План занятия по математике "Применения интегралов"

ПЛАН ЗАНЯТИЯ УРОКА

Тема: Применения интегралов.

Цели урока: 

Обучающая: вычисление площадей фигур; вычислять определенные интегралы и площади плоских фигур, проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение;

Развивающие: - содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

Воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого отношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся, повышать мотивацию к изучению математики. Воспитать аккуратность, сообразительность, эстетику построения чертежа.

Тип урока: комбинированный, включающий освоение новых знаний.

Оборудование урока: Интерактивная доска, портативный компьютер, чертёжные принадлежности, конспект, книги.

ХОД УРОКА

1)Организационный момент: Приветствие группы, проверка дежурства, состояние кабинета, наличие студентов, готовность к занятиям.

2) Проверка знаний студентов: Метод: Индивидуальный контроль.

Вычислить интеграл:

1. ⁴dx 2) 3)

3) Подведение итогов проверки: Прокомментировать и оценить ответы студентов.

4) Сообщение темы урока, постановка цели и задачи: Актуализация и мотивация познавательной деятельности студентов.

5) Изложение нового материала. Методика: Лекция с применением мультимедийной презентации.

Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. 

(Студенты говорят лишнее слово.) Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)

– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением...

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

Разбили отрезок  на   одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью по ступенчатой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили   в пределе  и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение  .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x) Ввели функцию  . Каждому  площадь под соответствующей частью кривой  . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому   соответствует единственное значение  .

Мы доказали, что производная этой же функции   и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функции и взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке   и отнять первообразную в точке  . И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

2. Методика нахождения площади на примере

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Пределы интегрирования  .  = . Вычислили площадь криволинейной фигуры. Ответ: 

Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке?  (На рисунке представлена плоская фигура.)

Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской?  (На рисунке представлена объемная фигура.)

В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например: объем планеты, кометы, метеорита, и т.д. Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованы.

Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

6) Закрепление изученного материала. Методика: Комментированное решение у доски.

Самооценивание: Дифференциация по темпу

1. (один + за каждое задание) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком

непрерывной функции у = f(х), двумя прямыми х = a и х = b вычисляется по формуле...

2. В том случае, когда криволинейная трапеция ограничена кривой у = f(x), осью Ох и прямыми х = a, x = b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле...

3. Если фигуру можно разбить на несколько частей, то ее площадь будет равна…

Далее, мы покажем, как полученные знания можно применить при решении практических, жизненных задач, связанных с разными профессиями. Девизом к этой работе можно взять слова немецкого поэта:

«Мало знать, надо и применять, мало хотеть, надо и делать» И. Гете.

Задание №1: Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

1. у = х + 1; х = 3; у = о 2) у = х²; у = 2х

Задание №2: Скорость движения тела задана уравнением V = (3t² + 7)см/с. Найти путь, пройденный им за 4с от начала движения.

Задание №3: Найти объём тела вращения вокруг оси ОХ, ограниченной линиями

a) y = x² + 1; x = 0; x = 1; y = 0 b) у = х + 2; у = 0; х =1; х = 4

7) Подведение итогов урока: Вывод о достижении цели занятия.

1. Что такое объем тела?

2. Какие свойства объема вы знаете?

3. В каких единицах измеряется объем? (кубических единицах, литрах).

4. Какие тела называются равновеликими? (если у них объемы равны)

5. Какие стереометрические фигуры являются телами вращения?

6. Вспомните физику, скажите, как зависит объем от массы тела и его плотности?

8) Задание для самостоятельной работы студентов во внеурочное время:

Л1, §114-120