«Всё есть число» - это высказывание приписывается знаменитому древнегреческому ученому Пифагору, жившему в VI веке до нашей эры.
Пифагор считал, что все математические понятия можно выразить через натуральные числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дробей.
Но позже было доказано (и мы тоже будем это доказывать), что, например, диагональ квадрата со стороной 1, нельзя выразить даже рациональным числом.
Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Знаменитую теорему Пифагора можно сформулировать так: « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах ». С помощью букв можно записать: с2 =a2 +b2.
Сейчас это равенство можно рассматривать как уравнение и отыскивать, например, натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению. Такие тройки натуральных чисел (a, b, c) так и называют « пифагоровы тройки ».
Позже (III в. До н.э.) другой древнегреческий ученый Евклид вывел на I место геометрию, подчинив ей алгебру ( геометрия, которую мы с вами изучаем, - евклидова). Затем евклидов аксиоматический подход в геометрии (любые, в том числе самые сложные геометрические представления сводятся к ряду очевидных утверждений - аксиом) переходят на другие математические науки, в частности, на алгебру. Например, законы сложения и умножения: переместительный, сочетательный, распределительный, являются в алгебре аксиомами, т.к. они принимаются без доказательства.
Сегодня мы с вами побываем учениками Пифагора и Евклида и попробуем установить связь между алгеброй и геометрией, не подчиняя их друг другу.
3. Основное содержание урока:
1) Как можно изобразить выражение a2 ?
2) Изобразите выражение b2
3) Как изобразить выражение ab?
4) Изобразите выражение (a + b )2
5) На полученном чертеже выделите два квадрата со сторонами a, b.
6) Выразите площадь квадрата со стороной (a + b) через площади квадратов со сторонами a, b, т.е. попробуйте записать формулу.
7) При каких значениях переменных будет истинна полученная формула?
Отвлечёмся от изображений и посмотрим только на записанную формулу. Мы, как ученики Пифагора, можем утверждать: «Всё есть число!»
А может ли данное равенство выполняться при любых значениях переменных?
Вернёмся к Евклиду, его аксиоматике. Зная аксиомы планиметрии, мы можем изобразить квадрат, прямоугольник. Но то, что мы действительно получили квадрат и прямоугольник, требует доказательства.
Как в геометрии называют утверждения, которые требуют доказательства?
2) Таким образом, зная аксиомы алгебры, а именно законы сложения и умножения, нам надо доказать, что равенство (a + b )2 = a2 +2 ab + b2 будет являться тождеством.
Следовательно, это утверждение можно назвать …? (теоремой)
Давайте сформулируем данную теорему (для этого достаточно просто прочитать данное равенство). Выделим условие и заключение теоремы. Итак, что дано? (квадрат суммы двух выражений (a + b)2). Что надо доказать? (a2 +2 ab + b2 )
Переходим к доказательству. Ваши предложения?
Доказательство сводится к тому, что мы должны левую часть равенства представить в виде правой его части.
Доказательство: (a + b)2 = (a + b)∙ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 +2 ab + b2
Что и требовалось доказать.
4. Поиграем в изобретателей новых формул. Часто говорят, что «все новое – это хорошо забытое старое с некоторыми изменениями». Что же можно изменить в левой части данной формулы?
1) попробуем поменять знак на противоположный: (a - b)2. Как найти правую часть?
2) полученную формулу выделяем в рамочку.
Это – новая формула: (a - b )2 = a2 -2 ab + b2 .
5. Закрепление (2 человека вызываются к доске)
Представить квадрат двучлена в виде многочлена: 1) (8x + 3)2 ; 2) (10x – 7y)2
6. Самостоятельная работа по группам
Задание
О т в е т ы
1
2
3
1
(с + d)2 =
c2 + 9c + 81
c2 - 18c + 81
c2 + 18c + 81
2
(7y + 6)2 =
49y2 + 42y + 36
49y2 + 84y + 36
49y2 - 84y + 36
3
(9 – 8y)2 =
81 - 144y + 64y2
81 - 72y + 64y2
81 + 144y + 64y2
4
(0,3c – 5a)2 =
0,009c2 – 3ac + 25a2
0,009c2 – 1,5ac + 25a2
0,09c2 – 3ac + 25a2
Ключ: I - 3 ; II - 2 ; III -1 ; IV – 3 .
7. Подведение итогов урока
8. Постановка домашнего задания
1) выучить по учебнику формулы и словесные формулировки;
2) решить № 370, 371
3) рассмотреть геометрическую интерпретацию выражений (a - b)2 ; (a - b)∙ (a + b).
