Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач

проектирование основ деятельностной теории на класс арифметических задач. обозначена система понятий теори, критериальные признаки уровней усвоения.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач»

Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе задач «на процессы»

Горбачев В.И., Гудкова Т.В., Маркина А.Г., Пехенько С.Ф.

В классической работе Талызиной Н.Ф., Никола Г. [ ] по формированию общих приемов решения арифметических задач проектируется становление «образа среды» и «образа действия» ориентировочной основы (Гальперин П.Я. [ ]) арифметического метода решения задач «на процессы».

Становление «образа действия» в содержании не менее значимого в математической деятельности алгебраического метода решения задач, как и технология формирования его последовательных уровней оказались вне исследования.

Методическая задача поэтапного формирования математической деятельности учащихся в обширном классе задач К (таблица 1) исследуется в условиях уточнения понятийного аппарата деятельностной теории учения (Леонтьев А.Н. [ ], Гальперин П.Я. [ ], Талызина Н.Ф. [ ], Давыдов В.В. [ ]).

Таблица 1.

К – класс арифметических задач «на процессы»
К₁ – класс арифметических задач «на движение»	К₂ – класс арифметических задач «на работу»		К₃ – класс арифметических задач «на сплавы и смеси»
К₅ – класс арифметических задач «на куплю-продажу»		К₄ – класс арифметических задач «на числовые зависимости»

1. Образ среды – субъектная система характеристик среды деятельности в их иерархии, которая фиксируется субъектом как востребованная целями деятельности и условиями ее осуществления в системе обобщенных действий.

2. Образ деятельности (действия) – упорядоченная последовательность образов ранее сформированных обобщенных действий (операций), актуализируемых во внутреннем плане субъекта образом среды.

3. Ориентировочная основа деятельности – внутренний образ деятельности субъекта, интегрируемый системой внешних и личностных целей в содержании динамично формирующихся образа среды деятельности и опосредованных ими образов действий.

4. Взаимосвязь понятий действия и деятельности представлена субъекту деятельности в содержательном и внутреннем планах:

- в содержательном плане действие выступает структурным компонентом деятельности, цель действия включена в цель деятельности в качестве средства;

- во внутреннем плане каждый уровень (материализованный, внешнеречевой, внутренний) становления действия представлен субъекту в форме деятельности с дроблением цели на последовательность условия ее достижения, на этапе своей сформированности включается в новый вид (уровневой, структурной) деятельности, превращается в действие, операцию.

5. Теоретической основой и средством анализа уровня сформированности учебного действия, субъекта выступает следующая система критериальных признаков [ ]:

- цель действия субъекта в содержании целостной деятельности данного класса задач;

- включенность задачи, определяющей действие, в класс задач, формирующий деятельность субъекта;

- содержание исполнительного компонента действия;

- форма представленности действия субъекту.

6. Критериальные признаки материализованного уровня сформированности действия у субъекта:

- целью действия выступает получение конкретного результата, требуемого содержанием задачи;

- задача, определяющая становление действия принимается субъектом изолированно, вне класса задач;

- содержанием действия выступает система исполнительских операций, направленных на реализацию требования задачи;

- действия представлено субъекту в форме материализованных операций под контролем сознания.

7. Критериальные признаки внешнеречевого уровня сформированности действия у субъекта:

- целью действия является выявление (интериоризация) общего способа решения задач данного класса;

- становление действия определяется классом задач, конкретная задача направлена на обоснование общности действия субъекта;

- содержанием действия выступает формулировка обобщенного действия в классе задач и его конкретизация в данной задаче;

- действие представлено субъекту в системе обобщенных внешнеречевых операций, выступающих основным объектом контроля сознанием.

8. Критериальные признаки внутреннего уровня сформированности действия у субъекта:

- цель действия в условиях доминирования во внутреннем плане субъекта цели деятельности находится вне контроля сознанием;

- определяющая действие задача фиксируется субъектом как задача одного из классов задач, в содержании которых осуществляется формирование деятельности;

- содержание действия обосновано обобщением действия в системе классов задач и его внешнеречевой конкретизацией (экстериоризация) в данном классе;

- действие включено во внешнеречевую обобщенную деятельность в системе классов задач, в условиях сформированности сокращенно, представлено субъекту во внутреннем плане.

Выделенная система понятий, критериальных признаков, закономерностей теории поэтапного формирования действий выступает в качестве методологии проектирования методической системы математической деятельности учащихся в классе арифметических задач.

Цели методической системы:

1. Сформировать математическую деятельность учащихся в классах арифметических задач К₁ (движение), К₂ (работа), К₃ (сплавы), К₄ (арифметические зависимости), К₅ (купля-продажа) на материальном, внешнеречевом уровнях.

2. Сформировать математическую деятельность учащихся в классе арифметических задач К (процессы) на внутреннем уровне.

Алгебраический метод решения арифметических задач в классах объектов, обладающих тремя динамическими характеристиками со стандартной системой их взаимосвязи, выступает формируемым действием – объектом методической системы. Ее предмет – технология поэтапного формирования всех уровней действия, представленного субъекту деятельностью, действием, операцией.

Базовые методические закономерности управляемого процесса становления, развития действия на материализованном, внешнеречевом, внутреннем уровнях:

- полнота операционного состава материализованного, внешнеречевого уровней как ключевой принцип поэтапного формирования;

- аналогия как основное интеллектуальное действие становления метода решения на последовательных уровнях;

- функционирование общей схемы формирования действия:

а) материализованный уровень действия в полном операционном составе;

б) «уровень имен» действия как технологическое средство обобщения действия;

в) обобщенный способ деятельности в классе задач;

г) внешнеречевой уровень становления действия в классе задач;

д) система внешнеречевых уровней становления действия в аналоговых классах задач;

е) внутренний уровень развития действия – алгебраического метода решения арифметических задач.

Содержательной основой выстраивания аналогий материального и внешнеречевого уровней действия выступает система динамических характеристик объектов каждого из классов задач:

- в классе задач «на движение» в качестве объектов задачи выступают движущиеся тела с динамическими характеристиками – скоростью (V), временем (t), путем (S), с условием их взаимосвязи ;

- в классе задач «на работу» в качестве объектов задачи выступают работающие механизмы с динамическими характеристиками – производительностью («V»), временем («t»), объемом работы («S»), с условием их взаимосвязи ;

- в классе задач «на сплавы и смеси» в качестве объектов задачи выступают вещества с динамическими характеристиками – концентрацией («V»), количеством смеси («t»), количеством вещества («S»), с условием их взаимосвязи ;

- в классе задач «на куплю-продажу» в качестве объектов задачи выступают товары с динамическими характеристиками – ценой («V»), количеством («t»), стоимостью («S»), с условием их взаимосвязи ;

- в классе задач «на числовые зависимости» в качестве объектов задачи выступают слагаемые в систематической записи натурального числа с динамическими характеристиками – цифрой («V»), разрядом («t»), слагаемым («S»), с условием их взаимосвязи .

Помимо аналоговых характеристик объектов, условий их взаимосвязи в структуре задач каждого из классов фиксируются ситуации равновесия динамических характеристик с рациональными уравнениями в качестве математических моделей (число ситуаций (уравнений) совпадает с числом объектов задачи). Закономерностью задачи выступает неизменяемость одной из динамических характеристик в каждой из ситуаций, вследствие этого система рациональных уравнений становится математической моделью задачи.

Система содержательных, структурных закономерностей классов арифметических задач – это компонент внутреннего уровня развития формируемого действия, результата целостной технологической схемы. Начальный их этап – становление материализованного уровня действия в классе К₁ арифметических задач «на движение» со следующими характеристиками (образ среды):

в задачах участвуют 3 движущихся объекта c динамическими характеристиками (скорость, время, расстояние) и взаимосвязью ;
скорости объектов неизвестны, относительно независимы и постоянны;
в задачах рассматриваются 3 ситуации равновесия;
моделями динамических характеристик движущихся объектов выступают рациональные уравнения;
система трёх уравнений выступает моделью задачи;
интерпретация решений системы осуществляется на конкретных числовых множествах.

Материализованный уровень формирования деятельности представлен субъекту в форме конкретной задачи класса К₁: Три пловца должны проплыть из пункта А в пункт В и обратно. Сначала стартует первый, через 5 секунд – второй, ещё через 5 секунд – третий. Некоторую точку С между А и В все пловцы миновали одновременно. Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил второго в 9 метрах от В, а первого – в 15 метрах от В. Найдите скорость третьего, если расстояние АВ равно 55 метрам.

Решение задачи (материализованный образ действия):

Объект 1 – пловец 1 со временем t (с), скоростью V(м/с), расстоянием S (м) и связью .
Объект 2 – пловец 2 со временем t (с), скоростью V(м/с), расстоянием S (м) и связью .
Объект 3 – пловец 3 со временем t (с), скоростью V(м/с), расстоянием S (м) и связью .
В ситуации I: «Сначала стартует первый, через 5 секунд – второй, ещё через 5 секунд – третий. Некоторую точку С между А и В все пловцы миновали одновременно» – время 1 пловца на 5с больше времени 2, время 1 пловца на 10с больше времени 3, время 2 пловца на 5с больше времени 3, S₁=S₂=S₃.
В ситуации II: «Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил второго в 9 метрах от В» – время 2 пловца на 5с больше времени 3, S₂=46м, S₃=64м.
В ситуации III: «Третий пловец доплыл до В и повернув назад встретил первого в 15 метрах от В» – время 1 пловца на 10с больше времени 3, S₁=40м, S₃=70м.
Цель – поиск скоростей движения пловцов. Скорости пловцов неизвестны, независимы и принимают некоторые постоянные значения.
Переменные x(м/с), y(м/с) ,z(м/с) – скорости движения первого, второго, третьего пловцов соответственно.
Связь динамических характеристик (скорости, времени, пути) 1, 2, 3 пловцов в ситуации I на языке переменных: S₁= x∙t, S₂= y∙(t-5), S₁=S_2,S₃= z∙(t-10), S₁=S₃.
Система уравнений определяет уравнение - математическая модель ситуации I.
Связи динамических характеристик (скорости, времени, пути) 1, 2, 3 пловцов в ситуации II на языке переменных: t₂= , t₃= , t₂- t₃= 5.
Уравнение - математическая модель ситуации II.
Связи динамических характеристик (скорости, пути, времени) 1, 2, 3 пловцов в ситуации III на языке переменных: t₁= , t₃= , t₁- t₃= 10.
Уравнение - математическая модель ситуации III.
Переменные x, y, z – одни и те же скорости пловцов в ситуациях I, II, III. Их значения являются решением каждого из уравнений.
Математической моделью задачи выступает система:
Решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными осуществляется на основе общего метода решения.
Согласно общего метода решения из второго и третьего уравнений выразим переменные x и y через переменную z: Подставляем полученные выражения в первое уравнение системы.
Множество решений данной системы – (0, 0, 0) и .
Набор (0, 0, 0) не удовлетворяет условию задачи, так как x, y, z – ненулевые скорости. Набор удовлетворяет условию задачи.
(м/с, м/с, 1 м/с) набор скоростей, удовлетворяющих условию задачи.
В решении задачи зафиксируем метод: выделение трех ситуаций, их описание с помощью переменных в виде моделей – рациональных уравнений, анализ системы как модели задачи, решение системы и интерпретация решений.

Анализ решения задачи позволяет по аналогии установить систему действий по возможному решению всякой задачи класса К₁ «на движение» - метод решения, общность которого пока не проверяется (Таблица 4).

Внешнеречевой уровень сформированности деятельности в классе задач К₁ «на движение» характеризуется включённостью общего способа деятельности вместе с процессом его конкретизации в системе следующих задач:

Установить общий способ решения в классе задач К₁в системе последовательных действий.
Провести конкретизацию каждого действия общего способа решения в содержании следующей задачи: Три мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки кольцевого шоссе в одном направлении. Первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта, а за полчаса до этого он догнал третьего мотоциклиста. Второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 часа после старта. Сколько кругов в час делает первый мотоциклист?

В методическом плане обоснование общности каждого действия осуществляется только в процедуре конкретизации. По этой причине всякое внешнеречевое действие содержит как этап обобщения, так и этап конкретизации:

о. Выделим динамические характеристики (S, V, t) с их единицами измерения для 1 объекта движения.

к. У первого мотоциклиста выделим его скорость, время, путь с единицами измерения- круг/час, час, круг соответственно. Установим связь: S=V∙t.

о. Выделим динамические характеристики (S, V, t) с их единицами измерения для 2 объекта движения.

к. У второго мотоциклиста выделим его скорость, время, путь с единицами измерения- круг/час, час, круг соответственно. Установим связь: S=V∙t.

о. Выделим динамические характеристики (S, V, t) с их единицами измерения для 3 объекта движения.

к. У третьего мотоциклиста выделим его скорость, время, путь с единицами измерения- круг/час, час, круг соответственно. Установим связь: S=V∙t.

о. В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3 объектов.

к. В относительно изолированном фрагменте задачи : «первый мотоциклист впервые догнал второго, сделав 4,5 круга после старта» зафиксируем ситуацию I взаимной связи 1 и 2 мотоциклистов:

I		V (круг/час)	t (час)	S(круг)
	1 догнал		одинаково	4,5
	2		одинаково	на 1 круг м.

о. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3 объектов.

к. В другом относительно изолированном фрагменте задачи: «за полчаса до этого первый мотоциклист догнал третьего мотоциклиста» зафиксируем ситуацию II взаимной связи 1 и 3 мотоциклистов:

II		V (круг/час)	t (час)	S(круг)
	1 догнал		одинаково
	3		одинаково	на 1 круг м.

о. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик 1, 2, 3 объектов.

к. В следующем относительно изолированном фрагменте задачи: «второй мотоциклист впервые догнал третьего через 3 часа после старта» зафиксируем ситуацию II взаимной связи 2 и 3 мотоциклистов:

III		V (круг/час)	t (час)	S(круг)
	2 догнал		3
	3		3	на 1 круг м.

о. Поставим цель – поиск неизвестных динамических характеристик (скоростей) на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

к. Поставим цель – поиск неизвестных скоростей мотоциклистов, измеряемых в (круг/час), удовлетворяющих каждой из трёх выделенных ситуаций.

о. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.

к. В качестве независимых переменных x, y, z выберем скорости 1, 2. 3 мотоциклистов соответственно. Зафиксируем единицы измерения независимых переменных x, y, z – круг/час.

о. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 2 мотоциклистов:

I		V (круг/час)	t (час)	S(круг)
	1 догнал	x	4.5/x	4,5
	2	y	4.5/x	на 1 круг м.

о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными: .

о. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 3 мотоциклистов:

II		V (круг/час)	t (час)	S(круг)
	1 догнал	x
	3	z		на 1 круг м.

о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными: .

о. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 2 и 3 мотоциклистов:

III		V (круг/час)	t (час)	S(круг)
	2 догнал	y	3	3y
	3	z	3	3z, на 1 круг м.

о. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными: 3y-3z=1.

о. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

к. Характеризуем неизвестные наборы значений переменных (скоростей) как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

о. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными:

(*)

о. Поставим задачу – решение системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Поставим задачу – решение системы (*) трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

о. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

о. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

к. Решаем построенную систему (*) рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем:

1) Из первого уравнения выразим x через y:

2) Из третьего уравнения выразим z через y:

3) В системе упростим второе уравнение:

4) Выражения переменных x и z через переменную y подставим во второе уравнение и решим его:

о. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.

к. Так как скорости мотоциклистов положительны, то набор (-4.5, -3.5, -3) не удовлетворяет условию задачи, а набор (3, 2 ,2) удовлетворяет условию задачи.

о. В качестве решения задачи фиксируем те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.

к. В качестве решения задачи фиксируем набор (3, 2 ,2), который удовлетворяет условию задачи с единицами измерения (круг/час).

о. и к. В процессе решения задач на движение основными этапами являются:

A) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик;

В) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений;

С) описание задачи с помощью математической модели – системы рациональных уравнений;

D) решение системы уравнений;

Е) интерпретация решений системы в содержании задачи.

Описание класса К₂ задач «на работу» осуществляется в следующей системе характеристик:

- объекты задач – работающие механизмы с динамическими характеристиками (производительность («V»), время («t»), объем работы («S»)), их взаимосвязью ;

- в задачах действует три механизма, их производительности постоянны, относительно независимы и неизвестны;

- в задачах фиксируется три ситуации равновесия динамических характеристик;

- математическими моделями ситуаций выступают рациональные уравнения с переменными – производительностями механизмов;

- математической моделью задачи выступает система рациональных уравнений;

- в процедуре интерпретации отбираются те наборы значений, которые характеризуют производительности механизмов.

Аналогия «образа среды» в классах К₁ и К₂ позволяет зафиксировать гипотезу о предполагаемом операционном составе действия по решению следующей задачи: «Бассейн имеет три трубы разного сечения для отвода воды с помощью равномерно откачивающего насоса. Через первую и вторую трубы вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн опорожняется за а мин, через первую и третью вместе при закрытой второй - за b мин, а через вторую и третью трубы при закрытой первой - за с мин. За какое время наполненный бассейн опорожняется через каждую трубу в отдельности?»

Аналоговое выполнение материализованного уровня действия позволяет учащемуся самому выдвигать, формулировать гипотетический общий способ решения задач «на работу».

Фиксация в речи, мышлении общего способа решения осуществляется на внешнеречевом уровне формирования действия.

Содержание деятельности учащихся на внешнеречевом уровне представлено в системе задач:

Установить обобщенный способ решения задач класса К₂ «на работу»;
Конкретизировать обобщенный способ решения на следующей текстовой задаче: «Три каменщика могут совместно сложить стену за а часов. Первый из них, работая один, может сложить стену вдвое скорее третьего и на 1 час скорее второго. За сколько времени каждый из них, работая отдельно, может сложить стену?»

Закономерностью внешнеречевого уровня выступает сочетание процедур обобщения и конкретизации в следующей последовательности действий:

1. о. Выделим динамические характеристики (p, t, v) с их единицами измерения для 1 объекта работы.

к. Выделим время t (ч), объем работы v (единиц), производительность p (единиц / час) 1-го каменщика.

2. о. Выделим динамические характеристики (p, t, v) с теми же единицами измерения для 2 объекта работы.

к. Выделим время t (ч), объем работы v (единиц), производительность p (единиц / час) 2-го каменщика.

3. о. Выделим динамические характеристики (p, t, v) с их единицами измерения для 3 объекта работы.

к. Выделим время t (ч), объем работы v (единиц), производительность p (единиц / час) 3-го каменщика.

4. о. В относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов работы.

к. В относительно изолированном фрагменте: «Три каменщика могут совместно сложить стену за а часов» зафиксируем ситуацию I взаимной связи установленных динамических характеристик: общая производительность равна сумме производительностей 1, 2 и 3 каменщиков; время – а часов; общий объем – весь объем (постоянная величина).

5. о. В другом относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов работы.

к. В другом относительно изолированном фрагменте: «Первый из них, работая один, может сложить стену вдвое скорее третьего» зафиксируем ситуацию II взаимной связи установленных динамических характеристик: время работы первого в 2 раза меньше, времени работы третьего; объем первого и объем третьего – весь объем; второй каменщик не участвует.

6. о. В третьем относительно изолированном фрагменте задачи зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов работы.

к. В третьем относительно изолированном фрагменте: «Первый из них, работая один, может сложить стену на 1 час скорее второго» зафиксируем ситуацию III взаимной связи установленных динамических характеристик: время первого на 1 ч. меньше, время второго; объем первого и объем второго – весь объем; третий каменщик не участвует.

7. о. Поставим цель – поиск неизвестных «скоростей» на зафиксированном множестве значений, удовлетворяющих каждой из трех выделенных ситуаций с фиксированными единицами измерения.

к. В данной задаче поставим цель: поиск неизвестных производительностей каменщиков, измеряемых в единиц / час и удовлетворяющих каждой из трех выделенных ситуаций.

8. о. В качестве независимых переменных x, y, z выберем одни и те же неизвестные динамические характеристики каждого из объектов с фиксированием единиц измерения их значений.

к. В качестве независимых переменных x, y, z выберем производительности 1, 2 и 3 каменщиков соответственно с фиксированием единиц измерения (единиц / час).

9. о. В установленной ситуации I с помощью введенных переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации I с использованием переменных x, y, z фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 каменщиков: совместная производительность – x + y + z; время совместной работы – а; весь объем равен V.

10. о. Взаимные связи динамических характеристик ситуации I опишем математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Взаимные связи производительности, времени, объема работы ситуации I охарактеризуем математической моделью: рациональным уравнением (x + y + z)*a = V.

11. о. В установленной ситуации II с помощью введенных переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации II с использованием переменных x, y, z фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 3 каменщиков: производительность первого – x, производительность третьего – z; время первого – V/x, время третьего – V/z.

12. о. Взаимные связи динамических характеристик ситуации II опишем математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Взаимные связи производительности, времени, объема работы ситуации II охарактеризуем математической моделью: рациональным уравнением V/z = 2*V/x.

13. о. В установленной ситуации III с помощью введенных переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1, 2 и 3 объектов.

к. В установленной ситуации III с использованием переменных x, y, z фиксируем взаимные связи динамических характеристик 1 и 2 каменщиков: производительность первого – x, производительность второго – y; время первого – V/x, время второго – V/y.

14. о. Взаимные связи динамических характеристик ситуации III опишем математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными.

к. Взаимные связи производительности, времени, объема работы ситуации III охарактеризуем математической моделью: рациональным уравнением V/y – V/x = 1.

15. о. Характеризуем неизвестные наборы значений как решения каждого из уравнений и, значит, решения системы уравнений.

к. Характеризуем неизвестные наборы значений (x, y, z) как решения каждого из уравнений и, значит, решения системы трех уравнений.

16. о. Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трех рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Строим математическую модель трех ситуаций – систему трех рациональных уравнений с тремя переменными:

17. о. Поставим задачу: решение системы трех рациональных уравнений с тремя переменными.

к. Поставим задачу: решение системы (*).

18. о. Актуализируем общий метод решения системы трех рациональных уравнений с тремя переменными, в которых V – некоторая константа.

к. Актуализируем общий метод решения системы трех рациональных уравнений с тремя переменными.

19. о. Решаем построенную систему рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем.

к. . Из первого уравнения выражаем переменную z через переменную x: . Из третьего уравнения выражаем переменную y через переменную x: ; Выражения переменных y и z через переменную x подставим во второе уравнение: . Решим третье уравнение системы: . Найдем решение системы:

, ,

20. о. Интерпретируем все решения системы в содержании данной задачи.

к. Интерпретируем решение: (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) в содержании данной задачи: так как а – время, то а0; так как V – объем, то V0, тогда поэтому x₂, но x₂ – производительность первого каменщика и x₂0. Значит, набор (x₂, y₂, z₂) не удовлетворяет условию задачи.

21. о. Фиксируем в качестве решения задачи те наборы значений, которые удовлетворяют условию исходной задачи с указанием единиц измерения.

к. Фиксируем набор (x₁, y₁, z₁) в качестве решения задачи как единственный набор, удовлетворяющий условию задачи.

22. о. Проведем анализ деятельности по решению задачи.

к. В процессе решения задач на работу основными этапами являются:

A) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик;

В) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений;

С) описание задачи с помощью математической модели – системы рациональных уравнений;

D) решение системы уравнений;

Е) интерпретация решений системы в содержании задачи.

Технологические процедуры формирования внешнеречевого уровня действия в классах задач К₁ и К₂ выступает базой создания аналогового представления классов задач К₃ («на сплавы и смеси») и К₅ («на куплю-продажу») (Таблица 2).

Таблица 2.

Класс задач К₃ («на сплавы и смеси»)

Класс задач К₅ («на куплю-продажу»)

Объектами задач класса выступают вещества в сплаве, смеси.

Объектами задач класса выступают товары, предлагаемые для купли, продажи.

Динамические характеристики вещества (объекта задачи) – концентрация («V»), количество смеси («t»), количество вещества в смеси («S»), их взаимосвязь – .

Динамические характеристики товара (объекта задачи) – цена («V»), количество товара («t»), стоимость товара («S»), их взаимосвязь – .

В задаче анализируется сплав из трех веществ с их динамическими характеристиками. Концентрации веществ относительно независимы, неизвестны, постоянны.

В задаче анализируется процесс купли, продажи трех товаров с их динамическими характеристиками. Цены товаров относительно независимы, неизвестны, постоянны.

В задаче рассматриваются три ситуации равновесия динамических характеристик веществ.

В задаче рассматриваются три ситуации равновесия динамических характеристик товаров.

Моделями каждой из ситуаций выступают рациональные уравнения. Моделью задачи является система рациональных уравнений.

Моделями каждой из ситуаций выступают рациональные уравнения. Моделью задачи является система рациональных уравнений.

Общность характеристик классов К₃ и К₄ позволяет учащимся на уровне внешней речи сформулировать гипотезу об аналогии метода решения задач «на сплавы», «на куплю-продажу» и метода решения задач «на движение», «на работу».

Проверка общности метода и фиксация специфики задач классов К₃ и К₄ осуществляется на материализованном уровне действия в процедуре решения конкретных задач:

В классе К₃: В первоначальном сплаве меди, олова и цинка концентрация цинка составляет концентрации меди и олова. В новом сплаве концентрация меди увеличена в 7 раз, олова – в 5 раз, цинка – в 10 раз и при этом концентрация меди составила . Определите содержание меди в 2 кг первоначального сплава и олова – в 0,5 кг нового.

В классе К₅: В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 метров меньше чем черной и на 6 метров больше чем синей, стоимость кусков была одинакова. Стоимость 4,5 метров черной ткани равна стоимости 3 метров зеленой и 0,5 метров синей ткани вместе. Сколько стоит каждый кусок, если метровые отрезки каждого куска вместе стоят 600 рублей?

Выполнение действий в полном операционном составе, осуществляемое в условиях рефлексии как исполнительских материализованных операций, так и интегрирующих их действий общего плана, позволяет сформировать «отрыв учащегося» (П.Я. Гальперин [ ]) от процедуры конкретизации. Важнейшим технологическим средством становления обобщенного способа решения задач выступает «уровень имен» действия в системном виде, задающем последующий процесс становления (Таблица 3).

Таблица 3.

Базовые действия общего способа решения

Операционный состав действия,

«уровень имен»

Объекты задачи и их динамические характеристики

1. Характеристики объекта 1.

2. Характеристики объекта 2.

3. Характеристики объекта 3.

Анализ ситуаций задачи

4. Анализ ситуации I.

5. Анализ ситуации II.

6. Анализ ситуации III.

Анализ цели, фиксация переменных

7. Цель – поиск неизвестных «скоростей».

8. Выбор переменных в характеристиках 1, 2, 3.

Выделение математических моделей ситуаций

9. Ситуация I с переменными. 10. Ее модель – уравнение I.

11. Ситуация II с переменными. 12. Ее модель – уравнение II.

13. Ситуация III с переменными. 14. Ее модель – уравнение III.

Выделение математической модели задачи

15. Значения переменных – решения уравнений I, II, III.

16. Система уравнений – модель задачи.

Решение системы уравнений в содержании общего метода

17. Задача – решение системы.

18. Общий метод решения систем рациональных уравнений.

19. Конкретизация общего метода для данной системы.

20. Решение системы.

Интерпретация решений системы

21. Интерпретация решений системы в задаче.

Рефлексия метода

22. Рефлексия способа решения.

Внешнеречевой уровень становления действия с ориентировочной основой в форме «уровня имен» действия автоматизируется, однако исполнительские операции, определенные конкретными условиями задачи, препятствуют сокращению, не приводят к проявлению динамического стереотипа. Именно внешний контроль точной выраженности обобщенного действия и его специфичного проявления в условиях учебной задачи выступает базовым методическим средством становления внешнеречевого уровня в следующих видах деятельности учащихся в каждом из классов:

Задача (в классе К₃): I. Установить обобщенный способ решения задач «на сплавы и смеси» (для случая трех веществ). II. Конкретизировать действия обобщенного способа в задаче: Имеется первый сплав определенной массы, содержащий медь; второй сплав массы на 5 кг меньше первого и содержащий олово; третий сплав массой на 5 кг меньше второго и содержащий железо. В каждом из них массы меди, олова и железа одинаковы. Из первого сплава взят кусок, содержащий 64 кг меди, из второго сплава – кусок, содержащий 46 кг олова, при этом масса второго куска оказалась меньше массы первого куска на 5 кг. Из первого сплава взят кусок, содержащий 70 кг меди, из третьего сплава – кусок, содержащий 40 кг железа; при этом масса куска из первого сплава на 10 кг больше массы куска из третьего сплава.

Задача (в классе К₅): Установить обобщенный способ решения задач «на куплю-продажу» (для случая трех товаров). II. Конкретизировать действия обобщенного способа в задаче: У фермера рыночная стоимость одного ящика клубники равна числу имеющихся у него ящиков черешни. Стоимость ящика смородины равна числу имеющихся ящиков клубники. Стоимость ящика черешни равна числу ящиков смородины. Стоимость клубники в 35 раз дороже стоимости ящика клубники и ящика смородины. Стоимость черешни в 70 раз дороже разности стоимости ящика черешни и ящика клубники. Стоимость смородины в 105 раз дороже разности стоимости ящика черешни и ящика смородины. Установить стоимость фермерских фруктов.

Класс задач К₄ «на числовые зависимости» в содержательном плане обладает системой специфических характеристик, не позволяющей формировать действие с опорой на аналогию:

- содержанием задач класса являются действия с натуральными числами в систематической записи по фиксированному основанию системы счисления;

- объектами задач выступают слагаемые в систематической записи натурального числа с динамическими характеристиками – цифрой разряда («V»), разрядом («t»), слагаемым («S»), их взаимной связью ;

- цифры разряда задаются на конечном множестве {0, 1, …, 9}, разряды – на конечном множестве {0, 1, 2, …, n}, слагаемые составлены из цифры и нулей, что в решении задач позволяет в качестве метода использовать перебор.

Материализованному уровню становления действия предшествует формирование «образа среды» - понятия систематической записи натурального числа и ее компонентов, условий взаимосвязи слагаемого, разряда и цифры разряда. Лишь на этой основе происходит становление материализованного уровня в содержании деятельности по решению задачи: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении суммы удвоенных первой и третей цифр на вторую получается третья цифра. Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297. Двузначное число, записанное первой и второй цифрами на 15 меньше двузначного числа, записанного второй и третей цифрами. Найти натуральное число.

Последовательность исполнительских действий:

Выделим динамические характеристики слагаемого из сотен:

- значение слагаемого из сотен («путь»)

- разряд («время»), t=2

- цифра разряда сотен («скорость»)

Выделим динамические характеристики слагаемого из десятков:

- значение слагаемого из десятков («путь»)

- разряд («время»), t=1

- цифра разряда десятков («скорость»)

Выделим динамические характеристики слагаемого из единиц:

- значение слагаемого из единиц («путь»)

- разряд («время»), t=0

- цифра разряда единиц («скорость»).

4. В относительно изолированном фрагменте задачи «При делении суммы удвоенных первой и третьей цифр на вторую получается третья цифра» зафиксируем ситуацию I взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0): при делении суммы удвоенных цифр разрядов сотен и десятков на цифру разряда десятков получится цифра разряда единиц.

В другом относительно изолированном фрагменте задачи: «Разность числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке равна 297» зафиксируем ситуацию II взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0): Разность числа, значения слагаемых сотен, десятков, единиц которого равны цифрам разряда сотен, десятков и единиц соответственно, и числа, значения слагаемых сотен, десятков и единиц равны цифрам разряда единиц, десятков и сотен соответственно, равна 297.

В следующем относительно изолированном фрагменте задачи: «Двузначное число, записанное первой и второй цифрами на 15 меньше двузначного числа, записанного второй и третей цифрами» зафиксируем ситуацию III взаимной связи динамических характеристик для слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0): разность числа, значения слагаемых десятков и единиц равны цифрам разрядов сотен и десятков соответственно, и числа, значения слагаемых десятков и единиц равны цифрам разрядов десятков и единиц соответственно, равна 15.

Поставим цель – поиск неизвестных цифр разряда слагаемых из сотен, десятков, единиц на множестве {1,…,9}.

В качестве независимых переменных выберем переменные x – цифра разряда сотен, y - цифра разряда десятков, z - цифра разряда единиц, с учётом, что x, y, z{1,…,9}.

В установленной ситуации I с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0): делимое имеет вид - 2∙x + 2∙z; делитель имеет вид – y; частное имеет вид – z.

Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации I математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными: .

В установленной ситуации II с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0): уменьшаемое имеет вид – x∙10² + y∙10 + z; вычитаемое имеет вид – z∙10² + y∙10 + x; разность имеет вид – 2∙10² + 9∙10 + 7.

Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации II математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

(x∙10²+ y∙10 + z) − (z∙10²+ y∙10 + x) = 2∙10²+ 9∙10 + 7.

В установленной ситуации III с помощью введённых переменных фиксируем взаимные связи динамических характеристик слагаемых из сотен, десятков, единиц (объектов 2, 1, 0): 1 число имеет вид - 10∙x + y; разность имеет вид - 1∙10 + 5; 2 число имеет вид - 10∙y + z.

Охарактеризуем взаимную связь динамических характеристик ситуации III математической моделью – рациональным уравнением с тремя переменными:

(x∙10 + y) + 15 = y∙10 + z.

Характеризуем неизвестные наборы значений переменных x, y, z как решение каждого из уравнений, и значит решения системы рациональных уравнений.

Строим математическую модель всех ситуаций данной задачи – систему трёх рациональных уравнений с тремя переменными:

(*)

Поставим задачу – решение системы (*) трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

Актуализируем общий метод решения системы трёх рациональных уравнений с тремя переменными.

Решаем построенную систему (*) рациональных уравнений в соответствии с общим методом решения рациональных систем: выражаем переменные x и z через переменную y: x = y – 2, z = y – 5; полученные выражения подставим в первое уравнение и решим его: или ; или .

Итак, (0,2,-3) - первое решение системы; (5,7,2) – второе решение системы.

Так как x, y, z{1,…,9}, то набор (0,2,-3) не удовлетворяет условию задачи, а набор (5,7,2) удовлетворяет условию задачи.

В качестве решения задачи фиксируем набор (5,7,2) , который удовлетворяет условию исходной задачи с единицами измерения - цифра разряда.

В процессе решения задачи основными этапами являются:

A) описание каждой из трёх ситуаций на языке динамических характеристик;

В) описание ситуаций с помощью математических моделей – рациональных уравнений;

С) описание задачи с помощью математической модели – системы рациональных уравнений;

D) решение системы уравнений;

Е) интерпретация решений системы в содержании задачи.

Внешнеречевой уровень сформированности деятельности в классе задач К₄ на арифметические зависимости характеризуется включённостью общего способа деятельности вместе с процессом его конкретизации в системе следующих задач:

Выделить общий метод решения в классе задач К₄ на арифметические зависимости (трёхзначные числа в десятичной системе счисления).

Провести конкретизацию каждого действия общего способа решения в содержании следующей задачи: Трёхзначное натуральное число записано в десятичной системе счисления. При делении числа на двузначное, записанное последними двумя цифрами, в частном получается 16 и в остатке 5. Разность квадрата первой цифры и суммы квадратов двух последних цифр равна 30. Разность двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами и двузначного числа, записанного последними двумя цифрами равна 32. Найти натуральное число.

Поскольку уже на материализованном уровне становления действия выделена аналогия взаимной связи динамических характеристик объектов каждого из классов задач, аналогия реализации действий в задаче и в классе задач, то внешнеречевой уровень действия в классе К₄ «на арифметические зависимости» формируется автомотизированно с контролем исполнительной части.

Проектирование деятельности, в которой действие – «решение арифметических задач алгебраическим способом» развивается на внутреннем уровне, осуществляется в системе его критериальных признаков: функционирование в деятельности внешнеречевого уровня, формирование обобщенной деятельности в системе классов задач как цель. Такая деятельность реализуется в задаче:

I. Установить систему действий алгебраического метода решения в классе арифметических задач «на процессы».

II. Указать закономерности и особенности алгебраического метода решения арифметических задач («на движение», «на работу», «на сплавы и смеси», «на куплю и продажу», «на числовые зависимости».

Внутренний уровень действия развивается в целостной аналитико-синтетической деятельности:

- анализа характеристических признаков каждого класса задач;

- синтезирования признаков в виде описания характеристик класса арифметических задач «на процессы»;

- анализа общих и специфических черт общих методов решения в классах задач К₁ – К₅;

- фиксация общего метода решения арифметических задач «на процессы» в системе пересекающихся действий решения задач в каждом классе;

- описание метода решения арифметических задач класса К₁ (К₂, К₃, К₄, К₅) на основе общего метода решения задач «на процессы» с учетом специфических характеристик класса;

- целостное представление классов задач и методов их решения (Таблица 4):

Геометрия 7 класс

Геометрия 10 класс ФГОС

Электронная тетрадь по математике 6...

Алгебра 9 класс ФГОС

Геометрия 8 класс ФГОС

Алгебра 11 класc

Математика 5 класс

Математика 5 класс ФГОС

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 9 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач

Автор: Гудкова Т.В.

Дата: 25.08.2018

Номер свидетельства: 476318

Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач

Просмотр содержимого документа
«Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Класс задач К₃ («на сплавы и смеси»)	Класс задач К₅ («на куплю-продажу»)
Объектами задач класса выступают вещества в сплаве, смеси.	Объектами задач класса выступают товары, предлагаемые для купли, продажи.
Динамические характеристики вещества (объекта задачи) – концентрация («V»), количество смеси («t»), количество вещества в смеси («S»), их взаимосвязь – .	Динамические характеристики товара (объекта задачи) – цена («V»), количество товара («t»), стоимость товара («S»), их взаимосвязь – .
В задаче анализируется сплав из трех веществ с их динамическими характеристиками. Концентрации веществ относительно независимы, неизвестны, постоянны.	В задаче анализируется процесс купли, продажи трех товаров с их динамическими характеристиками. Цены товаров относительно независимы, неизвестны, постоянны.
В задаче рассматриваются три ситуации равновесия динамических характеристик веществ.	В задаче рассматриваются три ситуации равновесия динамических характеристик товаров.
Моделями каждой из ситуаций выступают рациональные уравнения. Моделью задачи является система рациональных уравнений.	Моделями каждой из ситуаций выступают рациональные уравнения. Моделью задачи является система рациональных уравнений.

Базовые действия общего способа решения	Операционный состав действия, «уровень имен»
Объекты задачи и их динамические характеристики	1. Характеристики объекта 1. 2. Характеристики объекта 2. 3. Характеристики объекта 3.
Анализ ситуаций задачи	4. Анализ ситуации I. 5. Анализ ситуации II. 6. Анализ ситуации III.
Анализ цели, фиксация переменных	7. Цель – поиск неизвестных «скоростей». 8. Выбор переменных в характеристиках 1, 2, 3.
Выделение математических моделей ситуаций	9. Ситуация I с переменными. 10. Ее модель – уравнение I. 11. Ситуация II с переменными. 12. Ее модель – уравнение II. 13. Ситуация III с переменными. 14. Ее модель – уравнение III.
Выделение математической модели задачи	15. Значения переменных – решения уравнений I, II, III. 16. Система уравнений – модель задачи.
Решение системы уравнений в содержании общего метода	17. Задача – решение системы. 18. Общий метод решения систем рациональных уравнений. 19. Конкретизация общего метода для данной системы. 20. Решение системы.
Интерпретация решений системы	21. Интерпретация решений системы в задаче.
Рефлексия метода	22. Рефлексия способа решения.

Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач

Просмотр содержимого документа «Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач»

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Технология формирования внутреннего уровня деятельности учащихся в классе арифметических задач»