Координатно – векторный способ решения задания С2

Презентация на тему: «Расстояние от точки до плоскости»

Определение

Расстояние от точки до плоскости - это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Пусть плоскость П задана уравнением  Ax+By+Cz+D=0 и дана точка  M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 )  . Тогда расстояние  p  от точки  M 0  до плоскости  П  определяется по формуле

Задача

z

B

A

y

C

D

x

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Прямая

О

α

Проекция

n

m

Уравнение плоскости ax + by + cz + d=0

Уравнение прямой ax + by + cz =0

α

О

F1

z

A1

y

E1

F

B1

A

y

D1

C1

F

A

B

E

E

B

30

60

D

x

C

D

x

C

=

= - x – 1,5y + z

sin α =

Координатно – векторный способ решения задания С2

Задание С2 Единого государственного экзамена представляет собой стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторыми многогранниками.

Решение задания С2 оценивается 2 баллами. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Ещё один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и верный ответ.

У гол между двумя прямыми

Выполнили

ученицы 11 класса:

Баширова Алина и

Игнатьева Люба.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ

• Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.

a

b

Пример

z

В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.

Решение.

y

Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно.

x

A (0; 0; 0)

{0,5; 0; 1}.

E (0,5; 0; 1).

B (1; 0; 0)

F (1; 0,5; 1)

{0; 0,5; 1}.

Ответ: arccos 0,8

Угол между плоскостями

Работу выполнил Малюгин Андрей

• Возьмем плоскости α и β, пересекающиеся по прямой CD
• Из любой точки на плоскости α проведем перпендикуляр к прямой CD - AH
• Из любой точки на плоскости β проведем перпендикуляр к прямой CD - BH
• Угол AHB – угол между плоскостями α и β

Угол между плоскостями  — это угол между перпендикулярами AH и BH к  линии их пересечения CD , проведенными в этих плоскостях α и β .

B

β

D

α

A

H

C

ACDB – двугранный угол

CD – основание; A,B – точки

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l 1 и l 2 , лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Если заданы уравнения плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

***Заметка***

=

1

3

=

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем  острый  угол.

4

2

1

2

4

3

Пример. Найти угол между плоскостями 2x + 4y - 4z - 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.

Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

Ответ:  косинус угла между плоскостями равен cosα  = 2/3

Координатно – векторный способ решения задания С2

Цель:

Обобщение и систематизация знаний при использовании координатно – векторного способа в решении различных видов стереометрической задачи С2.

Виды заданий С2

Задание С2 Единого государственного экзамена представляет собой стереометрическую задачу на определение:

• угла между прямыми
• угла между прямой и плоскостью
• угла между плоскостями
• расстояния между точками
• расстояния от точки до прямой
• расстояния от точки до плоскости
• расстояния между прямыми в пространстве

Вычисление определителя матрицы.

• Определитель матрицы второго порядка:

• Определитель матрицы третьего порядка:

1. Разложение определителя по элементам первой строки:

2. Правило треугольника:

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если А(то уравнение плоскости имеет вид:

=

=Ax + By + Cz + D

Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты

Некоторые виды задач:

• Вычисление угла между прямыми.
• Вычисление угла между прямой и плоскостью.
• Вычисление угла между плоскостями.
• Вычисление расстояния от точки до плоскости.
• Вычисление расстояния между прямыми в пространстве.

Вектор нормали для нижнего основания имеет координаты

Е(1;0;2), В(0;0;0), (1;1;5). Уравнение плоскости ВЕ

= 0 + 2y + z – 5y – 2x =

= -2x – 3y + z = 0

cosα= = .

Вычислим sinα== , а tgα=

Ответ: arccosα =

E

B

C

А

D

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите расстояние между ребрами SB и AF.

Рисунок к задаче.

A(0; 0; 0), F(1; 0; 0), значит

B(; ;

d= = =

Ответ:

Итоги:

• Вычисление координат вектора

A(, B

• Вычисление угла между направляющими векторами прямых

cos=

• Вычисление угла между плоскостями с использованием векторов нормалей к плоскостям

sin=

Итоги:

• Расстояние от точки M до плоскости α, имеющей уравнение Ax+By+Cz+D=0.

d=

• Расстояние между скрещивающими прямыми k и h, если А

направляющий вектор прямой k, направляющий вектор прямой h.

d

Домашнее задание:

Спасибо за урок!

Самоанализ

Задание С2 Единого государственного экзамена представляет собой стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторыми многогранниками.

Решение задания С2 оценивается 2 баллами. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Ещё один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и верный ответ.

По итогам ЕГЭ 2012 года очень мало работ было оценено в 2 балла. Основные проблемы: неумение строить линейные углы и проекции, вычислительные ошибки. Многие выпускники демонстрировали непонимание нахождения угла между прямой и плоскостью, между плоскостями.

При нахождении углов в пространстве возникают трудности с дополнительными построениями и необходимыми обоснованиями, сопровождающими эти построения.

Координатно – векторный метод позволяет избежать трудностей в построении и вычислении углов и расстояний между объектами в пространстве. От выпускников требуется знание нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задач приходится на вычислительную часть.

Практика показывает, что учащиеся быстро осваивают метод координат, так как при его использовании необходимо придерживаться общего алгоритма: вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многограннике, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости.

Удачный выбор системы координат позволяет значительно упростить вычисления.

Цели:

• образовательные: научить применять полученные знания на практике; оперировать имеющимся потенциалом в конкретной ситуации; закрепить умения и навыки работы с изученными формулами.
• развивающие: совершенствовать умения работы с источниками знаний; совершенствовать навыки анализа, обобщения; развивать творческие способности; закрепить умения поиска рационального решения задачи.
• воспитательные: вовлечь в активную деятельность; формировать культуру общения, совершенствовать навыки общения, научить отстаивать свою точку зрения; развивать коммуникативные навыки работы в группах.