Использование эвристических приемов в курсе алгебры 9 класса

Использование эвристических приемов

В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 9 КЛАССА

Под термином «эвристический прием» понимается преобразующее действие, применение которого позволяет найти ключевую идею для решения проблемной задачи (алгоритм решения которой неизвестен) и свести ее решение к использованию уже известных алгоритмов [1].

В ходе анализа содержания курса алгебры 9 класса были выделены темы (Функции и их свойства. Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Уравнение с одной переменной. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия) и задачи, при решении которых будут использоваться некоторые эвристические приемы (эвристики).

Эвристика «выделение квадрата двучлена».

Задача 1. Найти множество значений функции .

Решение. Преобразуем подкоренное выражение . Подкоренное выражение должно быть неотрицательным , но, так как, получаем систему двух неравенств Таким образом, множество значений функции состоит из одной точки: .

Ответ. .

_{Данную задачу можно предложить учащимся 9-го класса при изучении темы «Функции и их свойства». Альтернативные варианты формулировки задачи: (1) Построить график функции; (2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции.}

Задача 2. Найти множество значений функции .

_{Решение. Областью определения функции является множество} . Для нахождения множества значений функции преобразуем ее:

при . Но учитывая, что , находим

Ответ. .

Задача 3. Найти наименьшее значение функции .

Решение. Функция принимает наименьшее значение тогда, когда дробь принимает наименьшее значение, то есть когда ее знаменатель – квадратный трехчлен принимает наибольшее значение. Выделяем полный квадрат: , таким образом, значение квадратного трехчлена тем больше, чем меньше выражение в скобках: наибольшее значение квадратного трехчлена, равное -6, достигается при , то есть при .

Итак, наименьшее значение функции равно .

Ответ. Наименьшее значение функции равно .

Задача 4. Найдите наибольшее значение функции .

Решение. так как , причем равенство достигается при х =1.

Ответ. Наибольшее значение функции равно 1.

Задача 5. Докажите различными способами, что уравнение не имеет действительных корней.

Способ 1 (стандартный способ). Определим знак дискриминанта , следовательно, действительных корней нет, что и требовалось доказать.

Способ 2 (используем эвристику). Выделим из трехчлена квадрат двучлена: при любом значении x, значит, действительных корней уравнение не имеет.

Задача 6. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений: каждое из которых не имеет действительных корней.

Заметим, что прием выделения полного квадрата двучлена в квадратном трехчлене трудно воспринимается учащимися 9 класса при его изучении. Для закрепления целесообразно как можно чаще его использовать, в частности, он эффективен при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Решение таких задач без использования производной (алгоритм решения задач на экстремум будет рассмотрен в 10 классе) требует «догадки», поиска приемов, которые позволяют решить задачу.

Задача 7. Может ли площадь треугольника равняться 13 см², если сумма длин его основания и высоты, опущенной на это основание, равна 10 см?

Решение. Обозначим высоту треугольника через x, тогда имеем:

Так как из числа 12,5 вычитается неотрицательное число, то следовательно, на вопрос задачи ответ отрицательный: наибольшее значение площади треугольника достигается при x =5 и равно 12,5.

Ответ. Не может.

Эвристика «введение параметра».

Задача 8. Найти множество значений функции .

Решение. Обозначим и рассмотрим равенство как уравнение с неизвестным х и параметром p.

Имеем – квадратное уравнение (при относительно х. Квадратное уравнение имеет действительные решения тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

.

_Ответ. .

Задача 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение. Полагаем y=p и рассмотрим равенство как уравнение с неизвестным x и параметром p. После преобразования получим: . Для того, чтобы это уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство , откуда или . Слева в неравенстве стоит наименьшее значение y, справа – наибольшее. Границы изменения y дают ответ на вопрос задачи.

Ответ. Наибольшее значение , наименьшее .

Таким образом, при нахождении наибольших и наименьших значений функции рассматриваем данное равенство как уравнение с неизвестным x и параметром y=p и решаем задачу: при каких значениях параметра p это уравнение имеет решение.

Следующая задача предлагается для самостоятельного выполнения.

Задача 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .