Конспект урока математики "Определение арифметической и геометрической прогрессий"

Северо-Казахстанская область

Государственное учреждение СШ № 2

Открытый урок

по алгебре в 9 классе.

Тема: «Определение арифметической и геометрической прогрессии».

Провела: Дворник А.И.

г. Петропавловск

2005-2006 учебный год

Не знание, а изучение,

не обладание, а приобретение,

не существующее, а грядущее

доставляет величайшее наслаждение.

К. Ф. Гаусс

Тема: «Определение арифметической и геометрической прогрессии»

Цели урока:

• Обучающая: усвоение учащимися понятий арифметической и геометрической прогрессии;

• Развивающая: способствовать развитию умения анализировать, выделять важные и существенные черты изучаемых объектов; активизировать мыслительную деятельность;

• Воспитательная: воспитывать у учащихся культуру общения, умение работать в группах, привитие интереса к математике.

Структура урока:

1. Вступление учителя (введение в игру). 2 минуты

2. Консультация (актуализация знаний). 5 минут

3. Учебно-познавательная работа учащихся по

самостоятельному приобретению новых знаний. 20-25 минут

1. Решение упражнений. 10-15 минут

2. Подведение итогов. 3 минуты

Формы работы на уроке: групповая, фронтальная.

Методы урока: репродуктивный, частично-поисковый, метод самостоятельной учебной деятельности учащихся.

Принципы обучения: доступность, наглядность, сознательность, связь теории с практикой, систематичность, дифференциация, УДЕ.

Оборудование.

1. Листы с вопросами на каждую парту.

2. Плакаты с условием и схематическим оформлением задач.

3. Карточки - баллы.

ХОД УРОКА.

1. Ведение в игру.

Эпиграфом нашего урока я выбрала слова великого французского математика Карла Фридриха Гаусса: «Не знание, а изучение,

не обладание, а приобретение,

не существующее, а грядущее

доставляет величайшее наслаждение».

Я думаю, что вы поймете, почему именно эти слова стали лозунгом урока и испытаете наслаждение от того, что сами научились добывать знания, находить неизвестное в известном. А сейчас я познакомлю вас с правилами нашей игры.

Правила игры.

1. Класс разбит на две команды:

I команда – ученики первого ряда и половины второго ряда;

II команда – ученики третьего второго ряда и половины второго ряда.

1. Назначены консультанты. Они должны провести консультацию по выполнению домашнего задания, помогать учащимся из своей команды отвечать на вопросы, предложенные учителем или ребятами в ходе урока. Их работа приносит команде дополнительные очки.

2. После слов «Консультация окончена» школьники занимают свои места. В противном случае команда наказывается штрафными очками.

3. Подводятся итоги консультации, выдаются карточки-баллы каждой команде.

4. Для участия во всех видах работ ученики вызываются к доске учителем из числа консультантов или остальных членов команды.

1. Консультация.

В качестве домашнего задания вы получили вопросы, ответы на которые помогут вам сегодня изучить новый материал. Правильность выполнения домашнего задания сейчас проверят консультанты. Если вам необходима моя помощь, то вы можете на нее рассчитывать.

Актуализируются знания учащихся по таким вопросам:

1. Определение последовательности.

2. Возрастающие и убывающие последовательности.

3. Способы задания числовых последовательностей.

4. Реккурентный способ задания последовательности.

5. Способ задания последовательности с помощью таблицы.

6. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.

Примечание. На консультацию отводится 5 минут. Консультируют учеников представители своих команд. При необходимости консультирует учитель. За консультации команды получают карточки-баллы.

1. Учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знаний.

Тема нашего сегодняшнего урока «Арифметическая и геометрическая прогрессия». Цель урока: определить новые для вас понятия и применить полученные знания при решении задач. Какое новое слово вы увидели в названии темы? Это слово «прогрессия».

Закончился XX век,

Куда стремится человек?

Изучены и космос и моря,

Строенье звезд и вся Земля,

Известный лозунг

Математиков зовет:

«Прогрессио» – движение вперед!

Итак, откройте тетради и запишите число и тему урока. Предлагаю разделить страницу на две части и слева написать «Арифметическая прогрессия», а справа – «Геометрическая прогрессия». Первой команде предлагается задача 1, а второй команде задача 2.У вас на парте имеются вопросы, ответив на которые вы должны заполнить свою часть таблицы. Ответы можете заносить сразу в таблицу, по истечении времени каждая команда познакомит остальную часть класса с проделанной ею работой.

Примечание. На доску слева вывешивается задача, приводящая к арифметической прогрессии, а справа – к геометрической прогрессии. К ним на каждую парту кладутся вопросы и задания, которые необходимо выполнить.

Задача 1. Вертикальные стержни теплицы имеют такую длину: наименьший а = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней.

Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 мин.

Вопросы.

1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи.

2. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.

3. Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности в первой задаче и частное q от деления последующего члена на предыдущий во второй задаче.

4. Записать эти последовательности реккурентным способом.

5. Дать определение арифметической (геометрической прогрессии).

6. Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?

7. Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?

8. Доказать, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность , а для членов геометрической прогрессии – закономерность .

Примечание. Сначала учащиеся проделывают всю работу на доске и в тетрадях для арифметической прогрессии, а затем - для геометрической или для обеих сразу. Записи ответов учащихся, которые поочередно вызываются к доске от каждой команды. В случае возникновения вопросов учащиеся отвечающей команды должны дать поясняющий ответ.

5; 7; 9; 11; 13; 15; 17. n 1 2 3 4 5 6 7 an 5 7 9 11 13 15 17 а2 – a1 = 2, а3 – a2 = 2, . . ., аn+1 – an = d а2 = a1 + 2, а3 = a2 + 2, . . ., аn+1 = an + d. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называют арифметической прогрессией. 2, 5, 8. , , . . . an = аn-1 + d; an = аn+1 - d; 2аn= аn-1 + d + an+1 - d; .

1; 2; 4; 8; 16; 32; 64. n 1 2 3 4 5 6 7 an 1 2 4 8 16 32 64 b2 : b1 = 2, b3 : b2 = 2, . . ., bn+1 : bn = q b2 = b1 · 2, b3 = b2 · 2, . . ., bn+1 = bn · q. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и тем же, не равное нулю, число, называют геометрической прогрессией. . 2, 4, 8. , , . . . bn+1 : bn = bn+2 : bn+1; = bn+2 · bn; .

В процессе игры учащиеся следят за ответами товарищей, записывают все в тетради и готовятся ответить на предложенный вопрос. Учитель предлагает вопрос, а учащиеся вызываются к доске для записи ответа, в случае необходимости оказывается помощь консультантами. Подводятся итоги первых двух этапов игры.

1. Решение упражнений.

А сейчас вам предлагается применить полученные знания при решении задач.

I команда

I уровень.

1. Найдите пятый член арифметической прогрессии: 19; 15; 11; ...;

2. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n)

а) b₁; 12; -48; b₄; . . .; б) 81; 27; b₃; b₄;. . .;

II уровень.

1. Найдите члены арифметической прогрессии (а_n), обозначенные буквами:

а₁; а₂; -19; -11,5; а₅; …;

1. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n), зная, что q

b₁; b₂; 225; b₄; 81; . . .;

II команда

I уровень.

1. Найдите пятый член арифметической прогрессии: -1; 3; 7; ...;

2. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n)

а) b₁; 12; 36; b₄; . . .; б) 125; -25; b₃; b₄;. . .;

II уровень.

1. Найдите члены арифметической прогрессии (а_n), обозначенные буквами:

а₁; -8,5; а₃; -4,5; а₅; …;

1. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n):

b₁; b₂; b₃; 36; 54; . . .;

Примечание. По окончании работы выполняется самопроверка по готовому решению, приведенному на доске. За правильные ответы члены команды получают карточки-баллы.

1. Подведение итогов.

2. Домашнее задание. п. 3.1 стр. 92, п. 4.1 стр. 96, № 373 (1, 2), 396 (1, 2), 392^* (2) (использовать характеристическое свойство).

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВОПРОСЫ для I команды.

Задача 1. Вертикальные стержни теплицы имеют такую длину: наименьший а = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней.

(Для консультации обращайтесь – п. 3.1. стр.92)

1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи. (записать члены последовательности, отделяя их друг от друга точкой с запятой как показано в п.1.1. стр. 81)

2. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.

n
an

(где n – это номер члена последовательности, a_n - это член последовательности, стоящий на n-ом месте)

1. Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности в первой задаче. (т.е. найти а₂ – a₁, а₃ – a₂ и а_n+1 – a_n и записать соответствующие равенства)

2. Записать эту последовательность реккурентным способом. (т.е. а₂ = a₁ + …, а₃ = a₂ + … и а_n+1 = a_n + ….)

3. Дать определение арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется …, каждый член которой, начиная со …, равен предыдущему … с одним и тем же числом.

Слова для вставки: второй, сложенный, последовательность.

1. Найти среднее арифметическое чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными числами 2 и 8 в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую прогрессию? (Проверьте, равен ли каждый последующий предыдущему, сложенному с одним и тем же числом)

2. Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемой последовательности? (проверить для 1-ого, 2-ого и 3-его, т.е выполняется ли равенство ; проверить для 2-ого, 3-его и 4-ого членов данной последовательности)

3. Доказать, что для членов арифметической прогрессии справедлива закономерность . (Для доказательства выразить a_n через а_n-1 и d, затем выразить a_n через а_n+1 и d , далее почленно сложить полученные два равенства).

УПРАЖНЕНИЯ.

I уровень.

1. Найдите пятый член арифметической прогрессии: 19; 15; 11; ...;

2. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n)

а) b₁; 12; -48; b₄; . . .; б) 81; 27; b₃; b₄;. . .;

II уровень.

1. Найдите члены арифметической прогрессии (а_n), обозначенные буквами:

а₁; а₂; -19; -11,5; а₅; …;

1. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n), зная, что q

b₁; b₂; 225; b₄; 81; . . .;

ВОПРОСЫ для II команды.

Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 мин.

(Для консультации обращайтесь – п. 4.1. стр.96)

1. Записать последовательность в соответствии с условием задачи. (записать члены последовательности, отделяя их друг от друга точкой с запятой как показано в п.15 стр.81)

2. Записать эту же последовательность с помощью таблицы.

n
an

(где n – это номер члена последовательности, a_n - это член последовательности, стоящий на n-ом месте)

1. Найти частное q от деления последующего члена на предыдущий во второй задаче. (т.е. найти b₂ : b₁; b₃ : b₂ и b_n+1 : b_n и записать соответствующие равенства)

2. Записать эту последовательность реккурентным способом. (т.е. b₂ = b₁ ∙ …, b₃ = b₂ ∙ … и b_n+1 = b_n ∙ ….)

3. Дать определение геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется … отличных от … чисел, каждый член которой, начиная со …, равен предыдущему … на одно и то же число.

Слова для вставки: второй, умноженный, последовательность, ноль.

1. Найти среднее геометрическое чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными числами 2 и 8 в порядке возрастания. Образуют ли эти числа геометрическую прогрессию? (Проверьте, равен ли каждый последующий предыдущему, умноженному на одно и то же число)

2. Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемой последовательности? (проверить для 1-го, 2-ого и 3-его, т.е. выполняется ли равенство ; 2-ого; 3-его и 4-ого членов данной последовательности)

3. Доказать, что для членов геометрической прогрессии справедлива закономерность .

(Для доказательства выразить b_n через b_n-1 и q, затем выразить b_n через b_n+1 и q , затем почленно умножить полученные два равенства).

УПРАЖНЕНИЯ.

I уровень.

1. Найдите пятый член арифметической прогрессии: -1; 3; 7; ...;

2. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n)

а) b₁; 12; 36; b₄; . . .; б) 125; -25; b₃; b₄;. . .;

II уровень.

1. Найдите члены арифметической прогрессии (а_n), обозначенные буквами:

а₁; -8,5; а₃; -4,5; а₅; …;

1. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (b_n),:

b₁; b₂; b₃; 36; 54; . . .;

8