Конспект занятия на тему: Основы математической статистики

1 курс. Занятие по теме «Основы математической статистики»

Каманина Анна Владимировна,

преподаватель математики и информатики.

Цели урока: познакомить учащихся с математической статистикой; обеспечить усвоение основных понятий и формул; сформировать умение решать задачи; развить сообразительность, математическую речь и внимание.

Литература: 1) Математика: учеб. пособие / В. П. Омельченко, Э. В. Курбатова, 2011;

2) Математика: Комбинаторика и основы теории вероятностей / Г. В. Сычёва, Н. Б. Гусева, В. А. Гусев, 2012;

3) Основы статистических методов компьютерной обработки результатов наблюдений: учебное пособие / А. А. Дунаев, 2008.

Ход урока

Математическая статистика ‒ это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Данные, которые получаются в результате экспериментов, называются статистическими.

Статистических данных может быть достаточно много, поэтому данные необходимо упорядочить, расположить в порядке возрастания или убывания, представить в виде таблицы, диаграммы, графика и т.д.

Затем ставится задача оценить интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины.

Такими характеристиками могут быть:

1. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

2. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

3. Модой называется такое значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая (число, наиболее часто встречающееся в ряду).

4. Медианой называется среднее по положению в пространстве событий значение дискретной случайной величины.

1. Если ряд чисел с нечётным числом членов, то это число записанное посередине

2. Если ряд чисел с чётным числом членов, то это среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Также введем некоторые точные оценки параметров распределения случайной величины:

1. Относительная частота (оценка соответствующей вероятности события) , т.е. f_i=p_i.

2. Ширина интервала определяется по формуле Стерджеса

3. Интервалы вычисляются следующим образом

4. Математическое ожидание

5. Дисперсия

6. Среднее квадратическое отклонение Ϭ

Рассмотрим пример: Ежедневное количество студентов, посещающих методический кабинет на протяжении ряда дней, следующее: 15, 17, 16, 18, 20, 21, 18, 17, 20, 15, 18, 17, 16, 19, 17, 16, 18, 19, 18, 19.

Задание: Составить статистическое распределение выборки, построить гистограмму и вычислить основные характеристики.

Решение: Статистическое распределение выборки оформим в виде таблицы. Всего n=20 посещений. В первой строке таблицы, выбирая варианты из выборки и располагая их в порядке возрастания, получим вариационный ряд (т.е. указываем встречающиеся посещения). Во второй строке таблицы подсчитываем для каждой варианты частоту m_i её повторения в выборке (число повторений). В третьей строке относительную частоту f_i. В четвертой строке для построения гистограммы определим интервалы.

Замечание: Значения относительной частоты округлять до сотых и помнить, что сумма относительных частот равна 1.

1. и т.д.

2. Найдем ширину интервала . Желательно округлять до целых или десятых.

3. Найдем интервалы для гистограммы. При x₁=15 получаем или (14,5-15,5). Остальные получим аналогично или прибавлением h.

4. Построим гистограмму. Выбираем соответствующий масштаб, учитывая значения переменных (для x_i две клетки за единицу, а для f_i одна клетка- 0,05).

Замечание: Если требуется построить полигон, то необходимо соединить точки с координатами (x_i; f_i).

1. Среднее арифметическое ряда чисел

Вывод: в среднем 18 студентов ежедневно посещают методический кабинет.

1. Размах ряда 21-15=6

2. Мода

М₀(Х)=18, т.к. f_i(18)=0,25 самая наибольшая относительная частота или частота m_i=5.

1. Медиана. Для её определения сначала ранжируют выборки, т.е. располагают в порядке возрастания(15,16,…21). Т.к. у нас ряд с чётным числом членов, возьмем два числа, записанных посередине и найдем их среднее арифметическое. Это будет х₁₀=18 и х₁₁=18, тогда Ме(Х)=.

2. Математическое ожидание

М(Х)=15*0,1+16*0,15+17*0,2+18*0,25+19*0,15+20*0,1+21*0,05=17,7

1. Дисперсия. Помним, что f_i=p_i.

2. D(X)=M[X-M(X)]²= p₁ (x₁‒M(X))²+p₂ (x₂‒M(X))²+…+p_n (x_n‒M(X))²=0,1*(15-17,7)²+0,15*(16-17,7)²+0,2*(17-17,7)²+0,25*(18-17,7)²+0,15*(19-17,7)²+0,1*(20-17,7)²+0,05*(21-17,7)²=0,729+0,4335+0,098+0,0225+0,2535+0,529+0,5445≈2,61

3. Среднее квадратическое отклонение Ϭ1,61.

Домашнее задание: Составить статистическое распределение выборки, построить гистограмму и вычислить основные характеристики для ряда чисел

14,16,15,17,19,20,17,16,19,14,18,16,15,18,16,15,17,18,17,18.