kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Барицентрический метод решения геометрических задач

Нажмите, чтобы узнать подробности

Искусство применения барицентрического метода заключается в том, чтобы осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при которых задача легко и красиво решается. Таким образом, выдвинутая нами гипотеза подтвердилась. Барицентрический метод действительно облегчает решение, казалось бы, неразрешимых геометрических задач.

Просмотр содержимого документа
«Барицентрический метод решения геометрических задач»





Барицентрический метод решения
геометрических задач

Выполнила: Машко Н.И.
учитель математики,
высшая квалификационная категория

г. Артем
2017 год

Содержание:

Пояснительная записка 3

Введение понятия центра масс 3

Решение задач методом масс 7

Подведём итог 11

Заключение 12

Литература 13

Приложение 14

Подборка задач из ОГЭ и ЕГЭ, решаемых с помощью метода масс ………..14





Пояснительная записка


Решая геометрические задачи, думаем, все, однажды задавались вопросом, нельзя ли одну и ту же задачу решить разными способами. В математической литературе можно встретить интересный метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или барицентра. Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э., он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ее способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии, и мы тоже докажем эту теорему, используя барицентрический метод. Кроме того, интересна возможность применения этого метода к решению задач. Актуальность:

знание разных методов решения задач необходимо, а барицентрический метод как раз таковым и является. Предмет исследования: барицентрический метод, задачи и теоремы, к которым можно применить этот метод, центроиды различных моделей треугольников. Гипотеза:

метод позволяет более рационально решать олимпиадные и экзаменационные задачи. Цель работы:

исследовать возможность применения барицентрического метода при решении геометрических задач.

Задачи:

  1. Изучение основных теорем и принципов использования метода масс.

  2. Изучение центроидов треугольника.

  3. Применение полученных результатов для решения задач разного уровня сложности.

Введение понятия центра масс

Понятие о центре тяжести впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические геометром задачи. Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые понятия и определения.

Под материальной точкой понимают точку, снабженную массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжелого шарика, размерами которого можно пренебречь. Если в точке A помещена масса m, то образующую материальную точку будем обозначать так: mA. Массу m иногда называют «нагрузкой точки A». Заметим, что в математических приложениях число m можно считать не только положительным (как в механическом понимании массы), но и отрицательным.

Чтобы получить физическую картину понятия центра масс, рассмотрим два небольших шарика с массой m1 и m2, соединенных жестким «невесомым стержнем». На этом стрежне имеется такая замечательная точка О, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии. Эта точка О и есть центр масс или барицентр двух рассматриваемых материальных точек с массами m1 и m2. Та же картина наблюдается и для большего числа материальных точек.

Рассмотрим в пространстве несколько очень маленьких шариков, имеющих какие-то массы, и соединим их друг с другом жесткими, но практически невесомыми стержнями. Эту конструкцию будем называть системой материальных точек. Из физики известно, что для любой такой системы найдется точка Z пространства, обладающая одним поразительным свойством. А именно: если мы расположим всю систему произвольным образом в пространстве, а затем подвесим ее за нитку в точке Z, то вся система останется в равновесии. Эту точку называют центром масс (или центром тяжести) системы материальных точек, (или барицентром) системы материальных точек.

При применении этого понятия к решению задач используются следующие свойства центра масс.

  1. Существование и единственность

Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.

  1. Правило рычага

Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется правилом архимедова рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1d1=m22, где m1 и m2 – массы материальных точек, а d1, 2 – соответствующие плечи.

  1. Однородность

Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

  1. Правило группировки

Если систему материальных точек с центром масс в точке Z разбить на несколько непересекающихся подсистем, нагрузить центр масс каждой подсистемы суммарной массой соответствующей подсистемы, а затем рассмотреть систему из образования, таким образом, материальных точек, то центр масс этой подсистемы совпадет с точкой Z.

Чтобы выяснить, как может выглядеть математическое определение центра масс (или барицентра), проведем предварительное эвристическое рассмотрение.

Даны две материальные точки m1A1 и m2A2, и пусть т. Z –их центр масс. Равенство m1d1=m22 можно записать в виде m1ZA1 = m2ZA2. Учитывая, что векторы 1 и 2 имеют противоположное направление, получаем отсюда m1ZA1 = - m2ZA2, т.е

m11 + m22 = 0. (1)

Пусть теперь даны три материальные точки m1A1, m2A2 и m3A3, то свойства (1–3) будут выполняться, если

(m1+m2) + m33 = 0, где С – центр масс материальных точек m1A1, m2A2.

(m1+m2) = m1 + m2 = m1(1 - 1) + m2(2 - 2) = m11 – m11 + m22 – m22 = m11 + m22 – (m11 + m22) = m11 + m22.

Тогда m11 + m22 + m33 = 0. (2)

Итак, в соответствии с приведенным эвристическим разбором можно дать следующее определение:

Центром масс (или барицентром) системы материальных точек

m1A1, m2A2,…, mnAn

называется точка Z, для которой имеет место равенство

m11 + m22 + … + mnn = 0. (3)

Теперь можно рассмотреть предложенное Архимедом доказательство теоремы о медианах треугольника. На этом примере видно, насколько мощное средство для решения и доказательства задач представляют собой свойства центра масс.

Три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: АВС, AA’, BB’, CC’ – медианы

Доказать: т. О – точка пересечения медиан

= = = .

Решение.

Загрузим вершины А, В и С равными массами. Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В и 1С имеет однозначно определенный центр масс О. Положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1С мы перенесем в их центр масс, т.е. в точку А’. Тогда O окажется центром масс лишь двух материальных точек 2A’ и 1А. Значит O AA’. Аналогично убедимся, что O ВВ’ и O СС’. Таким образом, все три медианы имеют общую точку O. И тогда, по правилу рычага 2= 1, т.е. = .

Найдём центроиды граней АВС и ВСД. Каждая из этих точек будет загружена массами, равными 3. Найдём центр масс медиан тетраэдра. Каждая медиана будет делиться в отношении 3/1, начиная от вершины.

Так как любая система материальных точек имеет единственный центр масс, то делаем вывод, что медианы тетраэдра пересекаются в одной, общей точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим опять тетраэдр DABC



По правилу рычага и группировки, центр масс отрезка АВ находится в точке Е с суммарной массой 2.Аналогично для отрезков ВС и АС найдём их центры масс они также будут загружены массами, равными 2. Центры масс отрезков ДА, ДВ и ДС также будут находиться в серединах этих рёбер и загрузятся суммарными массами, равными 2. Значит центр масс всей системы (центроид тетраэдра) лежит в середине отрезка, соединяющего середины противоположных ребер тетраэдра. Такие отрезки называются бимедианами тетраэдра.

Мы доказали еще одну теорему: Бимедианы тетраэдра проходят через его центроид, причем делятся им пополам.

В данном случае, геометрия масс не только помогла эту теорему доказать, но, что гораздо более существенно, помогла нам ее увидеть, то есть обнаружить и сформулировать.

Решение задач методом масс

Рассмотрим задачу.

Задача 1. Пусть дан треугольник АВС. ВМ – медиана, АN делит сторону ВС в отношении 1/ 2 от вершины В. АN пересекает ВМ в точке О. Найти отношение ВО/ОМ. (Или в каком отношении точка О делит отрезок ВМ?)



Решение:

Решим эту задачу с помощью барицентрического метода. Мы сами можем выбирать какими массами загрузить точки А, В И С. Выберем эти массы так, чтобы центром масс треугольника АВС была именно точка О, которая находится на пересечении отрезков ВМ и АN. Как это сделать? Эта задача аналогична задаче о медианах. Мы сначала докажем, что при расставленных нами массах центр масс будет лежать на отрезке АN, затем докажем, что он же будет лежать и на отрезке ВМ. Если некоторая точка лежит на двух отрезках сразу, то она является их точкой пересечения. После этого мы и найдём искомое отношение.

Как же поставить массы в точки А, В и С? С одной стороны нам надо, чтобы центр масс лежал на отрезке АN, для этого нам нужно поставить такие массы в точки В и С, чтобы точка N была центром масс отрезка ВС. Но, так как мы знаем, что N делит отрезок в отношении ½ от вершины В (по условию), то массы должны быть обратно пропорциональны, то есть относиться как 2/1, причём в точке В должна быть большая масса, так как ВN – это меньшее расстояние. Итак, поставим в точку В массу 2, а в точку С массу 1.

Тогда, чтобы у точек А и С центром масс была точка М, а нам нужно, чтобы центр масс треугольника лежал также и на отрезке ВМ, нам необходимо, чтобы А и С были с одинаковыми массами, (так как ВМ по условию медиана и тогда АМ = МС). Но в точке С уже расположена масса 1, тогда и в точке А должна быть тоже масса 1. Итак, массы расставлены:

1—А,

1—С, 2—В.



Заметим, что центром масс точек В и С будет точка N с массой 3, следовательно центр масс треугольника лежит на отрезке АN. С другой стороны, если центром масс точек А и С является точка М с массой 2, и центр масс всего треугольника лежит на отрезке ВМ. А раз он лежит на ВМ и на АN, то центр масс лежит в точке пересечения отрезков ВМ и АN.

То есть точка О является центром масс треугольника АВС.

Итак, точка О лежит на отрезке ВМ и в точке В—2 в точке М—2, а если массы одинаковы, то центр масс делит отрезок пополам, то есть ВО = ОМ, то есть ВО/ОМ = 1/1.

Ответ: ВО/ ОМ = 1/1.

Задача 2. В треугольнике АВС проведена медиана АМ, точка Р её середина. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке Е. Найдите, в каком отношении точка Е делит АС.



Решение

Загрузим точку В массой 1, но АМ – медиана, тогда СМ=МВ и следовательно mB=mC=1. Переместим массы из точек В и С в центр масс отрезка ВС точку М. Тогда mM=2. Так как mM=2, а Р по условию середина, то mA=mB=2. Рассмотрим сторону АС:mA=2, mC=1, тогда mA/mC=2/1. Поэтому АЕ/ЕС=1/2.



Ответ: Е делит отрезок АС в отношении 1 к 2, начиная от вершины А.

Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка М, так что АМ = АС, а на продолжении стороны СВ т. N, так что BN = CB. MN пересекает АВ в точке P. В каком отношении делит эта точка сторону АВ и отрезок NM?

Ответ NP:PM = 3:1, AP:PB=1:1.

Применим теперь метод масс не к треугольнику, а к четырёхугольнику, и попробуем решить соответствующую задачу.



Задача 4. Площадь параллелограмма ABCD равна 1 м2. Точка М делит сторону ВС в отношении 3:5 (считая от т. В). Прямые АМ и DB пересекаются в точке P. Вычислите площадь четырехугольника CMPD.

BPM DPA h1:h2 = AP: PM

AP:PM = 8:3; h2 = h;

= м2; = AD*h

= AD*h = *AD*h = м2;

= 1 - - = м2.

Задача 5. На сторонах треугольника АВС взяты такие точки A’, B’, C’, что = , = , = . При пересечении отрезков AA’, BB’, CC’ образовался треугольник А””є. Найдите, в каком отношении делятся отрезки AA’, BB’, CC’ точками А”, В”, С”.

Так как, 3AC = AB, то 2BA’ = 1A’C 2B; 1C; 3A’

AC’:C’B = 1:2 4A; 6C’

AB’:B’C = 2:1 8C; 12B

Тогда: = ; = ; = ; = .

Рассматривая решения этих задач, можно убедиться, что метод с использованием центра масс позволяет решить задачи, которые ранее казались неразрешимыми.

Задача 6. В основании четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S лежит параллелограмм. Точки P, Q, R расположены на ребрах AS, BS,CS соответственно, причем AP:SP=1:1, BQ:SQ=1:2, CR:SR=2:1. Известно, что плоскость, проходящая через точки P, Q, R пересекает ребро SD в точке T. Найдите DT :ST.



S



1



2








Решение:

PQRT - сечение пирамиды плоскостью (RQP).

  1. Рассмотрим треугольник ASC. OZ:SZ=3:2

  2. Рассмотрим треугольник DSB так, чтобы центр масс попал снова в Z. DT:ST=х:1;

По правилу рычага (+х)∙SZ = 2∙OZ, = =, х=5/2

Ответ: DT:ST=5:2.



Подведём итог

Где же применяется центр масс в геометрии? Если в задаче нужно найти некоторое отношение, то эту задачу часто можно решить с помощью центра масс. Для этого мы расставляем массы в вершинах нашей фигуры. Это может быть треугольник или четырёхугольник, причём массы мы можем расставить любые, но сделать это нужно так, чтобы центром масс была какая-то данная в условии задачи точка. Обычно такой точкой является точка пересечения каких-либо отрезков внутри фигуры. А дальше с помощью центра масс мы находим нужное нам отношение.

Заключение

Мы рассмотрели оригинальный способ доказательства теоремы, о пересечении медиан треугольника, основанный на применении свойств центра масс системы материальных точек. Были рассмотрены готовые решения задач, которые позволили более глубоко понять материал. Так же в работе приведены задачи, решенные нами самостоятельно, что свидетельствует об усвоении полученных знаний и приобретении умения применять их на практике при решении задач из ОГЭ под номером 24-26 и задач из ЕГЭ под номером 14, 16.

Сущность барицентрического подхода состоит в том, что наше внимание концентрируется на определенных точках – центрах масс систем материальных точек, связанных с рассматриваемой геометрической задачей. Искусство применения барицентрического метода заключается в том, чтобы осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при которых задача легко и красиво решается. Таким образом, выдвинутая нами гипотеза подтвердилась. Барицентрический метод действительно облегчает решение, казалось бы, неразрешимых геометрических задач.



Литература
  1. Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: ВИТА-Пресс, 2000, -205с.

  2. А. Д. Александров, А. Л.Вернер, В, И. Рыжик. Геометрия для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение,1989.

  3. М.И.Мельникова Центр масс, методическое пособие, Иркутск 2005.

  4. М.Б. Балк. Геометрические приложения понятия о центре тяжести. – М.: Физматлит, 1959.

  5. В.В.Прасолов Задачи по планиметрии. Ч. II. – М.: Наука, 2006.

  6. В.А. Шеховцов. Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы: решение олимпиадных задач повышенной сложности. – Волгоград: Учитель, 2009.







Приложение

Для сравнения здесь приведена задача 3, которая решается традиционным способом.

Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка М, так что АМ = АС, а на продолжении стороны СВ т. N, так что BN = CB. MN пересекает АВ в точке P. В каком отношении делит эта точка сторону АВ и отрезок NM?

Решение:

Пусть AM =х, MB=2х. Треугольники АВС и MKB подобны. Коэффициент подобия равен. Значит = , т.е. MK=AC. Треугольники MNK и PNC подобны. Коэффициент подобия равен . MK =PC. Значит, AC =PC, 2AC=4PC, =. Итак, AP: PC=1:1.

=. Следовательно, =.

Ответ: NP:PM=3:1, AP:PC=1:1.

Подборка задач из ОГЭ и ЕГЭ, решаемых с помощью метода масс

Задача 1. (ОГЭ 2016)

Площадь треугольника ABC равна 120, точка D лежит на отрезке BC так, что BD:CD = 1: 2, биссектриса BK пересекает прямую AD в точке L. Найдите площадь четырехугольника KLDC, если AK:KC = 3:1.

Задача 2. (ОГЭ 2012).

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне BC так, что BK:KC =1:2, биссектриса CM пересекается с прямой AK в точке L, при этом AM:MB=1:4. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника MBKL равна 52.

Задача 3.(ОГЭ 2016)

В параллелограмме ABCD отмечена точка M-середина отрезка BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке K. Докажите, что BK:BD=1:3.

Задача 4.(ОГЭ 2016)

Точка A1 симметрична вершине A треугольника ABC относительно середины стороны BC, точка B1 симметрична вершине B относительно середины стороны AC. Докажите, что точки A1, B1 и C лежат на одной прямой.

Задача 5. (ОГЭ 2016)

Площадь треугольника ABC равна 40, биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD = 3:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Задача 6. (ОГЭ 2015)

Биссектриса угла B треугольника ABC делит медиану, проведенную из вершины C, в отношении 7:2, считая от вершины C. В каком отношении, считая от вершины A, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины A?

Задача 7. (ЕГЭ 2017 задача №14)

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит апо­фе­му грани ASB в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Барицентрический метод решения геометрических задач

Автор: Машко Наталья Ивановна

Дата: 15.06.2018

Номер свидетельства: 473351

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(120) "Барицентрический метод решения геометрических задач (центр масс)"
    ["seo_title"] => string(80) "baritsientrichieskii_mietod_rieshieniia_ghieomietrichieskikh_zadach_tsientr_mass"
    ["file_id"] => string(6) "473352"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1529026943"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства