Комбинаторика ережесі

Комбинаторика ережесі

4. Комбинаторика ережелері және оларды варианттарды есептеуде тікелей қолдану

Қосу ережесі. Егер А мен В объектілері тоғыспайтын болса және А объектісі m тәсілімен, ал В объектісі n тәсілімен алынса, онда
«А немесе В» объектілерін таңдау m + n тәсілмен жүзеге асады.

Көбейту ережесі. Егер А объектісі m әдіспен таңдалған болса және әрбір таңдамалардан кейін В объектісі n әдіспен таңдалса
(А таңдауынан тәуелсіз), онда А және В реттелген қостар таңдауын m×n әдісімен алуға болады.

1-мысал: бір мезгілде екі ойын сүйегі лақтырылады. Қанша жағдайлар болатынын есепте.

Шешуі: бірінші ойын сүйегіндегі ұпай саны А болсын. Екінші ойын сүйегіндегі ұпай санын В арқылы белгілейік. Әрбір ойын сүйегінде 1-ден 6-ға дейін ұпай саны түсуі мүмкін, яғни А объектісін 6 әдіспен, В объектісін 6 әдіспен таңдауға болады. Көбейту ережесі бойынша, бір мезгілде екі ойын сүйегі лақтырылғандағы әртүрлі нәтижелер саны (6х6 =36) 36-ға тең

болады. Мұны шыққан барлық нәтижелер арқылы байқауға болады.

11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

2-мысал: Дүкенде алты түрлі шоколад және төрт түрлі карамель кәмпиттері бар. а) кәмпиттердің бір сортынан қанша кәмпиттер түрін сатып алуға болады? б) бір сорт шоколад және бір сорт карамель кәмпиттер түрлерін сатып алу үшін қанша жағдайлар болады?

Шешуі: Шоколад кәмпиттерін А объектісі арқылы, ал карамель кәмпиттерін В арқылы белгілейік. А объектісін 6 әдіспен, ал В объектісін 4 әдіспен алуға болады. а) А+В объектісі - кәмпиттің бір түрін алуға болатынын көрсетеді, яғни m+n = 6+4 =10 түрлі.

б) АВ объектісі шоколад пен карамель кәмпитерін сатып алуды m×n=6×4=24 әдіспен таңдап алуға болады.

Ескерту: бұл ережелер көп объектілерге де қолданылады.

3-мысал: Теңгені үш рет лақтырғанда қандай жағдалар шығуы мүмкін? Теңгені бірінші рет лақтырғанды Х объектісі арқылы белгілейік, екінші рет лақтырғанды У объектісі арқылы, үшінші лақтырғанды – Z объектісі деп белгілейік. Әрбір объектіні екі әдіспен алуға болады: елтаңба (Е) немесе сан (С). Үш рет лақтырғанда көбейту ережесі бойынша нәтиженің 8 әдісі болады.

4-мысал: Көбейту ережесі көмегімен ондық санау жүйесінде қанша үш таңбалы сандар болу мүмкіндігін тап.

Шешуі: үш таңбалы санның жүздік санын А , ондық санын – В, бірлік санын – С объектісі арқылы белгілейік. А объектісін 9 әдіспен алуға болады 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ал В және С объектілерін 10 әдістен алуға болады, олар 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сонда үш таңбалы санды көбейту ережесі бойынша 9×10×10 = 900 әдіспен алуға болады, яғни 900 үш таңбалы сан бар.

5-мысал: 0 және 2 цифрынан қанша төрт таңбалы сан құруға болады?

Шешуі: Төрт таңбалы санның цифрларын АВСD арқылы белгілейік. Бірінші А цифрын бір әдіспен аламыз (яғни 2 цифры болады), ал В, С, D цифрларын екі әдістен аламыз (2 және 0). Көбейту ережесі бойынша АВСD төрттаңбалы санды 1×2×2×2 = 8 әдіспен алуға болады.

6-мысал: Пиццаны дайындағанда ірімшікке мынадай компо-ненттер қосуға болады: шұжық, бұрыш, сарымсақ, саңырауқұлақ және балық. Осы компоненттердің барлығы ірімшікпен қосылады. Қанша әр түрлі пицца дайындауға болады?

Шешуі: осы компоненттердің әрқайсысын бір бірінен тәуелсіз пиццаға қосуға болады немесе болмайды деген екі тәсілді аламыз. Сондықтан, қандай да бір компонентті қосуға байланысты көбейту ережесі бойынша 2×2×2×2×2 = 2⁵ тәсіл алуға болады, бұл тәсілдердің ішіне тек ірімшіктен ғана тұратын, сонымен қатар барлық компоненттер қосылған пиццалар да кіреді.

5. Факториал.

Анықтама: бірден бастап n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісін n факториал деп атаймыз және ол n! символымен белгіленеді.

n!=1·2·3…·n

1-мысал.

1!=1

2!=1·2

3!=1·2·3

4!=1·2·3·4

5!=1·2·3·4·5

1-ескерту. 0! = 1

2-ескерту. n! =(n-1)!·n=(n-2)!·(n-1)·n

2-мысал.

Есепте , , .

Шешуі. Факториалдың анықтамасын немесе екінші ескертуді қолдана отырып табамыз,

немесе

немесе

= =n (n+1)

немесе = n (n+1)

6. Факториалы бар теңдеулер

1-мысал. Теңдеуді шеш 5!х=8!

Шешуі. х=

2-мысал. Теңдеуді шеш

Шешуі. х=

3-мысал. N!=3(N-1)!

Шешуі. (N-1)! N=3(N-1)!

N=3.

4-мысал. Теңдеуді шеш

Шешуі. . Бұдан n(n+1)=42; , n=-7, n=6