Графики элементарных функций спецкурс

28

МКОУ- Сосновская СОШ № 32, с.Сосновка Новосибирского района Новосибирской области.

Методическая разработка

Графики элементарных функций.

Данная разработка предназначена для учителей математики, учащихся 11 класса. Цель- оказать учителям методическую помощь в проведении зачёта, помощь учащимся увидеть свои возможности саморазвития и самоутверждения.

Выполнил: учитель математики

высшей квалификационной категории

Шнар Надежда Ивановна

2013г.

Цель: формирование графического мышления. Воспитание интереса к предмету, уверенности в своих способностях, подготовка к обучению в ВУЗах, колледжах.

Задачи: Научить строить и читать графики, использовать их при решении уравнений, систем уравнений, исследовании функций.

ΙФункция у=f(x) называется элементарной, если при вычислении её значений применяются и притом, в конечном числе, лишь следующие операции: сложение, вычитание, умножение и деление; возведение в произвольную степень и извлечение корня произвольной степени; взятие логарифма числа по произвольному положительному основанию; нахождение синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В элементарной математике рассматриваются следующие основные элементарные функции:

1.Постоянная у=с, где с- данное число.

2.Степенная функция с рациональным показателем у=х^r, где r-рациональное число. В частности степенная функция с натуральным показателем: у=хⁿ,где n- натуральное число, например, у=х, х², х³; степенная функция с дробным показателем , например и т.д.; степенная функция с отрицательным показателем, например

3.Степенная функция с иррациональным показателем

4.Показательная функция , где а-данное положительное число.

5.Логарифмическая функция , где а0 и а≠1.

6.Тригонометрические функции: cos x, sinx, tgx, ctgx.

7. Обратные тригонометрические функции: arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

В своей практической деятельности человек сталкивается с величинами различной природы: длина, площадь, объём, масса и т.д.

В зависимости от конкретных условий некоторые их этих величин принимают одно и то же постоянное значение, т.е. не меняются; другие наоборот, принимают различные значения.

Те из величин, которые в рассматриваемом процессе принимают различные значения, называются переменными величинами; величины, которые в рассматриваемом процессе сохраняют неизменное значение, называются постоянными величинами. Переменная величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать.

Математика изучает не изменение каждой переменной в отдельности, а зависимость между ними в процессе их изменения. Так, например, при изменении радиуса шара, меняется и его объём, но мы изучаем не изменение каждой величины в отдельности, а рассматриваем вопрос об изменении объёма шара в зависимости от изменения его радиуса.

Определение:

Если в силу некоторого закона каждому значению переменной х, изменяющейся на множестве D, отвечают определённые значения у, то у называется функцией от х.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом функции, множество D- областью определения (задания) функции.

Множество всех значений, которые принимает функция, называется областью значений (изменения) функции.

Способы задания функции.

1.Аналитический.

Этот способ состоит в том, что задаётся формула, т.е. последовательность математических операций, которые нужно произвести над аргументом х, чтобы получить значение у.

При этом функция может задаваться одной формулой во всей области её определения или несколькими, различными для разных частей области определения, например,

2.Табличный способ.

Этот способ состоит в том, что записываются в виде таблицы значения аргументов

Такое задание функции наиболее употребительно во время опытов, когда хотят найти зависимость между некоторыми величинами.

Недостаток табличного задания функции состоит в том, что таблица полностью не задаёт функцию, т.к. не известны её значения в точках, не помещённых в таблицу. Удобство таблицы в том, что по ней сразу, без вычислений, находятся значения функции, соответствующие тем значениям аргументов, которые помещены в таблицу. Поэтому таблица употребляется и как способ представления известных функций (таблица степеней чисел, тригонометрических функций и др.)

3. Графический способ.

Пусть у=f(x) есть функция от х, заданная на множестве D. Это означает в силу определения функции, что каждому значению х из D соответствует определённое значение у. Каждую пару х и у рассматривают как абсциссу и ординату точки М в некоторой выбранной прямоугольной системе координат. Геометрическое место всех таких точек называется графиком рассматриваемой функции.

Графический способ задания функции очень употребителен в экспериментальных работах, особенно там, где используются самопишущие приборы. Получив соответствующую кривую, по ней изучают ту зависимость, которую «задаёт» этот график.

График является удобным представлением функции, когда она задана аналитическим или табличным способами. Наглядность графика является хорошим средством для иллюстрации и исследования функции.

Монотонность функции.

1.Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента х соответствует большее значение функции f(x), т.е. если для любых

2. Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции f(x), т.е. если для любых .

3. Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

4.О монотонности функции можно судить по её графику.

Например, функция, график которой изображён на рис.1, монотонно возрастает при всех х.

Функция, график которой изображён на рис.2 монотонно убывает на промежутке

(– и монотонно возрастает на промежутке _у

Рисунок 1 Рисунок 2

Чётность и нечётность функции. Периодичность. Нули функции.

Пусть область определения функции симметрична относительно начала координат, т.е., если , то и .Тогда можно ввести следующие определения:

1.Функция f(x) называется чётной, если f(-x)= f(x) для любого значения . График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример:_у (рис.3.)

у=cosx

- - 0  х

у=х У у у=х²

0 х

0 х

рисунок 3

2. Функция f(x) называется нечётной, если f(-x)= -f(x) для любого значения . График чётной функции симметричен относительно начала координат.

Пример.(рис.4.)

у

^y=sinx

у=х³

^-2  0  2 х

рисунок 4

3.Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что при любом х из области определения функции числа х-Т и х+Т так же принадлежат этой области и выполняется равенство f(x)=f(х+Т)=f(х-Т). В этом случае Т называется периодом функции f.

Пример.

Доказательство: 1)y(x)=sin(x+2)=sin(x-2)=sinx.

Основной наименьший период функций sinx и cosx равен 2, tgx и ctgx равен .

4.Значение аргумента , при котором f(x)=0, называется корнем (или нулём) функции, х=-1

у=х²+2х+1 у у= х²+2х+1

-1 0 х

ΙΙ.Простейшие преобразования графиков.

Правила.

1.График функции у= f(x-а) (у= f(x+а)) получается из графика функции у=f(x) сдвигом последнего вдоль оси Ох на а единиц вправо (влево), а0.(рис.5.)

у у у=х²

у=х² у=(х-1)² у=(х+1)²

0 1 х --1 0 х

рисунок 5

2.График функции y=f(x)+b (y=f(x)-b) получается из графика функции у=f(x) сдвигом последнего вдоль оси Оу на b единиц вверх (вниз), b0.(рис.6.)

у у=х²+2

у=х²

2 у=х²-2

0 х

-2

рисунок 6.

3.График функции y=f(x-а)+b получается их графика функции у=f(x) путём двух параллельных сдвигов последнего: вдоль оси Ох на а единиц (вправо, если а0, и влево, если а b единиц (вверх, если b0, и вниз, если b

у у=(х-2)²+3 у у=х²

3

у=х² -1 0 х

0 2 х у=(х+2)²-3

-3

4.График функции у=f(аx), где а1 получается из графика у=f(x) сжатием последнего вдоль оси Ох с коэффициентом , равным а. При а

у у

у=4х² у=х²

у=х² у=х²

0 х 0 х

рисунок 8

5.График функции у=вf(x), где в1, получается из графика у=f(x) растяжением последнего вдоль оси Оу с коэффициентом в, при в

у у=х²

у=х²

0 х

у=2х²

рисунок 9

6.График функции у=f(-x) получается из графика у=f(x) симметричным отображением последнего относительно оси Оу. (рис.10)

у у

у=х² у=(-х)² у=х³

0 х 0 х

у=(-х)³

рисунок 10

7.График функции у=-f(x) получается из графика у=f(x) симметричным отображением последнего относительно оси Ох. (рис. 11)

у у

у=х² у=х

0 х 0 х

у=-х² у=-х

рисунок 11

ΙΙΙОбзор элементарных функций, изучаемых в курсе средней школы.

7 класс. Учебник под редакцией Ш.А.Алимова

Линейная функция и её график.

Определение.Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx+b, где х-независимая переменная (аргумент), k и bнекоторые числа.

1.Областью определения линейной функции служит множество всех действительных чисел, т.к. выражение kx+b имеет смысл при любых значениях х.

2.График линейной функции y=kx+b есть прямая линия. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек.

Пример. у=2х-2

если х=2, то у = 2∙2-2=2 (2;2) у

если х=-1, то у = 2∙(-1)-2=-4 (-1;-4) (рис.12) у=2х+2

²

² х

рисунок 12 Можно найти координаты точек, в которых прямая пересекается с осями координат. Если прямая пересекается с осью Ох, то у=0, значит 2х-2=0, х=1 (1;0) –точка пересечения графика с осью абсцисс.

Если прямая пересекается с осью Оу, то х=0, значит у=2∙0-2=-2 (0;-2)- точка пересечения графика с осью ординат. (см. рис 12)

у у

 х  х

k0,-острый k-тупой рисунок 13

3.Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k0,- острый, если k- тупой, если k=0, то прямая параллельна оси Ох, а функция y=b называется постоянной. (рис.13).

Прямая пропорциональность.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где х - независимая переменная, k≠0.

Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

Пример. у=3х (1;3), (0;0) (рис.14.)

у у=3х

^{0 1} х

рисунок 14

При k0 функция возрастает, при k

Функция может быть задана формулой, таблицей, графиком.

Проверка знаний.

1)Функция задана формулой: а) у=-5х+2; б) у=3.

Какой угол образует график с осью Ох?

2)Найти для функции а) f(-1), f(2). При каком значении х значение функции равно 2; 8; 0?

3)Построить график функции а) у=3х+1; б) у=5; в) у=-2х+3

4)Функции заданы формулами: а) у=-2х+2; б) у=4х-1; в) у=5х; г) у=2.

Выбрать:

а) возрастающие,

б) убывающие,

в)постоянные.

5.В каких четвертях расположены графики функций: у=2х, у=-3х+3, у=-3х, у=.

6.График какой функции построен?

а) у б) у в) у

₀ х

г) у д) у е) у

х х х

рисунок 15

у=, у=3х, у=-4х, у=-2х+1, у=+1, у=3х+2.

Контрольная работа.

1.Функция задана формулой у=6х+19. Определить:

а)значение у, если х=0,5;

б)значение х, при котором у=1;

в)проходит ли график функции через точку А(-2;7)?

2.Построить график функции у=2х+4.

а)указать, чему равно значение функции при х=2,

б) чему равно значение х, при котором у=-2.

3.В одной и той же системе координат построить графики функций: у=-2х, у=3. Указать координаты точки пересечения графиков.

4.Задать формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой у=3х-7 и проходит через начало координат.

Функция у=х²

График функции строим по точкам, предварительно составив таблицу. График функции у=х² называют параболой. (рис. 16)

у=х²

у=х²

рисунок 16.

Свойства.

1.Если х=0, то у=0. График проходит через начало координат.

2.Если х≠0, то у0. Все точки графика расположены выше оси Ох.

3.Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение. Значит, график симметричен относительно оси Оу.

Функция у=х³

Построение графика по таблице.

(кубическая парабола) (рис.17)

у

у=х³

0 х

рисунок 17

Свойства.

1.Если х=0, то у=0. График проходит через начало координат.

2.Если х0, то у0

Если х

График расположен в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях.

3.Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у, значит точки графика расположены симметрично относительно начала координат.

Срезовая работа.

1.Построить график функции у=х², у= х³, перечислить свойства.

2.Найти значение у, если х=2.

3.Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 4.

Контрольная работа.

1.Построить график функции у=- х³ (у=х²)

С помощью графика найти

а) значение у при х=1,5;

б) при каком значении х значение у=9?

2.Построить график функции у=х²+1 (у= х³-2)

Найти значение х, если у=5

3.Парабола с вершиной в точке (-3;2) проходит через точку )-4;1). Какая из перечисленных точек лежит на этой параболе?

а) (4;1), б) (-2;-1),

в) (3;-2), г) (-1;-2).

4.График функции проходит через точки с координатами 9-4;0), (-3;-2), (1;0). Что можно сказать о коэффициентах а и с?

5. Найдите значение с, при котором парабола целиком расположена выше оси Ох?

6. Найдите область значений функции

7.Найти точку пересечения графиков: )

График линейного уравнения с двумя переменными.

Определение. Графиком линейного уравнения с двумя переменными, называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. у

Графиком является прямая.

Пример. 3х+2у=6 3

у=-1,5х+3 (рис.18) 2 х

Если у=0, с≠0, х≠0, то х=2 – прямая, параллельная оси Оу. 3х+2у=6

Срезовая работа. рисунок 18

Построить график функции: х+у=3,

Графический способ решения систем уравнений.

Графическое решение системы уравнений сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений.

Как известно, прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке и могут быть параллельными (не иметь общих точек). Соответственно этому система линейных уравнений с двумя переменными может иметь:

а) единственное решение;

б)ни одного решения;

в) бесконечное множество решений.

Не решая системы линейных уравнений, можно судить о числе её решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

То система имеет единственное решение. Пример.

(рис.19) у

-3 1 х

3х-9=-9 2х+3у=5

рисунок 19

А(-2;3)

(рис.20)

у

4х+6у=5

²

^{0 1 2} х 2х+3у=4

рисунок 20

Если

Пример.

Срезовая работа.

1.Определить имеет ли система уравнений решение и сколько.

2.Решить систему уравнений:

_{Дополнительный материал. График уравнения у у=х}

0 х

_у=-х

Функция

_{рисунок 21.}

ОДЗ: х≥0. Составив таблицу значений, строим график. (рис.22)

x	0		1	4	9
у	0		1	2	3

у= у

⁰ х

рисунок 22

С

войства.

1.Если х=0, то у=0, график проходит через начало координат.

2.Если х0, то у0, график расположен в первой координатной четверти.

3.Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. График функции идёт вверх (возрастает)

Сравнение графиков у=х² и на промежутке у (рис.23)

у= х²

х

рисунок 23 у=х

Графики функций симметричны относительно прямой у=х.

Срезовая работа.

Построить графики функций:Зачёт по теме «Графики»

Построить схематично.

1. класс. Учебник под редакцией Ш.А.Алимова.

Функция , её график.

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида , где х- независимая переменная и k –не равное нулю число.

График строим по точкам, предварительно составив таблицу.

,ОДЗ х0, k0

Х	-8	-4	-2	-1	-1/2	1/2	2	4	8
У	-1/2	-1	-2	-4	-8	8	2	1	1/2

(рис.24)

у

х

рисунок 24

_{ОДЗ х0, k}

х	-8	-4	-2	-1	-1/2	1/2	2	4	8
у	1/2	1	2	4	8	-8	-2	-1	-1/2

(рис.25) у

х

рисунок 25

Свойства.

1.Графики не имеют с осями координат общих точек. (при х=0 выражение не имеет смысла, а значение у не равно нулю ни при каком значении х.

2.График функции состоит из двух ветвей, расположенных симметрично относительно начала координат.

При k0 график расположен в Ι и в ΙΙΙ координатных четвертях;

При kIV координатных четвертях.

Такие кривые, как график функции ,называют гиперболой.

Срезовая работа.

Построить графики функций:

1. класс, учебник под редакцией Ш.А.Алимова.

Повторение известных функций, их графиков, свойств, акцент на функцию

Дополнительные свойства: промежутки знакопостоянства, наименьшее и наибольшее значение функции.

Квадратичная функция.

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где х – независимая переменная, а,в,с – некоторые числа, причём а≠0.

у=ах²

Областью определения квадратичной функции является множество R.

График функции - парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с её осью симметрии)

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

Пример. .

Преобразуем:

График функции получается из графика функции параллельным переносом на 2 единицы влево и на 2 единицы вниз. (рис.26) у

у=3х²+12х+10 у=х²

у=3х²

х

рисунок 26

Свойства.

1.Д(у)=R

2. Е(у)=

3.у(-х)=. Функция ни чётная, ни нечётная.

4.Возрастает в промежутке (-2;+∞), убывает в промежутке (-∞;-2).

5.Нули функции: ≈-1,2; -2,8.

6..

7.у0, если

у

Дополнительный материал.

Срезовая работа.

Построить графики функций:

Зачёт за курс основной школы. Схематичное построение всех известных графиков функций, уравнений.

10 класс

Учебник под редакцией А.Н.Колмогорова.

Тригонометрические функции и их графики.

y=sinx (рис. 27)

у

^y=sinx

^-2  0  2 х

Свойства. рисунок 27

1.Д(у)=R

2.Е(у)=[-1;1]

3.sin(-x)=-sinx для всех х из Д(у), функция нечётная.

4.Периодическая с наименьшим периодом 2, т.е. sin(x+2)=sinx для всех х из Д(у).

5.sinx=0 при x=-k, где kZ

6.sinxx(+2k;2+2k),

sinx0 для всех x(2k; +2k), kZ

7.Функция возрастает в промежутках

8.Функция убывает от 1 до -1 в промежутках

9.

Все перечисленные свойства синуса позволяют построить его график на промежутке [-;]. Так как функция у=sinx имеет период 2, то её график на

[-+2k; +2k] получается из графика [-;] с помощью параллельного переноса.

Дополнительный материал.

Функция у=arcsinx – обратная синусу. Геометрически arcsinx означает величину угла (дуги), заключённого в промежутке , синус которого равен х. График функции у=arcsinx симметричен графику функции у=sinx,

х относительно прямой у=х.(рис.28)

у

у=arcsinx

-1 1 х

Рисунок 28

Свойства.

1.Д(arcsin)=[1;1

2.Е(arcsin)= 3.Функция нечётная, т.е. arcsin(-x)=- arcsinx. 4.Возрастающая.

у=cosx.

cosx=sin(- параллельный перенос на расстояние влево. (рис.29)

у

у=cosx

2 - - 0  2 х

y=sinx

рисунок 29.

Свойства.

1.Д(cosx)=R

2.Е(cosx)= [-1;1]

3. cos(-x)=cosx для всех xR, чётная.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е.

cos(x+2)=cosx для всех xR.

5. cosx=0 при

6. cosx0 для всех

cosx

7.Функция убывает от 1 до -1 в промежутках [2k; +2k], kZ/

Возрастает в промежутках [-+2k; 2k], kZ.

8.

Все перечисленные свойства косинуса позволяют построить его график на промежутке [-;]

Дополнительный материал.

y=arccosx ( рис.30).



y=arccosx

х

рисунок 30

Свойства.

1.Д(arсcos)=[-1;1]

2.Е(arcos)=[0;]

3. arcos(-х)=- arccosх

4.Функция убывающая.

y=tgx (рис.31) у

y=tgx

- - 0  х

рисунок 31

Свойства.

1.Д(tg)=R, кроме чисел вида

2.Е(tg)= R

3. tg(-x)=- tgx для всех х_Д(tg), функция нечётная.

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

tg(х+)= tgх для все х_Д(tg)

5. tgx=0 при х=k, k_Z.

_6. tgx _{0 для всех х}

_7. tgx

8.Функция возрастает на каждом промежутке

Строим график на промежутке

Дополнительный материал.

y=arctgx.(рис.32) y=arctgx

рисунок 32

Свойства.

1.Д(arctg)=R

2.E(arctg)=

3. Функция нечётная, т.к. arctg(-x)=- arctgx.

4.Функция возрастающая.

y=ctgx (рис.33)

у

y=ctgx

-2 - - 0  х

рисунок 33

Свойства.

1.Д(ctg)=R, кроме чисел вида k, k_Z.

_2.E(ctg)=R.

3.Функция нечётная, т.к. ctg(-х)=- ctgх для всех х Д(ctg).

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом , т.е.

сtg(х+)= ctgх для всех х Д(ctg).

5. ctgх=0 при х=

6. ctgх0 для всех х

7. ctgх

8. Функция убывает на каждом промежутке

Строим график на промежутке (0;), т.е на промежутке, длина которого равна периоду функции. 

Дополнительный материал.

y=arcctgx (рис.34) y=arcctgx

о х

рисунок 34

Свойства.

1.Д(arcctg)=R

2/E(arcctg)=(0;).

3.Функция убывающая.

4. arcctg(-х)=- arcctgх

Преобразование графиков.

y=2sinx – в 2 раза выше

y=-в 2 раза ниже

y=sin2x- в 2 раза уже

y=- в 2 раза шире

y=sinx+1-поднят вверх на 1

y=sinx-1- опущен вниз на 1

y=sin(-сдвиг влево на

y=sin(-сдвиг вправо на

y=2сos(-в 2 раза выше, в 3 раза уже, поднят на 1 вверх, сдвинут вправо на .(рис.35) у=

- ^{0 }

рисунок 35

Срезовая работа.

Построить графики функций:

_

Проверочная работа.

Построить графики функций, им обратные, перечислить свойства:

y=sinx, y=tgx [y=cosx, y=ctgx]

Исследование тригонометрических функций и построение графиков.

y=2cos(2x+

1.Д(у)=R

2.Е(у)=[-1;3], т.к. -1∙2+1=-1, 1∙2+1=3

3.у(-х)=2cos(-x+≠y(x)≠-y(x), функция ни чётная, ни нечётная.

4.Т=

5. Нули функции: у=0, для всех х=

6.Возрастание.

7.

8.у

у0 при

Срезовая работа.

Исследовать функцию и построить её график:

y=3sin(3x-)+2 [y=-2cos(3x+)-1

Применение графиков тригонометрических функций для вывода формул решения уравнений.

^y=sinx

^у=а

^{у=0 -}2  0  2 х

^у=-1

рисунок 36

Ι sinx=a (a1) (рис.36)

1.x=(-1)ⁿarcsina+n, nZ,

2.sinx=1, x=,

3. sinx=-1, x=

4.sinx=0. x=0+n=n, nZ,

5.

ΙΙ

^y=sinx

^у=а

^{у=0 -}2  0  2 х

^у=-1

cosx=a(a1) (рис.37) рисунок 37

1.x=±arccosa+2n, nZ,

2. cosx=1, x=2n, nZ,

3.cosx=-1, x=+2n, nZ,

4.cosx=0, x=+n, nZ,

5. cos²x=a, x= nZ

ΙΙΙ tgx=a (рис.38)

y=tgx

^у=1

- - 0  ^у=0 х

^у=-1

рисунок 38

1.x=arctga+n, nZ,

2.tgx=1, nZ,

3. tgx=-1, x= nZ,

4.tgx=0, x=n, nZ,

5.tg²x=a, nZ.

11 класс Учебник под редакцией А.Н.Колмогорова.

Показательная функция.

Определение. Функция, заданная формулой вида у=а^х, где а – некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.

у=2^х

х	-2	-1	0	1	2
у	1/4	1/2	1	2	4

(рис.39)

у

у=2^х

1

0 1 х

рисунок 39

у=

х	-2	-1	0	1	2
у	4	2	1	1/2	1/4

(рис.40) у

1 у=

0 1 х

рисунок 40

Свойства:

у=2х	у=
1.Д(у)=R 2.Е(у)=(0;+∞) 3.Функция возрастающая 4.Если х0, то ах1 5.Если хх	1.Д(у)=R 2. .Е(у)=(0;+∞) 3.Функция убывающая 4. .Если х0, то 0х 5.Если хх1

Проверка знаний.

Построить графики функций, перечислить свойства.

Срезовая работа.

1)Решить графически уравнения.

2.Найти область значений функции:

Логарифмическая функция.

Так как показательная функция у=а^х, где а0, а≠1, является монотонной (возрастающей при а1 и убывающей при 0^х, выразить х через у: х=, а затем поменять обозначение х на у и у на х, получим

Определение. Функция (где а0, а≠1) называется логарифмической. (рис.41)

у у

у=а^х

₁ у=а^х 1 ₁ у=а^х х 0 1 х

_{0 1}

_{у=х у=х}

_{а1 рисунок 41 0}

Свойства.

ах1	0х
1.Д(у)=R+=(0;+∞) 2.E(y)=R 3.возрастающая 4.х=1=0 5.00 6.x10	1. Д(у)=R+=(0;+∞) 2.E(y)=R 3. убывающая 4.х=1=0 5.00 6.x10

Срезовая работа.

1.Построить график функции , перечислить свойства.

2.Решить графически уравнения:

Степенная функция.

Определение. Функция, заданная формулой у= называется степенной.

Если n=1, то у=х

n=2,то у=х²

n=3,то у=х³

n=-1,то у=

n=-2,то у=

n=1/2,то у=

n=0, то у=1- постоянная.

Если nn график выглядит, как и график функции у=.

При чётном n график выглядит, как и график функции у=.

При целых n функция определена и для х², у=(-х)³.

При n чётном, функция чётная: у= х², у=х⁶.

При n нечётном, функция нечётная: у=х³, у=х⁵.

Д(у)=R, кроме 0.

Срезовая работа.

Построить графики функций и им обратные.

Зачёт «Графики элементарных функций»

Схематичное построение, используя преобразования.

Литература.

• А.Я. Колодко, Л.С. Колодко

Сборник задач по математике для абитуриентов, поступающих в НИНХ.

Новосибирск, 1993.

• А.Г.Калашникова.

Математика. Учебное пособие для учащихся подготовительных курсов НГТУ.

Новосибирск,2000.

• И.Ф. Шарыгин.

Факультативный курс по математике.

М.: «Просвещение», 1989.

• М.К. Потапов, С.Н. Олехник

Конкурсные задачи по математике.

М. «Столетие», 1995.

• Э.З. Шувалова и др.

Повторим математику.

«Высшая школа», 1984.