Что и как экономят пчёлы

Разработка занятия

Объединение дополнительного образования: «Математика вокруг нас»

Класс: 9

Тема занятия: «Что и как экономят пчёлы»

Тип занятия: урок-исследование (практикум с элементами проектной деятельности)

Продолжительность: 45 минут (или 2 занятия по 45 минут при углублённом варианте)

1. Пояснительная записка

Занятие «Что и как экономят пчёлы» входит в модуль «Математика в природе» программы объединения «Математика вокруг нас». Оно построено на материале правильных многоугольников, площади и периметра, а также процентных вычислений, знакомых девятиклассникам. Центральная идея занятия — показать, что пчелиные соты представляют собой природную задачу оптимизации: при минимальном расходе воска (периметре ячейки) необходимо получить максимальный объём пространства для мёда (площадь ячейки). Шестиугольная форма сот оказывается не случайной, а математически обоснованной.

Занятие носит метапредметный характер: оно связывает геометрию, алгебру (проценты), биологию и экологию, формирует исследовательские умения и показывает практическую ценность математики.

2. Цели и задачи

Цель: через математическое моделирование и вычислительный эксперимент обосновать, почему пчёлы строят шестиугольные соты, и определить, что именно и в каком количестве они «экономят».

Задачи:

· Образовательные: повторить формулы площади и периметра правильных многоугольников; отработать навык сравнения величин и вычисления процентов; познакомить с понятием «оптимизационная задача».

· Развивающие: развивать умение выдвигать гипотезу, проводить сравнение, обобщать и делать выводы; совершенствовать вычислительную культуру; формировать навыки работы в группе.

· Воспитательные: формировать экологическое мышление и интерес к живой природе; показать красоту математических закономерностей в окружающем мире.

Планируемые результаты (метапредметные):

· познавательные: устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, создавать обобщения;

· регулятивные: планировать собственную деятельность, оценивать результат;

· коммуникативные: работать в группе, аргументировать свою позицию.

3. Оборудование и материалы

· Компьютер, проектор (для показа слайдов или короткого видеосюжета о пчёлах);

· Раздаточные карточки с заданиями (по числу групп);

· Модели правильных многоугольников (треугольник, квадрат, шестиугольник), вырезанные из бумаги, для визуализации плотного заполнения плоскости;

· Калькуляторы (по возможности);

· Листы самооценки.

4. Ход занятия

Этап 1. Организационный и мотивационный (5 мин)

Педагог приветствует учащихся. На экране — изображение пчелиных сот (фрагмент улья). Вопрос группе: «Что вы видите? Какая геометрическая фигура лежит в основе каждой ячейки?» Учащиеся отвечают: правильный шестиугольник.

Проблемный вопрос: «Пчёлы — не математики. Почему же природа “выбрала” именно шестиугольник, а не треугольник или квадрат, которые проще построить? И что вообще можно “сэкономить”, строя соты?»

Педагог подводит к формулировке темы: «Что и как экономят пчёлы». Вместе с учащимися выясняется, что пчела тратит на постройку ячейки воск (ценный и трудоёмкий в производстве материал), а ячейка нужна для хранения мёда. Значит, экономия — это минимум воска при максимуме мёста для мёда.

Этап 2. Актуализация знаний (7 мин)

Фронтальная беседа:

1. Какие правильные многоугольники могут плотно, без зазоров, покрыть плоскость? (Правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник.) Почему? (Сумма углов, сходящихся в одной вершине, должна равняться 360°.)

2. Почему круг — «идеальная» по периметру фигура, но не подходит для сот? (Круги не прилегают плотно, между ними остаются пустоты, которые пришлось бы заполнять воском.)

3. Вспомним формулы: площадь правильного треугольника, квадрата, правильного шестиугольника; периметр.

На доске или слайде фиксируются формулы:

Этап 3. Исследовательская работа в группах (20–23 мин)

Класс делится на группы по 3–4 человека. Каждая группа получает карточку с заданием. Карточки дифференцированы по уровню сложности: группы, успешно справившиеся с базовым заданием, переходят к следующему уровню или получают дополнительную задачу.

Важно: педагог выступает консультантом, помогает с вычислениями, но не даёт готовых выводов.

После выполнения заданий представители групп кратко представляют результаты. Педагог фиксирует на доске ключевые числа и общий вывод.

Этап 4. Обобщение и вывод (5–7 мин)

Совместно формулируется вывод:

· Из трёх правильных многоугольников, которыми можно заполнить плоскость без просветов, правильный шестиугольник при одинаковой площади имеет наименьший периметр (или: при одинаковом периметре — наибольшую площадь).

· Это означает, что, строя шестиугольные ячейки, пчёлы экономят воск (периметр — это и есть «стенки» ячейки, на которые уходит воск) и одновременно получают максимальную площадь для хранения мёда.

· Экономия по сравнению с квадратными сотами составляет около 12–13%, а по сравнению с треугольными — около 33%.

· Дополнительно пчёлы «экономят» и за счёт ромбического дна ячейки: углы ромбов близки к 109 ⁰ 28 ^, и 70 ⁰32', что также минимизирует расход воска.

Педагог подчёркивает: пчёлы «решают» задачу оптимизации, не зная математики, — но человек, изучая природу, может описать и объяснить это решение математическим языком.

Этап 5. Рефлексия (3–5 мин)

Учащимся предлагается заполнить лист самооценки (или ответить устно на вопросы):

· Что нового я узнал(а) на занятии?

· Какая математическая идея помогла объяснить «выбор» пчёл?

· Что было самым трудным? Что осталось непонятным?

· Где ещё в природе или технике встречаются задачи оптимизации?

Домашнее задание (по желанию, творческое): подготовить мини-сообщение (5–7 предложений) о том, где человек заимствует у природы «оптимальные» формы (например, в строительстве, транспорте, упаковке).

5. Карточки для учащихся

Карточка А. «Сравниваем периметры» (базовый уровень)

Задача. Перед вами три правильных многоугольника с одинаковой площадью S = 16м ²: правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Какой из них имеет наименьший периметр? Сделайте вывод о том, какой форме ячейки следует отдать предпочтение, если важно экономить воск (периметр).

Ход работы:

1. Для правильного треугольника выразите сторону a_3 через площадь и найдите периметр P_3 = 3a_3. Используйте формулу S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

2. Для квадрата найдите сторону a_4 = \sqrt{S} и периметр P_4 = 4a_4.

3. Для правильного шестиугольника выразите сторону a_6 через площадь, используя S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}, и найдите P_6 = 6a_6.

4. Сравните полученные периметры. Заполните таблицу:

Многоугольник Сторона, см Периметр, см

Правильный треугольник

Квадрат

Правильный шестиугольник

Вопрос для вывода: при какой форме ячейки на «стенки» уйдёт меньше всего воска, если площадь «пола» одинакова?

---

Карточка Б. «Сравниваем площади» (основной уровень)

Задача. Сторона реальной пчелиной ячейки среднерусской пчелы составляет в среднем 2{,}75 \text{ мм}. Сравните, какую площадь (а значит, и объём при одинаковой глубине) даёт шестиугольная ячейка с такой стороной и ячейки в форме квадрата и правильного треугольника, если на их стенки расходуется одинаковое количество воска, то есть периметры всех трёх фигур равны.

Ход работы:

1. Найдите периметр правильного шестиугольника со стороной 2{,}75 \text{ мм}: P = 6a.

2. Зная, что периметры всех трёх фигур одинаковы, найдите сторону квадрата и сторону правильного треугольника.

3. Вычислите площади:

· шестиугольника: S_6 = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2};

· квадрата: S_4 = a^2;

· треугольника: S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

4. Приняв площадь шестиугольника за 100%, найдите, на сколько процентов площадь квадрата и площадь треугольника меньше площади шестиугольника. Используйте пропорцию.

Дополнительный вопрос: как полученные проценты связаны с экономией воска? Сформулируйте ответ одним предложением.

---

Карточка В. «Задача о ромбическом дне» (продвинутый уровень)

Задача. Дно пчелиной ячейки — не плоское: оно состоит из трёх ромбов. Углы ромбов в идеальной ячейке равны 109^\circ28' и 70^\circ32'.

Задания:

1. Переведите углы в градусную меру с десятичной дробью (округлите до сотых).

2. Проверьте, что сумма острого и тупого углов ромба равна 180^\circ. Объясните, почему это должно выполняться для любого ромба.

3. Исследовательский вопрос (для обсуждения в группе): как вы думаете, почему именно такой угол (близкий к 109{,}5^\circ) оказывается выгодным с точки зрения экономии воска? (Подсказка: речь идёт о минимизации поверхности при заданном объёме.)

---

Карточка Г. «Проценты в пчелиной семье» (дополнительная, на смекалку)

Задача. Известно, что на производство 1 \text{ кг} воска пчелиная семья тратит от 5 до 10 \text{ кг} мёда (в зависимости от условий). Предположим, что при переходе с квадратных сот на шестиугольные экономия воска составляет 12{,}9\%.

1. Сколько воска (в кг) удастся сэкономить, если для постройки сот требуется 2 \text{ кг} воска, а соты делаются шестиугольными вместо квадратных?

2. Сколько мёда (в кг) сэкономит семья за счёт этой экономии воска, если принять, что на 1 \text{ кг} воска расходуется 8 \text{ кг} мёда?

3. Вопрос на обсуждение: можно ли считать, что пчёлы «экономят» не только воск, но и мёд, и время? Обоснуйте ответ.

---

6. Отзыв методиста

Экспертное заключение на занятие «Что и как экономят пчёлы»

Занятие соответствует целям и задачам программы объединения «Математика вокруг нас» и возрастным особенностям учащихся 9 класса. Выбранная форма урока-исследования позволяет не просто сообщить готовый факт о «математических способностях» пчёл, а вывести его вместе с учащимися через вычислительный эксперимент. Это сильная сторона разработки: девятиклассники выступают в роли исследователей, а не пассивных слушателей.

Содержательно занятие опирается на знакомый учащимся материал (правильные многоугольники, площадь, периметр, проценты), но переводит его на новый уровень — уровень метапредметного обобщения. Сравнение периметров при равной площади и площадей при равном периметре — классическая оптимизационная постановка, которая в данном случае «упакована» в яркий природный контекст. Это способствует формированию познавательных универсальных учебных действий: анализа, сравнения, установления причинно-следственных связей.

Дифференциация заданий на карточках (от базового сравнения периметров до задачи о ромбическом дне и процентных расчётов) позволяет включить в работу группы с разным уровнем подготовки. Карточка Г удачно связывает геометрию с реальными «пчелиными» затратами и выводит на обсуждение экономии мёда и времени, что усиливает практическую направленность.

Заслуживает поддержки и воспитательный акцент: занятие формирует бережное, исследовательское отношение к природе, показывает, что математика — это язык, на котором можно описать «мудрость» живой системы.

Рекомендации:

1. При дефиците времени карточку В можно предложить в качестве домашнего или дополнительного задания, а карточку Г — использовать как «задачу на смекалку» для заинтересованных учащихся.

2. Целесообразно заранее подготовить бумажные модели треугольной, квадратной и шестиугольной ячеек, чтобы на этапе актуализации учащиеся могли визуально убедиться в отсутствии просветов при замощении плоскости.

3. На этапе рефлексии стоит отдельно обсудить с учащимися границы применимости модели: реальная пчелиная ячейка — не идеальная призма, а дно имеет ромбическую форму, поэтому «экономия» — это математическая идеализация, что важно для формирования критического мышления.