Способы решения логарифмических уравнений и неравенств

Цели занятия:

формирование навыков решения логарифмических и показательных уравнений.

Задачи:

Образовательные:

• актуализация опорных знаний при решении логарифмических и показательных уравнений;

• обобщение знаний и способов решения;

• контроль и самоконтроль знаний.

Воспитательные:

• воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

• воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;

• воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Развивающие:

• развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;

• развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;

• развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

• развитие интереса к предмету через содержание учебного материала.

Решить уравнение:

1. 3х-х²=0;

2. х²+5х=0;

3. 11х²-х=0;

4. 9х²+6х=0.

Вычислить

Вынесите за скобку общий множитель:

Вычислите:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. .

Найдите значение числового выражения:

Упростите выражение

1. Выполните возведение в степень

Вычислите:

1. В двух вагонах поезда 60 человек. Сколько человек в каждом вагоне, если в первом вагоне на 12 человек больше, чем во втором?

2. Решите пропорцию .

3. В семи одинаковых мешках содержится 343 кг картофеля. Сколько весит картофель в четырех мешках?

4. Вычислить

1. Вычислить

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

1. Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) ;

1. Найти область определения уравнения:

;

1. Представьте произведение в виде степени.

1) 2) 3) 4)

1. Вычислите

1) 43; 2) 107; 3) -43; 4) -107.

1. Найти значение выражения

1) -1; 2) -19; 3) -31; 4) 1.

Определение. Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением. Самое простое показательное уравнение имеет вид

a^x = b, где a  0, a ≠ 1

Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b  0 имеет единственный корень: x = log _a b .

ПРИМЕРЫ

Задача. Решите уравнение:

Итак, приведем все степени к основанию 2:

4 ^x = (2²) ^x = 2^2 x ; 1 = 2⁰; 256 = 2⁸

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2 x = −8 ⇒ x = −4

Задача. Решите уравнение:

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

9^2 x = (3²)^2 x = 3^4 x ; 1 = 3⁰; 27 = 3³

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:

Осталось избавиться от основания степени:

4 x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений:

Решение уравнений на основании определения логарифма.

log_a х = с (а 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

ПРИМЕР

Решаем пример: log₇(50х-1) = 2

Видим, что слева стоит логарифм:

log₇(50х-1)

Вспоминаем, что этот логарифм - какое-то число, в которое надо возвести основание (т.е. семь), чтобы получить подлогарифменное выражение, т.е. (50х-1).

Но это число равно двум! По уравнению. Стало быть:

7² = 50х-1

Вот, в сущности, и всё. Логарифм исчез, осталось безобидное уравнение:

50х-1 = 49.

х = 1.

1. 3^{x + 2} = 27

2. 

3. 

4. 

1. log₇(3х-1)=2

2. log₂(7-8х)=2

3. =

4. log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )²

5. lg²х - 6lgх+5 = 0.

1. log₂ 128= х

2. log₁₆х = ¾

3. log_х 27= 3

4. 2^{x - 1} = 8

5. 5^{3x + 2} = 25

6. 

1. 

2. 

3. 

4. √3^х=9

5. 3^х2-х-2=81

6. 3^x = -x-2/3.

Пословица