Дифференциал сложной функции

«Производная сложной функции».

Цели урока:

• обобщить теоретические знания по теме: «Производная сложной функции»;

• рассмотреть решение задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровней сложности;

• проверка знаний учащихся по указанной теме в ходе проверочной самостоятельной работы.

ХОД УРОКА

I этап урока – организационный (1 мин.) Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

II этап урока – повторение теоретического материала по темам «Производная. Правила вычисления производных. Производная сложной функции». (7 мин.)

Словарная работа.

Учитель: Сейчас мы повторим, что называется производной функции?

Определение: Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение ∆f f(х₀ +∆х) – f(х₀) при ∆х→0

∆х = ∆х

Какие из них являются сложными?

а) у(х)=5х-8; б) е(х)=(5х-2)²; в) к(х)= 8/х; г) в(х)=sin4х; д) а(х)=tgx; е) р(х)=√х⁵+х-7;

укажите внутреннюю и внешнюю функции.

Определение: Если функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят, что h есть сложная функция, составленная из функций g и f и пишут

h(х) = g (f (х)).

Определение: Если функция f имеет производную в точке х₀ ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят, что h есть сложная функция, составленная из функций g и f и пишут

h´(х₀) = g ´(f (х₀))f´ (х₀).

найти производную следующих функций?

а) к(х)=sin²x +cos²x; б) у(х)=tgx ctgx

.III этап урока (8 мин.)

Устная работа по решению простейших задач на тему «Производная сложной функции».

Учитель предлагает учащимся применить только что сформированные теоретические факты к решению задач. Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы следующего содержания: На партах лежат бланки ответов, в которые учащиеся заносят выбранные номера своих решений.

1. Найти производную функции y(x) = (x ^_ 3)⁴

1) -4(х-3)³ ; 2) 4(х-3)³ х; 3) 4(х-3)³; 4) 12(х-3)³

2. Найти производную функции y(x) = (2х+1)²

1) 2(2х+1)³; 2) 4(2х+1); 3) 2(2х+1); 4) 4(2х+1)²

3. ,Найдите производную функции g(х)=(х³-2х)²

1) (х³-2х)²(3х²-2); 2) 2(х³-2х); 3) 6х²(х³-2х); 4) 2(х³-2х)(3х²-2)

4. Найдите производную функции g(х) = √х-2

1) 1/√х-2 2) -1/√х-2 ; 3) 1/2√х-2 ; 4) -1/2√х-2 ;

5 Найдите область определения данной сложной функции: у(х)=1/sinx

1) х≠2πn; 2) х≠πn; 3) ) х≠π/2*n; 4) ) х≠0

После окончания работы учитель открывает бланк ответов с правильными решениями. Идет самопроверка. Учитель: «Поднимите руку, кто выполнил все задание, четыре задания, три задания? Кто не смог справиться с тремя заданиями, должны выполнить тест дома самостоятельно».

Задание	1.	2.	3.	4.	5.
Ответ	3	2	4	3	2

IV этап урока (10 мин.)

Работа с учебником

ешение упражнений (учащиеся решают в тетрадях ,комментируя с места, в конце работы учитель просит выписать на доске ответы одного из учеников).. Наиболее подготовленные учащиеся работают по карточкам.

№ 223(а); найти область определения сложной функции;

№ 225(а); найти производную сложной функции.

Задание для наиболее подготовленных учащихся: №226(а) найти область определения функции;

№230(а) Найти производную сложной функции

V этап урока (15 мин.)

Разноуровневая самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на её выполнение отводится 15 минут.
Для учащихся 1-й группы учителем составлены карточки в двух вариантах. Учащиеся 1-й группы – это дети со слабой математической подготовкой. Работа для них содержит задания аналогичные тем, которые разбирались на уроке. Все задания в варианте базового уровня сложности. Для учащихся 2-й группы учителем составлены карточки с задачами повышенного уровня сложности.

1 группа

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2х+3)⁵; х₀= -1,5;

б)f´(х)=√х²+5 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=5х/√х-7;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=√х; g(х)=7-3х.

Ответ:1.а) 10(2х+3)⁴ ; 0; б)х/√х²+5; 2/3.

2.х7;

3.f(g(х))=√7-3х

2. группа

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

Ответ: 1.а) -15(2-3х)⁴; -15; б)(2-9х²)/2√5+2х-3х³; -1,75

2. (-∞;3)U(3;+∞) 3. √х/√х-1

3. √х/√х-1

Бланки с самостоятельной работой сдаются в конце урока.

Домашнее задание: пункт 16;

№223 (2 строка), найти область определения функции,

№ 225(2 строка), найти производную функции;

№ 228(г), задание повышенного уровня сложности

№160(б); повторение, решение тригонометрических неравенств.

1. Найти производную функции y(x) = (x ^_ 3)⁴

1) -4(х-3)³ ; 2) 4(х-3)³ х; 3) 4(х-3)³; 4) 12(х-3)³

2. Найти производную функции y(x) = (2х+1)²

1) 2(2х+1)³; 2) 4(2х+1); 3) 2(2х+1); 4) 4(2х+1)²

3. ,Найдите производную функции g(х)=(х³-2х)²

1) (х³-2х)²(3х²-2); 2) 2(х³-2х); 3) 6х²(х³-2х); 4) 2(х³-2х)(3х²-2)

4. Найдите производную функции g(х) = √х-2

1) 1/√х-2 2) -1/√х-2 ; 3) 1/2√х-2 ; 4) -1/2√х-2 ;

5 Найдите область определения данной сложной функции: у(х)=1/sinx

1) х≠2πn; 2) х≠πn; 3) ) х≠π/2*n; 4) ) х≠0

Задание	1.	2.	3.	4.	5.
Ответ

_______________________________________________________________________________

1. Найти производную функции y(x) = (x ^_ 3)⁴

1) -4(х-3)³ ; 2) 4(х-3)³ х; 3) 4(х-3)³; 4) 12(х-3)³

2. Найти производную функции y(x) = (2х+1)²

1) 2(2х+1)³; 2) 4(2х+1); 3) 2(2х+1); 4) 4(2х+1)²

3. ,Найдите производную функции g(х)=(х³-2х)²

1) (х³-2х)²(3х²-2); 2) 2(х³-2х); 3) 6х²(х³-2х); 4) 2(х³-2х)(3х²-2)

4. Найдите производную функции g(х) = √х-2

1) 1/√х-2 2) -1/√х-2 ; 3) 1/2√х-2 ; 4) -1/2√х-2 ;

5 Найдите область определения данной сложной функции: у(х)=1/sinx

1) х≠2πn; 2) х≠πn; 3) ) х≠π/2*n; 4) ) х≠0

Задание	1.	2.	3.	4.	5.
Ответ

. Найти производную функции y(x) = ( )⁴

2. Найти производную функции

3. ,Найдите производную функции

4. Найдите производную функции

5 Найдите область определения данной сложной функции:

Задание	1.	2.	3.	4.	5.
Ответ

_______________________________________________________________________________

1. Найти производную функции

2. Найти производную функции

3. ,Найдите производную функциии

4. Найдите производную функции

5 Найдите область определения данной сложной функции:

Задание	1.	2.	3.	4.	5.
Ответ

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2х+3)⁵; х₀= -1,5; 1 группа

б)f(х)=√х²+5 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=5х/√х-7;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=√х; g(х)=7-3х

_____________________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2х+3)⁵; х₀= -1,5; 1 группа

б)f(х)=√х²+5 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=5х/√х-7;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=√х; g(х)=7-3х

_____________________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2х+3)⁵; х₀= -1,5; 1 группа

б)f(х)=√х²+5 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=5х/√х-7;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=√х; g(х)=7-3х

_____________________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2х+3)⁵; х₀= -1,5; 1 группа

б)f´(х)=√х²+5 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=5х/√х-7;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=√х; g(х)=7-3х

_____________________________________________________________

Найти f´(х₀), если а)f(х)= (3х+6)⁵; х₀= -2; 1 группа

б)f(х)=√х²+9 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)= 2х/√4-х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)= sin x ; g(х)= 5х

____________________________________________________________

Найти f´(х₀), если а)f(х)= (3х+6)⁵; х₀= -2; 1 группа

б)f(х)=√х²+9 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)= 2х/√4-х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)= sin x ; g(х)= 5х

____________________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (3х+6)⁵; х₀= -2; 1 группа

б)f(х)=√х²+9 ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)= 2х/√4-х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)= sin x ; g(х)= 5х

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

______________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

______________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

_______________________________________________________________

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (2-3х)⁵; х₀=1/3 2 группа

б)f(х)=√5+2х-3х³ ; х₀= 1

2. Найти область определения функции у(х)=1/√х²-6х+9;

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=х/х-1; g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.

1. Найти f´(х₀), если а)f(х)= (4-6х)⁴; х₀=2/3 2 группа

б)f(х)=√13+10х-х³ ; х₀=2

2. Найти область определения функции у(х)=1/√(х – 4)(х+6)х

3(Дополнительное). Составить f(g(х)), если f(х)=(х-4)/(9-х); g(х)=√х.