Конспект урока по алгебре и началам математического анализа по теме: «Решение показательных уравнений».

МБОУ «Гимназия г. Болхова»

Конспект урока по алгебре и началам математического анализа по теме: «Решение показательных уравнений».

Подготовила и провела:

учитель математики Попова Е.П.

г. Болхов,2022

Конспект урока по алгебре по теме: «Решение показательных уравнений»

Цели урока :

а) образовательные:

- познакомить обучающихся с определением показательного уравнения, с методами решения показательных уравнений

б) развивающие:

- развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;

-  развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;

-  развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

в) воспитательные:

- воспитание культуры общения, умения работать в коллективе,  взаимопомощи;

- воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: проектор, компьютер, доска.

Ход урока.

I.Организационное начало урока.

- Здравствуйте, ребята! Договариваемся: действовать и не бояться допустить ошибку! Ведь не зря говорят: «Не ошибается тот, кто ничего не делает!»

II.Проверка домашнего задания.

По ответам уч-ся. № 200(1,2)

III.Актуализация знаний уч-ся.

- Сейчас, ребята, вспомним теоретический материал, который нам сегодня будет необходим.

2.Фронтальный опрос по теории.

- Назовите определение показательной функции.

- Какова область определения показательной функции?

- Какова область значений показательной функции?

- Что вы скажите о монотонности показательной функции?

3.Устный счет

1)Используя свойство степеней упростить выражения

3^х ·3¹

5^х ·5²

4^2х : 4

7^х ·7^2х

2) Разложить на множители:

2^х+1

7^х+2

5^2х+3

3^х-3

3) Замените эту степень в виде квадрата какой-то другой степени.

25^х

16^х

0.81^х

49^х

0,25^х

36^х

Молодцы!

IV. Целеполагание и планирование.

На слайде несколько уравнений

x² = 36

3x-4 =9

x³-2х = 0

2^х = 64

,

- Какое уравнение вам незнакомо?

2^х = 64

- Чем оно отличается от остальных? ( Переменная находится в показателе степени)

- Такие уравнения имеют специальное название. Они называются показательными.

Тема урока «Решение показательных уравнений»

Цель урока: познакомиться с определением показательного уравнения, с методами решения показательных уравнений; применять изученные методы на практике.

V. Изучение нового материала.

- Определение: Уравнение вида , где , , называется показательным уравнением.

- Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений.

1. Приведение к одному и тому же основанию.

Рассмотрим пример 1,

,

Исходя из названия способа, можете вы предположить первое действие ? (приводим к одному основанию)

К какому основанию удобнее всего перейти при решении данного уравнения? ( 2)

,

В каком случае будут равны степени, если основания равны? (когда показатели равны)

,

Х = 4.

Ответ: х = 4

2. Вынесение общего множителя за скобки.

-При решении показательных уравнений, главные правила -действия со степенями.  Без знания этих действий ничего не получится.( Слайд)

- Вы можете уже сами определить ход действий решения данного уравнения…сначала разложить на множители, затем упростить и решить простейшее уравнение… как же в нашем случае эти множители получить? Верно, применить свойство степени, разложить на множители…и решением данного уравнения будет значение…2

,

,

Ответ:2.

Решите устно следующее уравнение ( на слайде)

2^х = -16

(корней нет)

Какой вывод нужно сделать?( Значит в уравнении b 0)

3. Приведение к квадратным уравнениям.

Действия определяем исходя из названия вида…

Какое уравнение нам надо получить исходя из названия уравнения?

- квадратное…

- как это сделать? (перейти к одинаковому основанию).

-Какому основании.? (3)

- Вводим новую переменную , помня, что это значение всегда положительное.

Почему оно всегда положительное? Какое свойство мы вспоминаем для показательной функции? (она всегда строго больше нуля)

Какое квадратное уравнение мы получим?

В нашем случае дискриминант 196…получаем два корня, -5, 9…помните ли вы о знаке ? То есть значение -5 – посторонний корень... .И нам остается решить простейшее показательное уравнение.. , t₂ = -5 посторонний корень.

Ответ: х =2.

4.Графический способ.

Какие же функции мы можем построить? Изобразить левую и правую части в одной системе координат и найти точки пересечения…
- Рассмотрим функции и . Что вы можете сказать про первую функцию? Что вы помните о второй функции?

По сколько первая функция убывающая, а вторая возрастающая, то графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке.

Этот способ очень красив, но его недостаток-неточность, иногда возникающая при построении. Поэтому мы можем проверить себя подбором

.

Таким образом, показательные уравнения решаются следующими способами:

1. Приведение к одному и тому же основанию.
2. Приведение к квадратным уравнениям.

3. Вынесение общего множителя за скобки.

4. Графический способ.

- Ребята, существуют и другие способы решения, с которыми мы познакомимся на следующем уроке.

VI. Введение новых знаний в систему.

1. Работа в парах.

- Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает другой человек. Поэтому сейчас будем работать самостоятельно в парах.

- Каждая пара получает по 3 уравнения. Вместе решите эти уравнения, распределите задание, помогайте друг другу.

Учебник № 210(1), №211(1), № 213(2) ( 2 уч-ся на закрытых досках решают

№211(1), № 213(2)) для самопроверки работы в парах,

№ 210(1) проверяем устно фронтально с места.

Показательные уравнения в ЕГЭ по математике.

- И, конечно же, показательные уравнения встречаются в заданиях ЕГЭ по математике. Например:

Задание базовой математики и профильной: найдите корень уравнения .

- Каким способом вы будете решать это уравнение?

Задание профильной математики:

В ходе радиоактивного распада масса изотопа изменяется по формуле m(t) = , где начальная масса изотопа, t – время, прошедшее с начала распада, Т – период полураспада. Через сколько времени останется 5 грамм изотопа, если первоначально его было 40 грамм, а период полураспада 10 минут?

Нам дан закон распада радиоактивного изотопа , m₀ =40 г., Т = 10 мин, m = 5 г. Чтобы найти время, когда масса изотопа достигнет этого значения, надо подставить все имеющиеся данные в формулу. Мы получим показательное уравнение, решением которого будет значение 30 минут.

Задание № 12 профильной математики:

а) Решите уравнение: 4^х -2^х+3 + 15 = 0;

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

VII. Итог урока.

- С какими уравнениями сегодня познакомились?

- Какие способы решения узнали?

VIII.Домашнее задание.

П.12 , №209; №211(2); №213(3)

IX. Рефлексия.

- Оцените свою деятельность самостоятельно и выберете из имеющихся высказываний то, которое для вас является ответом на вопрос: Как я понял тему «Решение показательных уравнений».

1. Все понял, могу помочь другим
2. Запомню надолго
3. Все понял
4. Могу, но нужна помощь
5. Ничего не понял