Теорема Пифагора вне школьной программы

Краевое государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Добрянский гуманитарно-технологический

техникум им. П. И. Сюзёва».

Исследовательская работа по теме «Теорема Пифагора вне школьной программы»

Выполнила студентка группы №271

Скромова Софья

Руководитель Трушникова Г. П.

г. Добрянка, 2018год.

Содержание:

1. Цели и задачи работы. Введение. стр. 3.

1. «Золотые стихи Пифагора» стр. 5

1. За легендой – истина стр. 8

1. История открытия теоремы стр. 8

1. Способы доказательства теоремы стр. 10

1. Значение теоремы стр. 18

1. Применение теоремы стр. 19

1. Приложение стр. 20

1. Литература стр. 26.

2

Теорема Пифагора вне школьной программы

Актуальность

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой

В современных учебниках теорема сформулирована так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов катетов».

Во времена Пифагора теорема звучала так:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного

треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных

на его катетах».

Причина популярности теоремы Пифагора триедина:

• Простота

• Красота

• Значимость

Теорема Пифагора применяется в геометрии буквально на каждом шагу

Цели и задачи проекта.

О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы. В ней присутствуют, в основном современные доказательства, написанные математическим языком, но в большинстве случаев они мало понятны человеку с небольшим багажом математических знаний, поэтому мы хотели с помощью своей работы:

• Доступнее преподнести материал учебника, используя такие средства, как различную дополнительную литературу, сайты Интернета, собственные задумки и предложения.

Но основная цель нашей работы состояла в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы.

Основной метод, который мы использовали в своей работе,- это метод систематизации и обработки данных.

Практическое применение нашей работы состоит в том, чтобы использовать наши знания и умения при изучении алгебры и геометрии в школах, лицеях, гимназиях.

Основной метод, используемый в работе – метод систематизации и обработки данных

«Будь справедлив в словах и поступках своих»

Пифагор. (около 570 – около 500 г. г. до н. э.)

• Пифагор – древнегреческий философ и математик, прославившийся учением о космической гармонии и переселении душ

3

• Пифагор – сын Мнесарха, покинул остров Самос в Эгейском море в знак протеста против тирании правителя

• Пифагор и его последователи – пифагорейцы образовали тайный союз

• Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятаны тайны мира

• Геометрия у Пифагора подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя.

• С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях

История открытия теоремы:

• Соотношение между сторонами треугольника было известно ещё в древнем Китае

• Равенство 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам около 2300 г. до н. э. во времена Аменемхета

• Вавилон. 2000 г. до н. э. Известно приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника.

• Теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии около XVIII века до н. э.

• Заслуга Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство

этой теоремы.

В работе приведено 11 способов доказательства теоремы

• Простейшее

• Доказательство, основанное на использовании понятия равновеликости фигур

• Доказательство методом достроения

• Алгебраический метод

• Доказательство Мёльманна

• Доказательство Гарфилда

• Аддитивное доказательство

• Доказательство Евклида

• Древнекитайское доказательство

• Древнеиндийское доказательство

• Доказательство Аннариция

Введение.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придаёт ей особую притягательную силу, делает её красивой.

Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в

геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500

4

различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.), свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций.

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Во времена Пифагора она звучала так: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

«Золотые стихи» Пифагора

Будь справедлив и в словах, и в поступках своих... Пифагор (ок. 570 - ок. 500 гг. до н. э.)

Древнегреческий философ и математик, просла­вившийся своим учением о космической гармонии и переселении душ. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Многое в учении Платона восходит к Пифагору и его последова­телям.

Письменных документов о Пифагоре Самосском, сыне Мнесарха, не осталось, а по более поздним свиде­тельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. (Электронная энциклопедия: Star World.)_Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у бере­гов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Ита­лии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звёздчатому пятиугольнику -

пентаграмме. Но Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер. Позднее, во второй половине V до н. э., его орден был разгромлен.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и рели­гия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной матема­тикой,

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тай­на мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей дру­гого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурною числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чи­сел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (ве­ликая теорема Ферма).

Пифагору приписывается высказывание: «Все сем, число». К числам (а он имел ввиду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в

5

частности. Но и самой школе Пифагора было сделано от­крытие, нарушавшее эту гармонию. Было доказано, что корень из 2 не является рациональным числом, г. е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали

правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подо­бии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометри­ческих и гармонических пропорциях.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. Когда в XVI веке церковь начала ожесточённо преследо­вать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским. (Энциклопедический словарь юного математики: Э-68. А. [I, Савин. - А/.; Педагогика, 1989, с. 28.)

Некоторые фундаментальные концепции, несомненно, принадлежат самому Пифагору. Первая из них - представление о космосе как о матема­тически упорядоченном целом. Пифагор пришел к нему после того, как открыл, что основные гармонические интервалы, т. с. октава, чистая квин­та и чистая кварта, возникают, когда длины колеблющихся струн относят­ся как 2:1, 3:2 и 4:3 (легенда гласит, что открытие было сделано, когда Пифагор проходил мимо кузницы: имевшие разную массу наковальни порождали при ударе соответствующие соотношения звучаний). Усмот­рев аналогию между упорядоченностью в музыке, выражаемой открыты­ми им отношениями, и упорядоченностью материального мира, Пифагор пришел к заключению, что математическими соотношениями пронизан весь космос. Попытка применить математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям приводила к любопытным ре­зультатам. Так, предполагалось, что каждая планета при своем обращении вокруг Земли издает, проходя сквозь чистый верхний воздух, или «эфир», тон определенной высоты. Высота звука меняется в зависимости от скоро­сти движения планеты, скорость же зависит от расстояния до Земли. Слива­ясь, небесные звуки образуют то, что получило название «гармонии сфер», или «музыки сфер», ссылки на которую нередки в европейской литературе.

Ранние пифагорейцы считали, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами (к числу которых они относили Солнце) обра­щается вокруг центра космоса, т. е. «очага».

В античности Пифагор был известен более всего как проповедник оп­ределенного образа жизни. Центральным в его учении было представле­ние о реинкарнации (переселении душ), что, разумеется, предполагает способность души переживать смерть тела, а значит ее бессмертие. По­скольку в новом воплощении душа может переселиться в тело животного, Пифагор был противником умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже

6

заявлял, что не следует иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Насколько можно судить по сочине­ниям Эмпелокла, разделявшего религиозные воззрения Пифагора, проли­тие крови рассматривалось здесь в качестве первородного греха, за кото­рый душа изгоняется в бренный мир, где она блуждает, будучи заключена то в одно, то в другое тело. Душа страстно желает освобождения, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Избавить душу от нескончаемой череды перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в соблюдении некоторых запретов

(например, воздержание от опьянения или от употребления в пищу бобов) и правил поведения (например, почитание старших, законопослушание и негневливость).

Пифагорейцы высоко ценили дружбу, и по их понятиям все имущест­во друзей должно быть общим. Немногим избранным предлагалась выс­шая форма очищения - философия, т. е. любовь к мудрости, а значит стремление к ней (слово это, как утверждает Цицерон, было впервые употреблено Пифагором, который назвал себя именно не мудрецом, а лю­бителем мудрости). С помощью этих средств душа приходит в соприкос­новение с принципами космического порядка и становится им созвучной, она освобождается от своей привязанности к телу, его беззаконных и не­упорядоченных желаний. Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Влияние пифагорейского братства в первой половине V в. до н.э. не­прерывно возрастало. Но его стремление отдать власть «наилучшим» при­шло в конфликт с подъемом демократических настроений в греческих го­родах южной Италии, и вскоре после 450 г. до н. э. в Кротоне вспыхнуло восстание против пифагорейцев, которое привело к убийству и изгнанию многих, если не всех, членов братства. Впрочем, еще в IV в. до н. э. пифаго­рейцы пользовались влиянием в южной Италии, а в Таренте, где жил друг, Платона Архит, оно сохранялось еще дольше. Однако куда важнее для ис­тории философии было создание пифагорейских центров в самой Греции, например в Фивах, во второй половине V в. до н. э. Отсюда пифагорейские идеи проникли в Афины, где, если верить платоновскому диалогу Федон, они были усвоены Сократом и превратились в широкое идейное движение, начатое Платоном и его учеником Аристотелем.

В последующие столетия фигура самого Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен преподавать в одно и то же время в двух местах. Отцы раннехристианской церкви отве­ли Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Еще в XVI в. были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии. (Электронная энциклопедия: Star World.)

7

За легендой - истина

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принес в жертву быка». Легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через 2000 лет продолжала вызывать горячие от­клики.

Так, оптимист Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометриче­ского правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние

времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А вот ироничный Ген­рих Гейне видел развитие той же ситуации не­сколько иначе:

«Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифа­гора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».(М. В.Величко)

История открытия теоремы

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегре­ческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изу­чение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских руко­писей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за ты­сячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он от­крыл доказательство этой теоремы.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое вни­мание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные час/пи, то линия, со­единяющий концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

8

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с од­ним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Также теорема Пифагора была обнаружена и в древнекитай­ском трактате «Чжоу - би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно неизвестно, но где ут­верждается, что в XV в. до н. э. китайцы знали свойства египетско­го треугольника, а в XVI в. до н. э. - и общий вид теоремы.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + = было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторо­нами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 м. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения ста­новится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инст­румент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко вре­мени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямо­угольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуре­чье умели производить вычисления с прямоугольными треугольника­ми, по крайней мере, в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голланд­ский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецеп­ты, основанные на смутных представлениях, превратились в точ­ную науку».

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже

9

около XVIII века до н. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII–V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»).

Но несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невоз­можно представить, что это словосочетание распадется. То же от­носится и к легенде о заклинании быков Пифагора. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем кра­сивые древние предания.

Способы доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asirwrum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежа­ли от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания и прозванные поэтому «ослами», были не в состоя­нии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», со­ставляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны па все стороны равны», рисовали карикатуры (Доктор Шимон Векслер «Шеренга великих математиков»).

Простейшее доказательство

рис.1 рис.2

10

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сна­чала установлен для равнобедренных прямоугольников. Доста­точно взглянуть на мозаику из чёрных и светлых треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольни­ка ABC: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника (рис. 1, 2).

Доказательства, основанные на использовании понятии равновеликости фигур.

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квад­рат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного тре­угольника, «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, по­строенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательст­ва, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

На рис. 3 изображено два равных квадрата. Длина сторон каж­дого квадрата равна а + в. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямо­угольного треугольника с катетами а, в, то останутся равные пло­щади, т. е, =+. Впрочем, древние индусы, которым принад­-

лежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертёж

лишь одним словом: «Смотри!». Вполне возможно, что та­кое же доказательство предложил и Пифагор.

рис. 3

Доказательства методом построения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, постро­енным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, при­соединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились рав­новеликие фигуры.

На рис. 4 изображена обычная Пифаго­рова фигура прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квад­ратами. К этой фигуре присоединены тре­угольники 1 и 2, равные исходному прямо­угольному треугольнику.

j ^м

Справедливость теоремы Пифагора вы­текает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь прямая ЕР делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на Рис. 4 два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг

11

центра А отображает четырех­угольник АЕРВ на четырехугольник ACMQ.

(Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи.)

-

На рис. 5 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого парал­лельны соответствующим сторонам квадра­тов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника

вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался Рис. 5

квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоуголь­ника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямо­угольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором.

Рис. 6 иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PL - прямая; KLOA = ACPF = ACED = а²; LGBO = СВМР = CBNQ = Ь²; AKGB - AKLO + LGBO = с²; отсюда =+.

Рис. 6

Рис.7 иллюстрирует доказательство,

приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой АВ. Здесь: Рис. 7

OCLP = ACLF = ACED = Ь²;

CBML = CBNQ = а²;

ОВМР = АВМF =

ОВМР = OCLP + CBML;

Отсюда: =+.

Рис. 8 иллюстрирует еще одно более ори­гинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с пря­мым углом С; отрезок BF перпендикулярен
СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB

и АСВЕ равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и

Рис. 8 АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим +-

12

Алгебраический метод доказательства.

Рис. 9 иллюстрирует доказательство великого индийского ма­тематика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) за­нимает доказательство, использующее подо­бие.

Рис. 9 Историки считают, что Бхаскара выра­жал

- 13 -

площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму

площадей четырёх треугольников 4(ав/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.

Приведем в современном изложении одно из таких доказа­тельств, принадлежащих Пифагору.

Рис. 10

На рис. 10 АВС - прямоугольный, С - прямой угол, (СМ ┴ АВ) Ь₁ - проекция катета b на гипотенузу, а₁ - проекция катета а на гипотенузу, h - высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того что АВС подобен АСМ, следует

= св₁; (1) из того что АВС подобен ВСМ, следует = ca₁ . (2). Складывая почленно равенства (1) и (2), получим а² + b² = св₁ + ca₁ = c(b₁+ а₁) = с².

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

Доказательство Мёльманна

Рис. 11

(рис. 11). Площадь дан­ного прямоугольного треуголь­ника, с одной стороны, равна 0,5 ·а ·Ь, с другой 0,5 ·р ·г, где р -полупериметр треугольника, г -радиус вписанной в него ок­ружности (г = 0,5 ·(а + в - с)). Имеем: 0,5 ·а ·в - 0,5 ·р ·г - 0,5 ·(а + в + с) · 0,5 ·(а + в - с), откуда следует, что с² = а² + Ь².

Доказательство Гарфилда.

Рис. 12

На рисунке 12 три пря­моугольных треугольника со­ставляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площа­ди прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В пер­вом случае эта площадь рав­на 0,5 ·(а + в) ·(а + в), во вто­ром - 0,5 ·а ·Ь + 0,5 ·а ·Ь + 0,5 с² .

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

13

- 14 -

Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведен­ных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочета­ния различных методов. Завершая обзор примеров различных дока­зательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь спосо­бов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 13 - 14). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена

сплошной лини­ей, а дополнительные построения - пунктирной.

Рис. 13

Рис.14

Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем дока­зательство этой теоремы, основанное на признаке равенства тре­угольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школь­ную практику). Итак, пусть стороны треугольника АВС связаны соотношением =+. (3)

Докажем, что этот треугольник прямоугольный.

Рис. 15 Построим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁по двум катетам, длины которых равны длинам а и b катетов данного треугольника (рис. 15). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника рав­на с₁. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по тео­реме Пифагора имеем: =+ . (4)

Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что или с₁ = с.

Таким образом, треугольники - данный и построенный - рав­ны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол С ₁прямой, поэтому и угол С данного треугольника тоже прямой.

14

Аддитивные доказательства.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, по­строенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квад­рат, построенный на гипотенузе.

Рис. 16

Доказательство Эйнштейна

основано на разложении квадрата, построенного на гипотену­зе, на 8 треугольников.

Здесь: АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом С; CO ┴MN; СК ┴ MN; PO||MN; EF||MN.

Рис. 17 Рис. 18

На основе доказательства ан-Найризия выполнено и другое разложение квадратов на попарно равные фигуры (рис. 17, здесь ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С).

Также это доказательство называется «шарнирным», потому что здесь меняют своё положение только две части, равные исход­ному треугольнику, причём они как бы прикреплены к остальной фигуре на шарнирах, вокруг которых поворачиваются (рис. 18).

Еще одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями», приведено на рис. 19. Здесь: ABC- прямоугольный треугольник с прямым уг­лом С; О - центр квадрата, построенного на большом катете; пунк­тирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

Это разложение квадратов интерес­но тем, что его попарно равные четы­рехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным перено­сом.

15

Рис. 19

«Пифагоровы штаны» (доказа­тельство Евклида).

В течение двух тысячелетий при­меняли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опус­кал высоту ВН из вершины прямоугольного треугольника на гипо­тенузу и доказывал, что её продолжение делит построенный на ги­потенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны

площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Доказательст­во Евклида в сравнении с древнекитай­ским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение по­верхностно. Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку назы­вают «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Древнекитайское доказательство.

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в ре­дакции II в. до н. э. Дело в том, что в 213 г. до н. э. китайский им­ператор Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н. э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается восстановление древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» -главное из сохранившихся математико-астрономических сочине­ний.

В 9-и книге «Математики» помещён чер­теж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать не­трудно (рис. 20).

В самом деле, на древнекитайском чер­теже четыре равных прямоугольных тре­угольника с катетами а, в и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образу­ет квадрат со стороной а + в, а внутренний - квадрат со стороной с,

Рис. 20

построенный на гипо­тенузе.

16

Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушёванных треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна , а с другой+, т. е. =+. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы ви­дим на древнекитайском чертеже, не ис­пользуются (рис. 21). По-видимому, древ­некитайские математики имели другое до­казательство, а именно: если в квадрате со стороной с два заштрихованных треуголь­ника отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», со­стоит из

Рис. 21 двух квадратов со сторонами а и Ь, т. е. =+.

На рисунке 22 воспроизведён чер­тёж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете - 16. Ясно, что остав­шаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Рис. 22

Древнеиндийское доказательство.

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа (рис.23 ). В написанном на пальмо­вых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания»), крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары, помещён чертёж с характерным для индийских доказательств словом: «Смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с² перекладывается в «кресло невесты» +

Рис.23 Рис. 24

Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора например, по­строение квадрата, площадь кото­рого вдвое больше площади данно­го квадрата) встречаются в древне­индийском трактате «Сульва сутра» (VII-V вв. до н. э.)

17Доказательство Аннариция.

Багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя - Аннариций) в арабском комментарии к «Нача­лам» Евклида дал следующее доказа­тельство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах (рис. 34). Любо­пытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нём фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников). Это наименьшее число возможных разбиений.

Со времён Пифагора появилось не­сколько сотен доказательств его знаменитой теоремы, так что она попала в книгу рекордов Гиннеса. Однако принципиально различ­ных

Рис. 25 идей в других доказательствах сравнительно немного.

Значение теоремы.

Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геомет­рии. Значение се состоит в том. что из нее или с се помощью мож­но вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позво­ляет убедиться в том. что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то:

а) наклонные равны, если равны их проекции;

б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.
Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим

длины сторон треугольников (А. В. Погорелов). Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Воз­никла целая наука тригонометрия («триюн» - по-гречески означа­ет «треугольник»).

Эта наука нашла применение в землемерии.

Но еще раньше с ее помощью научились измерять вообра­жаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Теорема Пифагора позволяет по любым двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторо­ну. Решая эту задачу, нам приходится по известному квадрату положитель­ного числа находить само это число.

Благодаря тому что теорема Пифа­гора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непо­средственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоско­сти в трёхмерное пространство и дальше - в многомерные про­странства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

18

Применение теоремы.

• Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам.

• Построение прямых углов египтянами.

• Нахождение высоты объекта и определение расстояния до не­доступного предмета.

• Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни: в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.

Задачи в стихах.

Задача индийского математика XII века Бхаскары:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол обломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Задача древних индусов:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Задача из старинного китайского трактата:

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достиг­нет берега. Какова глубина озера?

19

Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифме­тика»:

Случися некоему человеку к стене лествнииу при братн. стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колнко стоп сея лестницы нижний конец от стены отстоятн имать.

(А. Свечников «Путешествие в историю математики»)

Заключение.

Я думаю, что доказала значимость теоремы Пифагора. И поэтому современные люди не имеют права не знать те научные факты, которые человечество знало и применяло в жизни много тысячелетий тому назад.

Приложение

Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площа­ди, величины углов в фигурах, называют метрическими соотноше­ниями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений - тео­рема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами треугольника.

Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить дли­ну отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмер­ное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и мате­матики в целом.

Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометриче­ских вычислений. Ещё в Древнем Вавилоне с её помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам ос­нования и боковой стороны, стрелку сегмента - по диаметру ок­ружности и длине хорды, устанавливали соотношения между эле­ментами некоторых правильных многоугольников.

20

В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова плани­метрия. Вспомним формулу для расстояния между точками А (х₁; у₁) и В (х₂; у₂) в декар­товых координатах

АВ =

С одной стороны, это просто теорема Пи­фагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны │х₂ – х₁│ и │у₂ – у₁│. С другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точка­ми плоскости, тогда эта формула уже является определением рас­стояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно оп­ределяемые через расстояния, - такие, как равенство и подобие фи­гур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (х;у), для которых = const,

Где (х₀;у₀) - некоторая заданная точка (центр окружности). Можно определить и все другие геометрические понятия в тер­минах расстояний: в частности, отрезок АВ - это множество таких точек С, что АС + СВ = АВ. А стоит добавить ещё одну координату z и соответствующее слагаемое (z₂ – z₁) в формулу расстояния - и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометриче­ская структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.

Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метри­ческих соотношений на плоскости и в пространстве. В значитель­ной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее три­гонометрическое тождество - sin + cos = 1 - это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.

Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы

косинусов: =+- 2ав· cos С

Если угол С прямой, то =+, так как косинус прямого уг­ла равен нулю.

Из формулы =+- 2ав· cos С следует соотношение + +между длинами диагоналей и сторон паралле­лограмма, с помощью которого легко найти длину медианы тре­угольника по длинам его сторон.

На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выра­жающая площадь любого треугольника через длины его сторон (формула Герона). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.

Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносто­ронние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигу­ры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, по­строенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадра­тов его измерений (длины, ширины и высоты). Диалогичная теоре­ма верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.

21

В одной задаче - почти вся планиметрия!

Задача. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно пер­пендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.

Способ 1. 1.Продолжим ВC вправо.
Проведем DK || АС. Так как ACKD - параллелограмм, то
DK = 6 см. А

2. BD ┴ DK, так как

BD ┴ АС. Треугольник BDK - прямоугольный , по теореме Пифагора: ВК = , ВК = = 10(см).

3. ВК = ВС + AD. Средняя линия равна половине ВК, т. е. 5 см. Ответ: 5 см

∆

Способ 2 (похожий на способ 1).

Проведем СЕ \\ BD до пересечения с продолжением АD. DE = EC, так как

DBCE – параллелограмм. АЕ вычислим по теореме Пифагора из треугольника АСЕ.

(СЕ || ВО, но ВО ┴ АС, следовательно, СЕ ┴ АС): АЕ = ; АЕ = = 10(см).

АЕ = а + Ь. Но средняя линия равна, , т. е. равна 5см.

Ответ. 5 см.

Способ 3.

1. MN - средняя линия трапеции. Про­
   ведем МК || ВD и соединим точки N и К.

2. 
   NK – средняя линия ∆ AСД следо-

вательно,NK= AC; NK= 3(см).

3. МК - средняя линия треугольника АВD, следо-│

вательно,

МK= BD; МK=4(см).MKN = углу AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.

5. ∆ MNK- прямоугольный.

MN = ; MN= = 5(см).

Ответ: 5 см.

22

Способ 4.

1.Продолжим СА на расстоя­ние AM = СО. Через точку М про­ведем MN || AD. BD СВMN = N.

2. ∆ OMN - прямоугольный,
ОМ = 6 см, ON =8 см. Следовательно, MN = 10 см (теорема Пифа­гора).

3. Проведём МК ND. Продолжим AD до пересечения с МК. ∆МАК = ∆ВАС, следовательно, АК = ВС.

4. MKDN – параллелограмм, KD = МN = 10см. Но DK = AD + BC. Значит, средняя линия равна 5 см.

Ответ: 5 см.

Способ 5.

A

Q D

Соединим середины сторон трапеции. MNPQ - параллелограмм с прямым углом, т. е прямоугольник с сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ = 5 см (египетский треугольник).

Ответ: MN = 5 см.

В К С

Способ 6.

Продолжим АС за точку А так, что AM = ОС. Продолжим BD за точку D так, что DN = ВО. Итак,

∆ OMN - пря­моугольный с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора MN = 10 см. Проведем АЕ ┴ MN.

DF┴MN,OК┴ВС М Е

∆АМЕ = ∆КОС }

∆DFN = ∆ВКО } по стороне и прилежащим к ней углам.

Следовательно, ME =КС и FN = ВК, т. е. MN = AD + ВС = = 10 (см).

Средняя линия равна = = = 5

Ответ: 5 см.

Способ 7.

Пусть ОС = х, ВО = у; тогда АО = 6 – х, DO = 8 – у. MN – средняя линия.

1. Из подобия ∆ ВОС и ∆ AOD имеем:

= , тогда 8х – ху = 6у – ху,

8х = 6у; у = х.

23

2. Из прямоугольного треугольника ВОС имеем:

СВ = = = х.

3. Из подобия ∆ ВОС и ∆ AOD имеем:

= , = ,

AD = = 10 –

4. MN = =

Ответ: 5 см.

Способ 8.

1. Из подобия ∆ ВОС и ∆ AOD :

= , у = х.

2. Продолжим диагонали на отрезки, равные СО и ВО.

3. Из треугольника MON MN = 10см.

4. ∆ AOD подобен ∆ MON;

MN = AD , AD = MN = · 10 = 7,5(см).

5. В ∆ ВОС: ВС = = х

- 26 -

6. ∆ ВОС подобен ∆ AOD

= ; = ;

10х - = 7,5х;

2,5х = 7,5 = 5х; х = 1,5(см)

7. ВС= х = ·1,5 = 2,5(см)

8. Средняя линия равна = = 5

Ответ: 5 см.

Способ 9. (тригонометрический).

1. Из подобия ∆ ВОС и ∆ AOD :

= , у = х.

2. ∆ ВОС – прямоугольный.

tg α = = =;

3. Найдём cos α по формуле tg + 1 =

cos α = ;

4. Из ∆ ВОС: = cos α; ВС = = = х.

24

5. Из ∆ AOD: = cos α; AD = = = ;

6. Средняя линия равна = = 5.

Ответ: 5 см.

Способ 10. (тригонометрический).

1. Из подобия ∆ ВОС и ∆ AOD :

= , у = х.

;

2. ax = 6b – bx, (a + b)x = 6b;

= ;

tgα = = =; α=arctg;

3. = = 5;

Ответ: 5 см.

Анализ полученных результатов:

• С помощью теоремы можно вывести большинство теорем геометрии

Выводы:

• Благодаря теореме Пифагора возникла тригонометрия, которая нашла применение в землемерии, астрономии

• Теорема Пифагора применяется в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов

25

Литература:

1. М. В. Величко.

«Проектная деятельность учащихся».

Волгоград , «Учитель», 2007.

2. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутусов, С. Б. Кадомцев и др.

«Геометрия. 10 – 11 кл.»

М., «Просвещение», 2014.

3. А. В. Погорелов.

«Геометрия. Учебник для 7 – 11 кл.».

М., «Просвещение», 2016.

4. А. Г. Цыпкин.

«Справочник по математике для средней школы».

М., «Просвещение», 2010.

5. «Шеренга великих математиков»

Наша Ксенгарня Варшава, 1970.

6. А. А. Свечников.

«Путешествие в историю математики».

М., «Педагогика – Пресс», 1995.

7. Электронные источники.

Электронная энциклопедия: Star World.

26