Тестовое задание для 10 класса в формате ЕГЭ/ Вариант 3. Профиль.

Вариант 3 (ПРОФИЛЬ)

1.елезнодорожный билет для взрослого стоит 290 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 16 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало  миллиметров осадков.

3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

5. Найдите корень уравнения 

6. Сторона правильного треугольника равна  Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

7. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−7; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

8. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

9. Найдите значение выражения  при 

10. Автомобиль, масса которого равна  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно  Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1200 Н. Ответ выразите в секундах.

11. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.

12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

13. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

15. Решите неравенство 

16. Две окружности с центром O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O₁AO подобны.

б) Найти AD, если  радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.

17. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

18. Найдите все значения параметра  при которых уравнение

имеет ровно два решения.

19. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Вариант № 20387585

1.

Железнодорожный билет для взрослого стоит 290 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 16 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Решение.

Билет для школьника стоит 290  0,5 = 145 руб. Стоимость билетов на 16 школьников и трех взрослых составляет 16  145 + 290  3 = 2320 + 870 = 3190 руб.

 

Ответ: 3190.

2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало  миллиметров осадков.

 

Решение.

Из графика видно, впервые 5 мм осадков выпало 11 февраля (см. рисунок).

 

Ответ: 11.

3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

По теореме Пифагора длины сторон треугольника равны  и  Поскольку сумма квадратов меньших сторон равна квадрату большей стороны, треугольник прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, поэтому, поэтому  см².

4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение.

Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.

 

Ответ: 0,4.

5. Найдите корень уравнения 

Решение.

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем , откуда 

 

Ответ: 3.

6. Сторона правильного треугольника равна  Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

 

Ответ: 4.

7. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−7; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Решение.

Заданная функция имеет максимумы в точках −5, 0, 2 и минимумы в точках −6,5, −1, 1, 3. Поэтому сумма точек экстремума равна −5 + 0 + 2 − 6,5 − 1 + 1 + 3 = −6,5.

 

Ответ: −6,5.

8. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Решение.

Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона основания равна 8, а площадь основания равна 64. Тогда высота цилиндра равна

 

Ответ: 0,25.

9. Найдите значение выражения  при 

Решение.

Выполним преобразования:

При  имеем:  Тогда 

 

Ответ: −22.

10. Автомобиль, масса которого равна  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно  Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1200 Н. Ответ выразите в секундах.

Решение.

Найдем, за какое время автомобиль пройдет путь  метров, учитывая, что сила  при заданном значении массы автомобиля 1200 H. Задача сводится к решению неравенства  при заданном значении массы автомобиля  кг:

 с.

 

Ответ: 50.

11. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.

Решение.

Пусть  км/ч – скорость течения реки, тогда скорость катера по течению равна  км/ч, а скорость катера против течения равна  км/ч. Катер вернулся в пункт  через 8 часов, но пробыл в пункте  2 часа 30 минут, поэтому общее время движения катера дается уравнением:

 

Поэтому скорость течения реки равна 1 км/ч.

 

Ответ: 1.

12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение.

Заметим, что  и найдем производную этой функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является:

 

Ответ: 10.

13. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

Решение.

а) По формуле приведения  имеем:

 

 

б) Отрезку  принадлежат корни 

 

 

 

Ответ: а)  б) 

14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Решение.

а) В плоскости  через точку К проведем прямую параллельно  Пусть эта прямая пересекает диагональ  в точке L. В плоскости основания  проведем прямую  пусть она пересекает сторону  в точке P. Треугольник KPC₁ — сечение, проходящее через точки К и С₁ параллельно прямой BD₁. Действительно, прямая BD₁ параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.

В плоскости основания  через точку A₁ проведем прямую параллельно C₁P. Пусть она пересекает D₁В₁ в точке М. По теореме Фалеса имеем:  и  поэтому  Тогда  Что и требовалось доказать.

б) Пусть теперь точка N — основание высоты  прямоугольного треугольника  — является проекцией наклонной PN на плоскость  Тогда угол PNB₁ — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:

Тем самым, 

 

Ответ: б) 

 

Приведём другое решение.

б) Уравнение плоскости — ax + by + cz + d = 0.

Приведём координаты точек C₁(0; 4; 4), K(4; 4; 3), 

Подставив координаты указанных точек в уравнение, получим систему трёх уравнений

Вычтем из первого уравнения второе, из первого третье, из второго третье, получим следующую эквивалентную систему уравнений:

Таким образом, вектор нормали плоскости имеет вид  Откуда имеем: a = 1, b = 3, c = 4. Получаем уравнение плоскости: x + 3y + 4z + d = 0. Определим теперь коэффициент d, для этого подставим в это уравнение координаты точки C₁:

Имеем: x + 3y + 4z + 28 = 0 — уравнение плоскости PKC₁. Координаты вектора нормали к плоскости   Координаты вектора нормали к плоскости   Обозначим угол между плоскостями  и  как  Найдём косинус угла между плоскостями  и  

Откуда  Может также быть получен ответ и через арктангенс: 

15. Решите неравенство 

Решение.

Пусть , решим рациональное неравенство:

Вернёмся к исходной переменной, получим:   

 

Ответ: 

16. Две окружности с центром O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O₁AO подобны.

б) Найти AD, если  радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB = 2.

Решение.

 

а) Заметим, что  так как линия центров  содержит биссектрисы равнобедренных треугольников  и 

Тогда  и  Значит,  по двум углам.

б) Из равенства углов  следует параллельность прямых:  Поэтому, учитывая, что  получаем:  Значит,  а AE — диаметр окружности.

Равнобедренные треугольники  и  подобны, поскольку

Значит,  откуда 

 

Ответ: 8.

17. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a %. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a Составим таблицу выплат.

 

Год	Долг банку (руб.)	Остаток доли после выплаты (руб.)
0	100000	–
1	110000	86000
2	94600	70600
3	77660	53660
4	59026	35026
5	38528,6	14528,6
6	15981,46	0

 

Значит, Оля погасит кредит за 6 лет.

 

Ответ: 6.

18. Найдите все значения параметра  при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Решение.

Пусть  тогда исходное уравнение принимает вид:

откуда

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений  или  Исследуем сколько решений имеет уравнение  в зависимости от  и  Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при  решений нет. Запишем уравнение в виде  Левая часть этого уравнения — график модуля с вершиной в точке  график левой части — график модуля, отражённый относительно оси  с вершиной в точке  Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая  лежит правее (выше) прямой  и прямая  лежит левее (выше) прямой  Это достигается условиями  и  Таким образом уравнение совокупности имеет два решения при условии:

Если вершина  находится внутри части плоскости отсекаемой графиком  то уравнение имеет два решения, если прямые  и  совпадают или прямые  и  совпадают, то уравнение имеет бесконечно много решений, если вершина  совпадает с точкой  то уравнение имеет одно решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений совокупности имеет два решения, а второе не имеет решений, либо если каждое из уравнений совокупности имеет два решения, но эти решения совпадают. Разберём каждый из этих случаев.

Первый случай. При  или , или  уравнение совокупности решений не имеет. Таким образом исходное уравнение имеет два решения, если первое уравнение имеет два решения, а второе — не имеет, либо наоборот. В случае, когда первое уравнение верно система условий имеет вид:

В случае, когда второе уравнение верно система условий имеет вид:

Второй случай. Решения совпадут, если совпадают уравнения, то есть, если  откуда  При данном значении  оба уравнения прнимают вид:

Данное уравнение не имеет решений.

То есть исходное уравнение не имеет решений при  равном 

Таким образом, уравнение имеет ровно два решения при 

 

Ответ: 

19. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.

Решение.

а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна  Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию  Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии 

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если  то левая часть больше 246:  следовательно,  Поскольку  получаем, что  или  Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

 

Ответ: а) да; б) 41; в) 3; 6.