Конспект урока математики "Определение геометрической прогрессии. Формула n - го члена геометрической прогрессии"

Конспект урока по теме «Определение геометрической прогрессии. Формула n - го члена геометрической прогрессии»

Цели:

- ввести определение геометрической прогрессии, формулу n – го члена геометрической прогрессии, сформировать умение применять определение и формулу

n – го члена в ходе решения упражнений, узнавать геометрическую прогрессию в нестандартных ситуациях;

- развивать у учащихся навыки применения анализа, синтеза, сравнения, аналогии, обобщения, сообразительности, наблюдательности; развитие навыков работы с дополнительной литературой, историческим материалом;

- развитие познавательной активности учащихся, формирование интереса к математике, расширение кругозора.

Оборудование:

плакат « Progressus – движение вперед», таблички с надписями «геометрия», «формула», «определение», «прогрессия», презентация, карточки с текстом задачи для любознательных.

Ход урока

1. Определение темы и целей урока

Добрый день! Сегодняшний урок я предлагаю начать с разгадывания ребусов:

(По мере разгадывания ребусов на доске появляются таблички с надписями «геометрия», «формула», «определение», «прогрессия»)

Ребята, как вы думаете, почему в ребусах были зашифрованы именно эти термины?

Это связано с темой урока.

Попробуйте сформулировать тему урока, используя ключевые понятия.

Определение геометрической прогрессии.

Формула n - го члена геометрической прогрессии

Какова цель нашей работы?

Сформулировать определение, познакомиться с формулой n - го члена

геометрической прогрессии, научиться решать упражнения по теме.

1. Изучение нового материала

1.1 а) Введение определения

(b_n) 1, 3, 9, 27, 81, …

(c_n) - 4, - 8, - 16, - 32, - 64, …

(a_n) 2, 1, , , , …

1. Прочитайте последовательность (b_n)

Назовите ее первый член.

Чему равно b₂ ?

Назовите b_5.

По какому правилу образована эта последовательность?

1. Прочитайте последовательность (c_n )

Чему равно с₁?

Назовите с₂.

Как зная с₁, получить с₂? Как получить с₃?

По какому правилу построена эта числовая последовательность?

1. Назовите первый член последовательности (a_n).

Чему равно а₂, а₃?

Что нужно знать, чтобы найти а₂?

Что нужно знать, чтобы найти а₃?

По какому правилу построена последовательность (a_n) ?

1. Какие числа являются членами этих последовательностей?

Положительные, отрицательные, целые, дробные.

1. Какое число не встречается ни в одной последовательности?

0

1. Почему нельзя в такие последовательности включать 0?

Последовательность будет состоять из одних нулей.

1. По какому правилу получены все три последовательности?

Каждый последующий член получен умножением

предыдущего на одно и то же число

1. Последовательности (a_n), (b_n) и (c_n) являются геометрическими прогрессиями. Попробуйте сформулировать определение геометрической прогрессии.

……………………………

1. б) Введение знаменателя геометрической прогрессии

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу q, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

На доске запись: q - знаменатель геометрической прогрессии, q = , q ≠ 0.

1. Усвоение определения

Ребята, мы знаем определение геометрической прогрессии и правило нахождения знаменателя q. Давайте выберем из предложенных последовательностей геометрические прогрессии.

1) 2; 5; 8; 11; 14; 17;… арифметическая прогрессия, d = 3

2) 3; 9; 27; 81; 243;… геометрическая прогрессия, q = 3

3) 1; 6; 11; 20; 25;… последовательность чисел

4) –4; –8; –16; –32; … геометрическая прогрессия, q = 2

5) 5; 25; 35; 45; 55;… последовательность чисел

6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия, d = – 2

1. Закрепление определения

№ 623 (а, б)

1. Вывод формулы n – го члена

Ребята, вы успешно справились с нахождением 5 первых членов геометрической прогрессии. А если бы вам было необходимо найти 100-й или 300-й член последовательности, то сколько бы времени потребовалось? Много.

Что нужно знать, чтобы быстро находить любой член геометрической прогрессии?

Формулу n – го члена

Давайте ее выведем. Кто хочет мне помочь? ( 1 учащийся по желанию выводит формулу у доски)

b₂ = b₁ · q

b₃ = b_2· q = b₁q · q = b₁q²

b₄ = b₃ · q = b₁q² · q = b₁ q³

b₅ = b₄ · q = b₁ q³ · q = b₁ q⁴

……………………………

b_n = b_1· q^n-1

2.2 Закрепление формулы

№ 624 ( а – е )

1. Закрепление изученного материала

3.1 Работа у доски

№ 625 ( а, б )

№ 627 ( а, г )

№ 630 ( а )

1. Немного истории

А знаете ли вы, как давно стали изучать прогрессии? ……..

Ответ на этот вопрос мы узнаем, прослушав выступление Антона и Евгении.

( Презентация)

• Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1, 2, 3, 4,…, n, … есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью, тоже равной 1.

• В клинописных табличках вавилонян, в египетских пирамидах встречаются примеры прогрессий

• В 1858 году был обнаружен папирус Ахмеса (также известен как папирус Ринда по имени его первого владельца) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии, переписанное около 1650 года до н. э. писцом по имени Ахмес. В 1870 году папирус был расшифрован, переведён и издан.

• Задача № R64 папируса Ринда

Как разделить 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась меры?

Ребята, о какой последовательности идет речь?

Об арифметической прогрессии

Правильно. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: Дано : ÷ ( а_n ), S₁₀ = 10, d = . Найти : а₁ – а₁₀

• Задача № R79 папируса Ринда

Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Подсчитайте сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.

Давайте представим нашу задачу наглядно. О каком количестве домов говорится? О 7

Сколько в них проживает кошек? 7 · 7 = 49

Как найти количество съеденных мышей? 49 · 7 = 343

Сколько колосков съедают мыши? 343 · 7 = 2401

Как подсчитать количество мер зерна? 2401 · 7 = 16807

Общая сумма домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна - 19 607.

Какая последовательность рассматривалась в задаче? Геометрическая прогрессия

• На связь между прогрессиями первым, по – видимому, обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика».

• Штифель составил такую таблицу:

В

В верхней строке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены они так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической, это очень важный факт.

• А теперь представим себе, что вы не умеете умножать и делить, но вам понадобилось умножить, например, на 128. В таблице над записано число – 1, а над 128 записано 7. Сложим эти числа. Получится 6. Под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение.

Как пользуясь таблицей умножить 32 на ?

Попробуйте выполнить деление 32 : 8, 16 : .

IV. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания

Наш урок подходит к концу. Пора подводить итоги.

Что нового вы сегодня узнали? …………………

Какие интересные факты запомнили? ………………….

п.27 (до примера 3), № 626, 628 (а, б), 630 (б).

Для любознательных - задача:

х₁ и х₂ – корни уравнения х² – 3х + а = 0, х₃ и х₄ – корни уравнения х² – 12х + b = 0.

Известно, что х₁ , х₂ , х₃ , х₄ составляют геометрическую прогрессию. Найдите а и b.