"Геометрическая пресс - конференция"

Итоговый урок по геометрии (11 класс)

«Геометрическая пресс – конференция»

Цель: Повторить курс геометрии средней школы.

Геометрия повсюду.

Глазом только поведёшь,

И примеров сразу уйму

Ты вокруг себя найдёшь.

Вот строительство большое.

Прежде, чем его начать,

Нужно всё ещё подробно

Начертить и рассчитать.

А иначе…

Рамы будут с перекосом,

Потолок провалится.

А кому, друзья, скажите,

Это может нравиться?
Ох, скажу я вам, ребята,

Всех примеров не назвать.

Но должно быть всем понятно,

Что геометрию нам нужно знать!

Добрый день, дорогие выпускники! Вот и подходит к концу ваше обучение в школе. Сегодня у нас последний урок геометрии. Мы провели с вами много уроков, но этот не такой как все. Он - последний! Поэтому он - необычный.

А давайте мы с вами подсчитаем, сколько уроков геометрии у нас было? 7 класс – 35 учебных недель, 8 и 10 классы – по 36 учебных недель, 9 и 11 классы – по 34 учебные недели. Всего 175 недель. В неделю проводится 2 урока геометрии, значит всего 350 уроков. Около 10 недель, то есть целую учебную четверть, вы занимались геометрией.

Сегодня мы с вами являемся участниками пресс-конференции. Класс разбит на семь групп, по количеству глав учебника геометрии за 10-11 классы. На нашей пресс-конференции присутствуют гости, которых я попрошу быть беспристрастными судьями.

Ну, а сейчас, давайте коротко представимся друг другу, ведь сегодня мы не просто Маши и Ларисы, а представители различных изданий.

Представление команд

Работа групп заключается в следующем. Как нам начать нашу пресс-конференцию? У вас на столе лежит цветок, в сединке которого написано название главы, специалистами высочайшего класса по которой вы являетесь. Переверните, пожалуйста, цветок: на лепестках записаны имена всех ваших одноклассников, кроме тех, кто работает с вами в одной группе. Когда вы оборвёте лепесток, то назовёте имя того, кто задаст вам вопрос по вашей теме. Посовещавшись в группе, вы должны будете дать исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. Если же вы не сможете ответить на вопрос, то тот из вас, кто его задавал и должен будет на него ответить. Понятно? На одном из лепестков ничего не написано. Что это значит? В случае, если вы оторвали такой лепесток, вы сразу получаете бонусный бал… Но это не всё к бонусному балу в придачу идёт задача от меня, решив которую и объяснив её решение всем, вы получаете дополнительные балы.

Вопросы и задачи

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Вадим: Две прямые пересекаются. Что это значит? (они имеют одну общую точку, лежат в одной плоскости)

Юля: Какой пример может дать наглядное представление о скрещивающихся прямых

Слава: Приведите примеры параллельных плоскостей, встречающихся в жизни

Женя: Признак параллельности двух плоскостей (если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны)

Артём: Назовите три случая взаимного расположения прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, прямая пересекает плоскость и прямая параллельна плоскости)

Максим: Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? (1)

Настя Р.: Если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? (не всегда, могут быть скрещивающимися)

Маша: Как называются две прямые, которые не лежат в одной плоскости? (скрещивающиеся)

Лариса: Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми (если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая пересекает эту плоскость)

Вика: Если две прямые параллельны некоторой плоскости, то как они расположены по отношению друг к другу? (параллельно)

Витя: Как звучит теорема о параллельности трёх прямых? (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны)

Ира: Примеры параллельных прямой и плоскости

Марина: Теорема о параллельных прямых (через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом только одна)

Задача: Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m . Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂ соответственно, прямая m – в точках В₁ и В₂. Найти длину отрезка А₂В₂, если А₁В₁ = 12 см, В₁О : ОВ₂ = 3 : 4. (16 см)

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Настя Н.: Где в обычной жизни можно встретить перпендикулярные прямые и плоскости?

Надя: Какой угол образуют перпендикулярные прямые? (90⁰)

Алина: Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными и как они могут располагаться? (угол между ними равен 90⁰, могут быть пересекающимися или скрещивающимися)

Слава: Как проверить перпендикулярна ли данная прямая к плоскости (если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости)

Лариса: Как звучит признак перпендикулярности двух плоскостей? (если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны)

Артём: Признак перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости)

Максим: Как называется угол между прямой и её проекцией на плоскость? (угол между прямой и плоскостью)

Настя Р.: Если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны? (да)

Никита: Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости? (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)

Вика: Сколько двугранных углов имеет параллелепипед? (12)

Марина: Теорема о перпендикулярных прямых (через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, перпендикулярная данной и притом только одна)

Задача: Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 24 см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найти измерения параллелепипеда. (4см, 4см, 8см)

МНОГОГРАННИКИ

Настя Н.: Какая фигура называется ограниченной? (её можно заключить в сферу)

Надя: Чему равна сумма всех плоских углов в выпуклом многограннике? (в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360⁰)

Вадим: Сколько видов правильных многогранников существует? (5: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр)

Юля: Сколько граней имеет додекаэдр? (12)

Лариса: Что такое апофема? (высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины)

Артём: Что такое многогранник (поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело)

Настя Р.: Существуют ли правильные многогранники в живой природе? Какие?

Маша: Как называются стороны многоугольников, из которых составлен многогранник? (рёбра)

Никита: Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды? (половине произведения периметра основания на апофему)

Вика: Как называется многогранник, имеющий наименьшее количество рёбер? Сколько их? (тетраэдр, 6)

Витя: Что такое правильная усечённая пирамида? (правильная усечённая пирамида получается из правильной пирамиды сечением плоскостью, параллельной основанию)

Ира: Что такое октаэдр? ( многогранник, состоящий из восьми правильных треугольников, шесть вершин, в каждой вершине сходятся по четыре ребра)

Марина: Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу? (не всегда, в основании может лежать ромб или призма может быть наклонной)

Задача: Основанием пирамиды МАВСД является квадрат АВСД, ребро МД перпендикулярно к плоскости основания, АД = ДМ = а. Найти площадь поверхности пирамиды.(2а² + а²)

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Настя Н.: Какие физические величины являются векторными? (скорость, сила, перемещение)

Алина: Какие векторы называются противоположными? (длины равны, коллинеарны, имеют противоположные направления)

Юля: Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Слава: От любой ли точки можно отложить вектор? (да)

Настя Р.: Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов? (да, если векторы перпендикулярны)

Вика: Какие векторы являются коллинеарными? (лежат на одной прямой или на параллельных прямых)

Ира: Какие векторы называются сонаправленными? (коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление)

Марина: Какие векторы называются равными? (если они сонаправлены и их длины равны)

Задача: Дан параллелепипед АВСДА₁В₁С₁Д₁. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) , , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ? (а,в)

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТАНСТВЕ, ДВИЖЕНИЯ

Настя Н.: Является ли параллельный перенос движением? (да)

Надя: Чему равна каждая координата суммы двух и более векторов? (сумме соответствующих координат этих векторов)

Алина: Когда скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю? (когда эти векторы перпендикулярны)

Вадим: Что такое координатные плоскости? (плоскости, проходящие через пары координатных прямых)

Юля: Что называется направляющим вектором прямой? (ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а)

Женя: Что называется осями координат? (прямые с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и направлением)

Лариса: Что такое скалярное произведение двух векторов? (произведение их длин на косинус угла между ними)

Артём: Какие векторы называются перпендикулярными? Условие перпендикулярности векторов (если угол между ними равен 90⁰, два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю)

Максим: Чему равен угол между векторами, если один из них нулевой? (0⁰)

Никита: Что такое осевая симметрия? (осевой симметрией с осью а называют такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁, относительно оси. Нужно из М опустить перпендикуляр на ось и на продолжении отложить равный отрезок)

Вика: Как выглядит сочетательное свойство умножения векторов? ( к() = (к))

Слава: Чему равна каждая координата вектора? (разности соответствующих координат её конца и начала)

Ира: Можно ли разложить вектор по координатным векторам? (любой вектор можно разложить по координатным векторам, приём коэффициенты разложения определяются единственным образом)

Марина: Как вычислить длину вектора? (длина вычисляется по формуле = )

Задача: Вычислить угол между прямыми АВ и СД, если А(6; -4; 8); В(8; -2; 4); С(12; -6; 4); Д(14; -6; 2). (30⁰)

ЦИЛИНДР, КОНУС, ШАР

Настя Н.: При каком условии сфера будет вписана в цилиндрическую поверхность? (если она касается всех её образующих и обоих оснований)

Алина: Что такое цилиндр? (тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях, которые называются основаниями цилиндра, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки оснований)

Вадим: Перечислите элементы цилиндра (основания, боковая поверхность, образующая, высота, ось)

Юля: Равны ли друг другу углы между образующими конуса и его осью? (да)

Слава: Что называется развёрткой геометрической фигуры? (изображение плоскости, ограничивающей фигуру, в одной плоскости листа по размерам фигуры)

Женя: Что составляют все образующие цилиндра? (боковую поверхность)

Лариса: Из чего состоит поверхность цилиндра? (из двух оснований – окружностей и боковой поверхности – прямоугольника, одна из сторон которого равна длине окружности основания, а вторая равна высоте цилиндра)

Артём: Что такое осевое сечение цилиндра? (сечение, содержащее ось – прямоугольник, две стороны которого – это диаметры оснований, а две другие – образующие цилиндра)

Максим: Как называется единственная общая точка между сферой и плоскостью? (точка касания)

Настя Р.: Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость? (нет)

Ира: Что называется площадью боковой поверхности, а что площадью полной поверхности? (боковая поверхность – это та поверхность тела, которая расположена не горизонтально, полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания или оснований)

Марина: Что называется диаметром шара? (отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр)

Задача: Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра. (50 + см²)

ОБЪЁМЫ ТЕЛ

Настя Н.: Как называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью, и чему равен её объём? (шаровой сегмент. V = h²(R - h), где R – радиус шара, h – высота шарового сегмента)

Надя: Чему равен объём тела, состоящего из нескольких тел? (сумме объёмов этих тел)

Юля: Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объёмов равнялась объёму шара радиуса 6 см. (27)

Алина: Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда? (произведению трёх его измерений)

Лариса: Свойства объёма (равные тела имеют равные объёмы; если тело состоит из нескольких частей, то объём тела равен сумме объёмов его частей)

Артём: Как вычислить объём с помощью интеграла? (V = , где – площадь сечения, перпендикулярного оси х)

Настя Р.: Бутылка наполнена жидкостью меньше, чем на половину. Нижняя часть бутылки имеет форму цилиндра, а верхняя произвольную форму. Как с помощью линейки определить объём этой бутылки? Доливать и выливать воду нельзя. (V = R²H )

Маша: Чему равен объём наклонной призмы? (произведению площади основания на высоту или произведению площади сечения, перпендикулярного боковому ребру, на боковое ребро)

Никита: Чему равен объём пирамиды? (одной трети произведения площади основания на высоту)

Вика: Если объём куба равен , то чему равно ребро куба? ( )

Задача: Осевое сечение конуса – равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м². Найти объём конуса. (9 см³)

И последнее задание для каждой группы: нарисуйте, пожалуйста, человечка. Но в изображении можно использовать только геометрические фигуры. А пока вы работаете, мы подведём итоги.

Объявление итогов

Вот и подошёл к концу наш урок, наша итоговая геометрическая пресс-конференция. Так же быстро пролетели 11 лет школьной жизни. Достаньте свои дневники и запишите домашнее задание… нет, не на следующий урок, а на всю жизнь:

1. Старайтесь быть умными и добрыми;

2. будьте сильными по жизни и смелыми;

3. уважайте своих родителей;

4. помните ваших учителей.

Работая сегодня, вы немножко пообрывали лепестки на своих цветах. Давайте, прежде чем уйти, мы создадим новый цветок. Серединка находится здесь у меня. Перед каждым из вас лежит белый лепесток – лепесток ромашки. Напишите на нём с какими эмоциями вы уходите с последнего в своей жизни школьного урока геометрии и приклейте свой лепесток к серединке. Всем огромное спасибо за работу.