Барицентрический метод решения геометрических задач

Барицентрический метод решения
геометрических задач

Выполнила: Машко Н.И.
учитель математики,
высшая квалификационная категория

г. Артем
2017 год

Содержание:

Пояснительная записка 3

Введение понятия центра масс 3

Решение задач методом масс 7

Подведём итог 11

Заключение 12

Литература 13

Приложение 14

Подборка задач из ОГЭ и ЕГЭ, решаемых с помощью метода масс ………..14

Пояснительная записка

Решая геометрические задачи, думаем, все, однажды задавались вопросом, нельзя ли одну и ту же задачу решить разными способами. В математической литературе можно встретить интересный метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или барицентра. Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э., он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ее способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии, и мы тоже докажем эту теорему, используя барицентрический метод. Кроме того, интересна возможность применения этого метода к решению задач. Актуальность:

знание разных методов решения задач необходимо, а барицентрический метод как раз таковым и является. Предмет исследования: барицентрический метод, задачи и теоремы, к которым можно применить этот метод, центроиды различных моделей треугольников. Гипотеза:

метод позволяет более рационально решать олимпиадные и экзаменационные задачи. Цель работы:

исследовать возможность применения барицентрического метода при решении геометрических задач.

Задачи:

1. Изучение основных теорем и принципов использования метода масс.

2. Изучение центроидов треугольника.

3. Применение полученных результатов для решения задач разного уровня сложности.

Введение понятия центра масс

Понятие о центре тяжести впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические геометром задачи. Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые понятия и определения.

Под материальной точкой понимают точку, снабженную массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжелого шарика, размерами которого можно пренебречь. Если в точке A помещена масса m, то образующую материальную точку будем обозначать так: mA. Массу m иногда называют «нагрузкой точки A». Заметим, что в математических приложениях число m можно считать не только положительным (как в механическом понимании массы), но и отрицательным.

Чтобы получить физическую картину понятия центра масс, рассмотрим два небольших шарика с массой m₁ и m₂, соединенных жестким «невесомым стержнем». На этом стрежне имеется такая замечательная точка О, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии. Эта точка О и есть центр масс или барицентр двух рассматриваемых материальных точек с массами m₁ и m₂. Та же картина наблюдается и для большего числа материальных точек.

Рассмотрим в пространстве несколько очень маленьких шариков, имеющих какие-то массы, и соединим их друг с другом жесткими, но практически невесомыми стержнями. Эту конструкцию будем называть системой материальных точек. Из физики известно, что для любой такой системы найдется точка Z пространства, обладающая одним поразительным свойством. А именно: если мы расположим всю систему произвольным образом в пространстве, а затем подвесим ее за нитку в точке Z, то вся система останется в равновесии. Эту точку называют центром масс (или центром тяжести) системы материальных точек, (или барицентром) системы материальных точек.

При применении этого понятия к решению задач используются следующие свойства центра масс.

1. Существование и единственность

Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.

1. Правило рычага

Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется правилом архимедова рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m₁d₁=m₂d­₂, где m₁ и m₂ – массы материальных точек, а d_1, d­₂ – соответствующие плечи.

1. Однородность

Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

1. Правило группировки

Если систему материальных точек с центром масс в точке Z разбить на несколько непересекающихся подсистем, нагрузить центр масс каждой подсистемы суммарной массой соответствующей подсистемы, а затем рассмотреть систему из образования, таким образом, материальных точек, то центр масс этой подсистемы совпадет с точкой Z.

Чтобы выяснить, как может выглядеть математическое определение центра масс (или барицентра), проведем предварительное эвристическое рассмотрение.

Даны две материальные точки m₁A₁ и m₂A₂, и пусть т. Z –их центр масс. Равенство m₁d₁=m₂d­₂ можно записать в виде m₁ZA₁ = m₂ZA₂. Учитывая, что векторы ₁ и ₂ имеют противоположное направление, получаем отсюда m₁ZA₁ = - m₂ZA₂, т.е

m₁₁ + m₂₂ = 0. (1)

Пусть теперь даны три материальные точки m₁A₁, m₂A₂ и m₃A₃, то свойства (1–3) будут выполняться, если

(m₁+m₂) + m₃₃ = 0, где С – центр масс материальных точек m₁A₁, m₂A₂.

(m₁+m₂) = m₁ + m₂ = m₁(₁ - ₁) + m₂(₂ - ₂) = m₁₁ – m₁₁ + m₂₂ – m₂₂ = m₁₁ + m₂₂ – (m₁₁ + m₂₂) = m₁₁ + m₂₂.

Тогда m₁₁ + m₂₂ + m₃₃ = 0. (2)

Итак, в соответствии с приведенным эвристическим разбором можно дать следующее определение:

Центром масс (или барицентром) системы материальных точек

m₁A₁, m₂A₂,…, m_nA_n

называется точка Z, для которой имеет место равенство

m₁₁ + m₂₂ + … + m_nn = 0. (3)

Теперь можно рассмотреть предложенное Архимедом доказательство теоремы о медианах треугольника. На этом примере видно, насколько мощное средство для решения и доказательства задач представляют собой свойства центра масс.

Три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: АВС, AA’, BB’, CC’ – медианы

Доказать: т. О – точка пересечения медиан

= = = .

Решение.

Загрузим вершины А, В и С равными массами. Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В и 1С имеет однозначно определенный центр масс О. Положение центра масс не изменится, если массы материальных точек 1В и 1С мы перенесем в их центр масс, т.е. в точку А’. Тогда O окажется центром масс лишь двух материальных точек 2A’ и 1А. Значит O AA’. Аналогично убедимся, что O ВВ’ и O СС’. Таким образом, все три медианы имеют общую точку O. И тогда, по правилу рычага 2= 1, т.е. = .

Найдём центроиды граней АВС и ВСД. Каждая из этих точек будет загружена массами, равными 3. Найдём центр масс медиан тетраэдра. Каждая медиана будет делиться в отношении 3/1, начиная от вершины.

Так как любая система материальных точек имеет единственный центр масс, то делаем вывод, что медианы тетраэдра пересекаются в одной, общей точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим опять тетраэдр DABC

По правилу рычага и группировки, центр масс отрезка АВ находится в точке Е с суммарной массой 2.Аналогично для отрезков ВС и АС найдём их центры масс они также будут загружены массами, равными 2. Центры масс отрезков ДА, ДВ и ДС также будут находиться в серединах этих рёбер и загрузятся суммарными массами, равными 2. Значит центр масс всей системы (центроид тетраэдра) лежит в середине отрезка, соединяющего середины противоположных ребер тетраэдра. Такие отрезки называются бимедианами тетраэдра.

Мы доказали еще одну теорему: Бимедианы тетраэдра проходят через его центроид, причем делятся им пополам.

В данном случае, геометрия масс не только помогла эту теорему доказать, но, что гораздо более существенно, помогла нам ее увидеть, то есть обнаружить и сформулировать.

Решение задач методом масс

Рассмотрим задачу.

Задача 1. Пусть дан треугольник АВС. ВМ – медиана, АN делит сторону ВС в отношении 1/ 2 от вершины В. АN пересекает ВМ в точке О. Найти отношение ВО/ОМ. (Или в каком отношении точка О делит отрезок ВМ?)

Решение:

Решим эту задачу с помощью барицентрического метода. Мы сами можем выбирать какими массами загрузить точки А, В И С. Выберем эти массы так, чтобы центром масс треугольника АВС была именно точка О, которая находится на пересечении отрезков ВМ и АN. Как это сделать? Эта задача аналогична задаче о медианах. Мы сначала докажем, что при расставленных нами массах центр масс будет лежать на отрезке АN, затем докажем, что он же будет лежать и на отрезке ВМ. Если некоторая точка лежит на двух отрезках сразу, то она является их точкой пересечения. После этого мы и найдём искомое отношение.

Как же поставить массы в точки А, В и С? С одной стороны нам надо, чтобы центр масс лежал на отрезке АN, для этого нам нужно поставить такие массы в точки В и С, чтобы точка N была центром масс отрезка ВС. Но, так как мы знаем, что N делит отрезок в отношении ½ от вершины В (по условию), то массы должны быть обратно пропорциональны, то есть относиться как 2/1, причём в точке В должна быть большая масса, так как ВN – это меньшее расстояние. Итак, поставим в точку В массу 2, а в точку С массу 1.

Тогда, чтобы у точек А и С центром масс была точка М, а нам нужно, чтобы центр масс треугольника лежал также и на отрезке ВМ, нам необходимо, чтобы А и С были с одинаковыми массами, (так как ВМ по условию медиана и тогда АМ = МС). Но в точке С уже расположена масса 1, тогда и в точке А должна быть тоже масса 1. Итак, массы расставлены:

1—А,

1—С, 2—В.

Заметим, что центром масс точек В и С будет точка N с массой 3, следовательно центр масс треугольника лежит на отрезке АN. С другой стороны, если центром масс точек А и С является точка М с массой 2, и центр масс всего треугольника лежит на отрезке ВМ. А раз он лежит на ВМ и на АN, то центр масс лежит в точке пересечения отрезков ВМ и АN.

То есть точка О является центром масс треугольника АВС.

Итак, точка О лежит на отрезке ВМ и в точке В—2 в точке М—2, а если массы одинаковы, то центр масс делит отрезок пополам, то есть ВО = ОМ, то есть ВО/ОМ = 1/1.

Ответ: ВО/ ОМ = 1/1.

Задача 2. В треугольнике АВС проведена медиана АМ, точка Р её середина. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке Е. Найдите, в каком отношении точка Е делит АС.

Решение

Загрузим точку В массой 1, но АМ – медиана, тогда СМ=МВ и следовательно mB=mC=1. Переместим массы из точек В и С в центр масс отрезка ВС точку М. Тогда mM=2. Так как mM=2, а Р по условию середина, то mA=mB=2. Рассмотрим сторону АС:mA=2, mC=1, тогда mA/mC=2/1. Поэтому АЕ/ЕС=1/2.

Ответ: Е делит отрезок АС в отношении 1 к 2, начиная от вершины А.

Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка М, так что АМ = АС, а на продолжении стороны СВ т. N, так что BN = CB. MN пересекает АВ в точке P. В каком отношении делит эта точка сторону АВ и отрезок NM?

Ответ NP:PM = 3:1, AP:PB=1:1.

Применим теперь метод масс не к треугольнику, а к четырёхугольнику, и попробуем решить соответствующую задачу.

Задача 4. Площадь параллелограмма ABCD равна 1 м². Точка М делит сторону ВС в отношении 3:5 (считая от т. В). Прямые АМ и DB пересекаются в точке P. Вычислите площадь четырехугольника CMPD.

BPM DPA h₁:h₂ = AP: PM

AP:PM = 8:3; h₂ = h;

= м²; = AD*h

= AD*h = *AD*h = м²;

= 1 - - = м².

Задача 5. На сторонах треугольника АВС взяты такие точки A’, B’, C’, что = , = , = . При пересечении отрезков AA’, BB’, CC’ образовался треугольник А””є. Найдите, в каком отношении делятся отрезки AA’, BB’, CC’ точками А”, В”, С”.

Так как, 3AC = AB, то 2BA’ = 1A’C 2B; 1C; 3A’

AC’:C’B = 1:2 4A; 6C’

AB’:B’C = 2:1 8C; 12B

Тогда: = ; = ; = ; = .

Рассматривая решения этих задач, можно убедиться, что метод с использованием центра масс позволяет решить задачи, которые ранее казались неразрешимыми.

Задача 6. В основании четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S лежит параллелограмм. Точки P, Q, R расположены на ребрах AS, BS,CS соответственно, причем AP:SP=1:1, BQ:SQ=1:2, CR:SR=2:1. Известно, что плоскость, проходящая через точки P, Q, R пересекает ребро SD в точке T. Найдите DT :ST.

S

1

2

Решение:

PQRT - сечение пирамиды плоскостью (RQP).

1. Рассмотрим треугольник ASC. OZ:SZ=3:2

2. Рассмотрим треугольник DSB так, чтобы центр масс попал снова в Z. DT:ST=х:1;

По правилу рычага (+х)∙SZ = 2∙OZ, = =, х=5/2

Ответ: DT:ST=5:2.

Подведём итог

Где же применяется центр масс в геометрии? Если в задаче нужно найти некоторое отношение, то эту задачу часто можно решить с помощью центра масс. Для этого мы расставляем массы в вершинах нашей фигуры. Это может быть треугольник или четырёхугольник, причём массы мы можем расставить любые, но сделать это нужно так, чтобы центром масс была какая-то данная в условии задачи точка. Обычно такой точкой является точка пересечения каких-либо отрезков внутри фигуры. А дальше с помощью центра масс мы находим нужное нам отношение.

Заключение

Мы рассмотрели оригинальный способ доказательства теоремы, о пересечении медиан треугольника, основанный на применении свойств центра масс системы материальных точек. Были рассмотрены готовые решения задач, которые позволили более глубоко понять материал. Так же в работе приведены задачи, решенные нами самостоятельно, что свидетельствует об усвоении полученных знаний и приобретении умения применять их на практике при решении задач из ОГЭ под номером 24-26 и задач из ЕГЭ под номером 14, 16.

Сущность барицентрического подхода состоит в том, что наше внимание концентрируется на определенных точках – центрах масс систем материальных точек, связанных с рассматриваемой геометрической задачей. Искусство применения барицентрического метода заключается в том, чтобы осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при которых задача легко и красиво решается. Таким образом, выдвинутая нами гипотеза подтвердилась. Барицентрический метод действительно облегчает решение, казалось бы, неразрешимых геометрических задач.

Литература

1. Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: ВИТА-Пресс, 2000, -205с.

2. А. Д. Александров, А. Л.Вернер, В, И. Рыжик. Геометрия для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение,1989.

3. М.И.Мельникова Центр масс, методическое пособие, Иркутск 2005.

4. М.Б. Балк. Геометрические приложения понятия о центре тяжести. – М.: Физматлит, 1959.

5. В.В.Прасолов Задачи по планиметрии. Ч. II. – М.: Наука, 2006.

6. В.А. Шеховцов. Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы: решение олимпиадных задач повышенной сложности. – Волгоград: Учитель, 2009.

Приложение

Для сравнения здесь приведена задача 3, которая решается традиционным способом.

Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка М, так что АМ = АС, а на продолжении стороны СВ т. N, так что BN = CB. MN пересекает АВ в точке P. В каком отношении делит эта точка сторону АВ и отрезок NM?

Решение:

Пусть AM =х, MB=2х. Треугольники АВС и MKB подобны. Коэффициент подобия равен. Значит = , т.е. MK=AC. Треугольники MNK и PNC подобны. Коэффициент подобия равен . MK =PC. Значит, AC =PC, 2AC=4PC, =. Итак, AP: PC=1:1.

=. Следовательно, =.

Ответ: NP:PM=3:1, AP:PC=1:1.

Подборка задач из ОГЭ и ЕГЭ, решаемых с помощью метода масс

Задача 1. (ОГЭ 2016)

Площадь треугольника ABC равна 120, точка D лежит на отрезке BC так, что BD:CD = 1: 2, биссектриса BK пересекает прямую AD в точке L. Найдите площадь четырехугольника KLDC, если AK:KC = 3:1.

Задача 2. (ОГЭ 2012).

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне BC так, что BK:KC =1:2, биссектриса CM пересекается с прямой AK в точке L, при этом AM:MB=1:4. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника MBKL равна 52.

Задача 3.(ОГЭ 2016)

В параллелограмме ABCD отмечена точка M-середина отрезка BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке K. Докажите, что BK:BD=1:3.

Задача 4.(ОГЭ 2016)

Точка A₁ симметрична вершине A треугольника ABC относительно середины стороны BC, точка B₁ симметрична вершине B относительно середины стороны AC. Докажите, что точки A₁, B₁ и C лежат на одной прямой.

Задача 5. (ОГЭ 2016)

Площадь треугольника ABC равна 40, биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD:CD = 3:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK.

Задача 6. (ОГЭ 2015)

Биссектриса угла B треугольника ABC делит медиану, проведенную из вершины C, в отношении 7:2, считая от вершины C. В каком отношении, считая от вершины A, эта биссектриса делит медиану, проведенную из вершины A?

Задача 7. (ЕГЭ 2017 задача №14)

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит апо­фе­му грани ASB в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.