б, д); 60 (а, г); 61 (а);
64 (в).

1. Задание на дом (2 минуты):

Задать обучающимся задание на дом и объяснить порядок его выполнения:

№ 51 (г); 52 (г); 53 (а); 54 (д); 55 (г); 56 (б); 58 (а); 59 (в, е); 60 (в, д); 61 (б);
63 (б); 65 (а, г).

1. Подведение итогов урока (3 минуты):

- подвести итоги урока;

- сделать выводы о достижении поставленных перед уроком целей;

- выставить оценки обучающимся;

- объявить и похвалить наиболее отличившихся обучающихся.

Уроки №№ 5-6.

Тема урока: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Цели уроков:

Образовательные:

- изучить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

- закрепить умение обучающихся складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

Развивающие:

- развивать логическое мышление обучающихся;

- развивать математическую речь обучающихся;

- развивать наблюдательность, память обучающихся.

Воспитательные:

- прививать аккуратность, точность;

- формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

План урока:

№	Этап урока	Содержание	Время  (мин)
1	Организационный момент.	Нацелить учащихся на урок	5
2	Повторение и закрепление пройденного материала.	Выяснить уровень остаточных знаний у обучающихся при помощи диагностической самостоятельной работы.	10
3	Изучение нового материала.	Объяснить обучающимся правила и порядок сложения дробей с разными знаменателями.	7
4	Контрольные вопросы.	Выяснить степень усвоения обучающимися пройденного материала с помощью ответов на вопросы.	5
5	Закрепление.	Закрепить сведения, разобранные на уроке, с помощью решения примеров.	8
6	Задание на уроке.	Закрепление изученного материала с помощью решения примеров.	5
7	Сообщение домашнего задания.	Разъяснить содержание домашнего задания и методы его выполнения.	2
8	Подведение итогов урока.	Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке	3

Ход урока:

1. Организационный момент (5 минут):

- заполнить доску (число, тема урока, домашнее задание);

- заполнить журнал (проставить число, отметить отсутствующих, записать тему, число и домашнее задание);

- проверить готовность обучающихся к уроку (наличие учебников, тетрадей, дневников, письменных принадлежностей).

1. Повторение и закрепление пройденного материала (10 минут):

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос):

Вариант 1

1. Как складываются дроби с одинаковыми знаменателями?

2. Выполните действия: а) ; б) .

3. Выделите целую и дробную часть в выражении .

Вариант 2

1. Как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями?

2. Выполните действия: а) ; б) .

3. Выделите целую и дробную часть в выражении .

1. Изучение нового материала (основные понятия) (10 минут):

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями надо свести к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого исходные дроби приводят к общему знаменателю.

Пусть требуется сложить (вычесть) дроби и . Общим знаменателем этих дробей будет произведение bd знаменателей дробей. Приведём данные дроби и к такому общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель d и получим . Числитель и знаменатель второй дроби умножим на дополнительный множитель b и получим .

Теперь можно использовать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем: . Аналогично можно вычесть дроби с разными знаменателями:

.

Пример 1

Сложим и вычтем дроби и .

Общий знаменатель этих дробей - произведение их знаменателей . Тогда дополнительный множитель к числителю и знаменателю первой дроби 5а, дополнительный множитель к числителю и знаменателю второй дроби 4b. Поэтому получаем:

;

.

Пример 2

Сложим дроби и .

Общий знаменатель этих дробей - произведение их знаменателей . Тогда дополнительный множитель к первой дроби , ко второй дроби . Поэтому получаем:

. Теперь упростим полученную дробь.

Для этого разложим числитель дроби на множители (вынеся общий множитель за скобки) и сократим дробь:

.

Заметим, что сложение и вычитание дробей с разными знаменателями можно упростить, если приводить дроби не просто к общему знаменателю, а к наименьшему общему знаменателю.

В рассмотренном примере наименьшим общим знаменателем будет одночлен 12а²6⁴. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов 4 и 6 дробей. Каждая переменная а и b входит в наименьший общий знаменатель с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей (соответственно а² и b⁴). Дополнительный множитель к первой дроби получим, если разделим наименьший общий знаменатель на знаменатель первой дроби . Аналогично, дополнительный множитель ко второй дроби найдём, если разделим наименьший общий знаменатель на знаменатель второй дроби . Теперь найдём сумму данных дробей:

.

Пример 3

Найдём разность дробей и .

Чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, разложим знаменатель каждой дроби на множители: .

Наименьшим общим знаменателем дробей будет выражение .
Дополнительный множитель к первой дроби b, ко второй дроби а. Тогда получаем:

.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к нахождению суммы или разности дробей, т. к. любое целое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Пример 4

Упростим выражение .

В данном выражении выделим целое выражение и представим его в виде дроби со знаменателем 1. Выполним вычитание дробей, используя формулу суммы кубов. Тогда получим:

.

В некоторых задачах удобно выполнить сложение и вычитание не всех дробей сразу, а выполнять эти операции поочерёдно.

Пример 5

Докажем, что при любом значении а 1 значение выражения

отрицательно.

Сначала упростим данное выражение, сложив данные дроби. При этом удобно сложить сначала первые две дроби:

.

Теперь к этому результату прибавим третью дробь: .

Наконец к этой дроби прибавим последнюю четвертую дробь: .

Легко сообразить, что при a 1 (например, при a= 2) и величина a⁸ 1.

Тогда знаменатель полученной дроби отрицательный. Так как при этом числитель дроби положительный, то дробь будет отрицательной.

Умение складывать рациональные дроби оказывается полезным и при нахождении сумм обыкновенных дробей.

Пример 6

Найдём сумму дробей .

Эта сумма содержит 99 дробей. Поэтому сложить «в лоб» эти дроби очень затруднительно. Тогда представим каждую дробь в этой сумме в виде разности двух более простых дробей.

Каждая дробь в сумме S имеет вид , где переменная х принимает значения 1, 2, 3,..., 98, 99. Очевидно, что дробь может получиться при сложении дробей со знаменателями х и х + 1. Пусть эти дроби имеют числители а и b соответственно. То есть представим дробь в виде

.

Сложим дроби в правой части равенства: .

В числителе дроби сгруппируем члены, зависящие от х и не зависящие от х, и получим:

.

Итак, получили, что при всех значениях х должно выполняться равенство . Знаменатели дробей в левой и правой части одинаковы. Чтобы числители также были одинаковы при любом значении х, требуется выполнение двух равенств: и a = 1. Из
первого равенства найдём b = - а = - 1. Подставим эти значения а и b в равенство и получим (т.е. представили интересующую нас дробь в виде разности двух более простых дробей).

В равенстве вместо х будем поочерёдно подставлять значения 1, 2, 3,…,98, 99 и получим 99 равенств:

при x =1 ,

при x =2 ,

при x =3 ,

…

при x =98 ,

при x =99 ,

Сложим почленно эти равенства. Тогда в левой части возникает требуемая сумма дробей S. При этом в правой части сократятся все дроби, кроме дробей и . Итак, получаем .

Аналогичный прием можно использовать и для нахождения сумм рациональных дробей.

Пример 7

Упростить выражение .

Каждое слагаемое в этой сумме имеет вид _, где п принимает значения п = 0,2,4,…,98. Представим эту дробь в виде суммы двух более простых дробей с числителями а и b и знаменателями и соответственно, т.е. _. Сложим дроби в правой части равенства: _.

Равенство должно выполняться при любых допустимых значениях х и п. Это возможно, если выполняются равенства: и 2а=1. Из последнего равенства найдём , из первого равенства получим .

Подставим эти значения а и b в равенство и получим _. Таким образом, представили каждую дробь в выражении А в виде разности двух более простых дробей. В это равенство вместо п будем поочерёдно подставлять
значения п = 0, 2, 4,…,96, 98 и получим равенства:

при n=0 = ,

при n=2 = ,

при n=4 = ,

…..

при n=96 = ,

при n=98 = .

Сложим почленно эти равенства. Тогда в левой части получим данное выражение А. При этом в правой части сокращаются все дроби, кроме дробей и . Тогда получаем:

.

1. Контрольные вопросы (5 минут):

1. Приведение дробей к общему знаменателю. Понятие дополнительного множителя к числителю и знаменателю дроби.

2. Покажите, что сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями.

3. Как складываются и вычитаются дроби с разными знаменателями?

4. Сложение (вычитание) целого выражения и дроби.

1. Задание на уроке (15 минут):

№ 70 (а, д); 71 (а, в); 74 (б); 75 (а, б); 76 (а, в); 78 (а, б); 80 (в); 81 (г); 82 (б, г); 84 (а); 87 (б, в);

89 (б); 90 (а, г); 92 (а); 94 (а, г); 96 (б, г); 98 (а); 99(6); 100.

1. Задание на дом (2 минуты):

№ 70 (б, г, е); 71 (б, г)); 72 (а в, д); 74 (а); 75 (г); 76 (г); 78 (в); 80 (а); 81 (в);
82 (а, в); 84 (б); 85 (б); 87 (а, в); 88 (а); 89 (а); 90 (б, в); 92 (б, е); 94 (б, в);
96 (а, в); 97 (а, г); 98 (б); 99 (а); 101.

Творческие задания (2 минуты):

1. Найдите а и b из тождества:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответы: а) а = 1, b = -1;

б) а = -0,5, b = 0,5 (предварительно убедитесь, что ;

в) ;

г) а =1, b = -1 (убедитесь, что ).

1. Вычислите сумму дробей:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

(указание: каждую дробь в сумме 5 представьте в виде разности двух более простых
дробей).

1. Упростить выражение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

(указание: каждую дробь в сумме представьте в виде разности двух более простых
дробей).

1. Подведение итогов урока (3 минуты):

- подвести итоги урока;

- сделать выводы о достижении поставленных перед уроком целей;

- выставить оценки обучающимся;

- объявить и похвалить наиболее отличившихся обучающихся.

Уроки №№ 7-8.

Тема урока: Контрольная работа №1.

Цели урока:

Образовательные:

- проверка знаний обучающихся с использованием разноуровневых вариантов.

Развивающие:

- развивать логическое мышление обучающихся;

- развивать математическую речь обучающихся;

- развивать наблюдательность, память обучающихся.

Воспитательные:

- прививать аккуратность, точность;

- формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

План урока:

№	Этап урока	Содержание	Время  (мин)
1	Организационный момент.	Нацелить учащихся на урок. Раздать задания. Объяснить порядок и правила выполнения работы.	5
2	Написание контрольной работы.	Следить за лояльностью при написании контрольной работы.	35
3	Сообщение домашнего задания.	Разъяснить содержание домашнего задания и методы его выполнения.	2
4	Подведение итогов урока.	Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке	3

Ход урока:

1. Организационный момент (5 минут):

- заполнить доску (число, тема урока, домашнее задание);

- заполнить журнал (проставить число, отметить отсутствующих, записать тему, число и домашнее задание);

- проверить готовность обучающихся к уроку (наличие учебников, тетрадей, дневников, письменных принадлежностей);

- раздать условия контрольной работы и объяснить порядок выполнения.

1. Условия контрольной работы (35 минут):

Контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1,2 — самые простые, варианты 3,4 — сложнее и варианты 5, 6 — самые сложные). При этом сложность вариантов нарастает не очень резко. Каждый вариант содержит 6 задач примерно одинаковой сложности (может быть, несколько сложнее две последние задачи).

При проверке вариантов 1, 2 оценка «5» ставится за правильное решение пяти задач, оценка «4» — четырёх задач и оценка «3» — трёх задач. Одна задача является резервной (или запасной) и даёт некоторую возможность выбора учащимся. При таких же критериях оценки в случае вариантов 3, 4 даётся дополнительно 0,5 балла и в случае вариантов 5,6 — дополнительно 1,0 балла (учитывая более высокую сложность этих вариантов). Поэтому в случае вариантов 5, 6 оценку «5» можно получить за правильное решение
четырёх задач.

Выбор вариантов может быть сделан учителем или учащимся (при этом число экземпляров вариантов должно быть достаточным). Разумеется, учащиеся должны знать о различной сложности вариантов и критериях оценки контрольной работы.

Варианты работы:
К/Р № 1.

Вариант 1.

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении: .

2. Сократите дробь:

1. ;

2. .

1. Выполните действия: .

2. Найдите значение выражения при .

3. Постройте график функции .

Вариант 2.

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении: .

2. Сократите дробь:

1. ;

2. .

1. Выполните действия: .

2. Найдите значение выражения при .

3. Постройте график функции .

Вариант 3.

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении: .

2. Сократите дробь: .

3. Упростите выражение: .

4. Выделите целую и дробную часть в выражении .

5. Постройте график функции .

6. Найдите значения a и b, для которых при всех допустимых значениях x выполнено равенство .

Вариант 4.

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении: .

2. Сократите дробь: .

3. Упростите выражение: .

4. Выделите целую и дробную часть в выражении .

5. Постройте график функции .

6. Найдите значения a и b, для которых при всех допустимых значениях x выполнено равенство .

Вариант 5.

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении: .

2. Сократите дробь: .

3. Найдите значение выражения: при a=1,5.

4. Постройте график функции .

5. Сократите дробь: .

6. Найдите значения a и b, для которых при всех допустимых значениях x выполнено равенство .

Вариант 6.

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении: .

2. Сократите дробь: .

3. Найдите значение выражения: при x=-0,6.

4. Постройте график функции .

5. Сократите дробь: .

6. Найдите значения a и b, для которых при всех допустимых значениях x выполнено равенство .

1. Задание на дом (2 минуты):

Повторить п.п.

1. Подведение итогов урока (3 минуты):

- подвести итоги урока;

- сделать выводы о достижении поставленных перед уроком целей;

- выставить оценки обучающимся;

- объявить и похвалить наиболее отличившихся обучающихся.