Сборник задач по геометрии по теме "Цилиндр. Конус"

Соловьёв В.А. У Сборник задач по геометрии для 11 класса Цилиндр и конус 2007 г.

В настоящем сборнике нашли отражение

задачи по геометрии из учебника

«Геометрия, 7-11» Погорелова А.В., «Просвещение», 1992 г.

и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина

«Просвещение», 1974 г.

Ввиду того, что задач из учебника геометрии явно недостаточно для приобретения прочного навыка их решения, наиболее интересные задачи из указанных выше книг нашли отражение в этом сборнике.

§ 1. Цилиндр (прямой круговой).

Вспомним формулы для вычисления поверхности цилиндра:

Боковая поверхность цилиндра: S = 2 πRH.

Полная поверхность цилиндра:

S = 2S + S = 2π R+ 2 πR H= 2 πR(R + H).

1. (Устно.) Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м.

Найти диагональ осевого сечения. (5 м)

2. (Устно.) Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь

которого Q. Найти площадь основания. ()

3. (Устно.) Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см.

Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси

цилиндра на расстоянии 4 см от неё. (36 см)

4. (Устно.) Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм.

Цилиндр этот пересечён плоскостью параллельно оси так,

что в сечении получился квадрат. Найти расстояние

этого сечения от оси. (3 дм)

5. В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая

от окружности основания дугу в 120°. Длина оси h =10 см;

её расстояние от секущей плоскости а = 2 см.

Определить площадь сечения. (40≈ 70 см)

6. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого

сечения, как π : 4. Найти угол между диагоналями осевого

сечения. (90°)

7. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра

(в осевом сечении – квадрат) равна а. Найти объём правильной

вписанной в этот цилиндр восьмиугольной призмы. ()

8. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы данного

отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его 10 дм.

Найти его кратчайшее расстояние от оси. (3 дм)

9. Высота цилиндра 2 м, радиус основания 7 м. В этот цилиндр

наклонно к оси вписан квадрат так, что все вершины его

находятся на окружностях оснований. Найти сторону квадрата.

(10 м)

1

Поверхность цилиндра

10. Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144 л см.

Определить радиус основания и высоту. (4 см и 14 см)

11. Цилиндрическая дымовая труба с диаметром в 65 см имеет

высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно

для её изготовления, если на заклёпку уходит 10%

всего требующегося количества жести? (Около 40 м)

12. Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м

в диаметре. Определить полную поверхность подвала.

(≈ 116м)

13. (Устно.) Стороны прямоугольника а и в. Найти боковую

поверхность цилиндра, полученного от вращения этого

прямоугольника вокруг стороны, равной а. (2 πав)

14. (Устно.) Диаметр основания цилиндра равен 1; высота равна

длине окружности основания. Найти боковую поверхность

цилиндра (π)

15. (Устно.) Высота равностороннего цилиндра равна H.

Найти боковую поверхность. (πН)

16. (Устно.) Радиус основания цилиндра R, боковая поверхность

равна сумме площадей оснований. Найти высоту. (R)

17. (Устно.) Площадь осевого сечения цилиндра равна Q.

Найти боковую поверхность. (π Q)

18. Чему равно отношение боковой поверхности цилиндра

к площади его осевого сечения? (π)

19. Какой высоты должен быть цилиндр, чтобы его боковая

поверхность была в три раза больше площади основания?

()

20. В цилиндре радиус основания r =2 см, а высота H = 7 см.

Определить радиус круга, равновеликого полной поверхности

этого цилиндра. (6 см)

21. Найти зависимость между высотой цилиндра и радиусом его

основания, если их сумма служит радиусом круга, равно-

великого полной поверхности этого цилиндра. (Н = R)

22. В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого

сечения М. Определить полную поверхность этого цилиндра.

()

2

14. В усечённом конусе высота равна 18 см, а радиусы оснований

5 см и 11 см. Высота разделена на три равные части двумя

плоскостями, параллельными основаниям. Определить объём

полученных частей усечённого конуса.

(218π см; 386π см; 602π см )

15. Радиус одного основания усечённого конуса вчетверо больше

радиуса другого. Высота разделена на три равные части,

и через точки деления проведены плоскости параллельно

основаниям. В каком отношении разделился объём?

(7: 19 : 37)

16. По данным радиусам оснований R и r определить отношение

объёма усечённого конуса к объёму полного конуса.

()

17. В усечённом конусе радиусы оснований R и r, высота Н. Из него

вырезаны два конуса, у которых основаниями служат основания

данного усечённого, а образующие одного служат продолжения-

ми образующих другого. Определить объём оставшейся части.

()

14

23. Какая должна быть зависимость между высотой и радиусом

основания, чтобы боковая поверхность цилиндра была

равновелика кругу, описанному около его осевого сечения?

()

24. Какая должна быть зависимость между высотой и радиусом

основания, чтобы полная поверхность цилиндра была

равновелика кругу, описанному около его осевого сечения?

()

25. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

Найти отношение боковых поверхностей цилиндра и призмы.

(π : 3)

26. В данном цилиндре проведена плоскость, параллельная

основанию, так, что площадь полученного сечения есть средняя

пропорциональная между частями боковой поверхности

цилиндра. Определить положение секущей плоскости (зная

радиус основания R и высоту Н цилиндра). Указать условие,

при котором задача имеет решение.

(Расстояние секущей плоскости от основания равно:

; должно быть Н ≥ R)

27. Определить полную поверхность цилиндра, описанного около

куба с ребром а (вершины куба находятся на окружностях

оснований цилиндра). ()

§ 2. Конус (прямой круговой).

Формулы для вычисления поверхности конуса:

Боковая поверхность конуса: S = πRL.

Полная поверхность конуса:

S= S+ S= πR+ πRL = πR(R + L).

1. (Устно.) Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м.

Найти образующую. (5 м)

2. (Устно.) Образующая конуса l наклонена к плоскости основания

под углом в 30°. Найти высоту. ()

3

3. (Устно.) Радиус основания конуса R. Осевым сечением служит

прямоугольный треугольник. Найти его площадь. ( R)

4. Отношение площади основания конуса к площади осевого

сечения равно π. Найти угол наклона образующей к основанию.

(45°)

5. Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо

провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь

сечения была равна половине площади основания? ()

6. Радиус основания конуса R. Через середину высоты проведена

плоскость параллельная основанию. Найти площадь сечения.

()

7. Радиус основания конуса R. Определить площадь параллельного

сечения, делящего высоту конуса в отношении m : n,

(от вершины к основанию). ()

8. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь

сечения, проведённого через вершину, если его расстояние

от центра основания конуса равно 12. (500)

9. В равностороннем конусе (в осевом сечении – правильный

треугольник) радиус основания R. Найти площадь сечения,

проведён ого через две образующие, угол между которыми

равен 30°. ()

10. Высота конуса Н. Угол между высотой и образующей равен 60°.

Найти площадь сечения, проведённого через две взаимно

перпендикулярные образующие. ()

11. В конусе, у которого высота равна радиусу основания R,

проведена через вершину плоскость, отсекающая от

окружности основания дугу в 90°. Определить площадь

полученного сечения. ()

12. Через вершину конуса под углом в 45° к основанию проведена

плоскость, отсекающая четверть окружности основания.

Высота конуса равна 10 см. Определить площадь сечения.

(см)

4

4. Объём усечённого конуса равен 584 π см, а радиусы

оснований 10 см и 7 см. Определить высоту. (8 см)

5. В усечённом конусе радиусы оснований и образующая

относятся как 4 : 11 : 25, объём равен 181π м.

Определить радиусы оснований и образующую.

(2 м; 5,5 м; 12,5 м)

6. Объём усечённого конуса равен 248π см, его высота 8 см;

радиус одного из оснований 4 см.

Определить радиус второго основания. (7 см)

7. Усечённый конус, у которого радиусы оснований 3 см и 5 см,

и полный конус такой же высоты равновелики.

Чему равен радиус основания полного конуса? (7 см)

8. Объём усечённого конуса равен 52 см, площадь одного

основания в 9 раз более площади другого. Усечённый конус

достроен до полного. Найти объём полного конуса. (54 см)

9. Равнобедренная трапеция с параллельными сторонами 7 см

и 17 см и площадью 144 см вращается около средней высоты.

Определить объём полученного тела. (457π см)

10. Площадь осевого сечения усечённого конуса равна разности

площадей оснований, а радиусы оснований R и r.

Определить его объём. ()

11. Высота усечённого конуса равна 12 см, площадь среднего

параллельного сечения равна 225π сми объём 2800π см.

Определить радиусы оснований. (10 см и 20 см)

12. Образующая усечённого конуса равна 17 см, площадь осевого

сечения 420 см и площадь среднего сечения равна 196π см.

Определить объём и боковую поверхность.

(3020π см; 476π см)

13. Усечённый конус, у которого радиусы оснований 4 см м 22 см,

требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты.

Определить радиус основания этого цилиндра. (14 см)

13

22. Равнобедренный треугольник с углом при вершине в 120°

и боковой стороной а вращается вокруг боковой стороны.

Определить объём и поверхность тела вращения.

(;)

23. Треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вращается

вокруг большей стороны. Определить объём и поверхность

полученного тела. (448π см; 216π см)

24. Треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см вращается

вращается вокруг меньшей стороны. Определить объём

и поверхность полученного тела. (800π см; 1080π см)

25. Треугольник с углом 60°, заключённым между сторонами 8 см

и 15 см вращается вокруг большей из этих сторон.

Определить объём и поверхность тела вращения.

(240 π см; 84 π см)

26. Полуокружность с диаметром АВ делится точкой М

в отношении 1: 2. Определить объём и поверхность тела,

образуемого вращением треугольника АВМ вокруг оси АВ,

если меньшая сторона треугольника равна а.

(;)

§ 6. Объём усечённого конуса.

Формула объёма усечённого конуса:

.

1. Радиусы оснований усечённого конуса R и r, образующая

наклонена к основанию под углом 45°. Найти объём.

()

2. Высота усечённого конуса равна 3. Радиус одного основания

вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию

под углом 45°. Найти объём. (63π)

3. Радиус одного основания усечённого конуса вдвое больше

другого; боковая поверхность равна сумме площадей оснований;

площадь осевого сечения равна 36 м. Найти объём. (84π м)

12

13. Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно

образующей l. Найти длину отрезка прямой, заключённого

внутри конуса. ()

14. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус этот пересечён

прямой МN, параллельной основанию; расстояние её от

основания равно 6 см, а от высоты 2 см. Найти отрезок этой

прямой, заключённый внутри конуса. (3 см)

15. В конусе даны радиус основания R и высота Н.

Определить ребро, вписанного в него куба. ()

16. В конусе даны радиус основания R высота Н. В него вписана

правильная треугольная призма, у которой боковые грани –

квадраты. Определить ребро этой призмы. ()

Поверхность конуса

17. (Устно.) Высота конуса H = 6, радиус основания r = 8. Найти боковую поверхность. (80 π)

18. (Устно.) Высота конуса h = 4, образующая l = 5.

Найти полную поверхность. (24 π)

19. Определить величину поверхности, полученной вращением

хорды около диаметра, выходящего из её конца, если диаметр

равен 25 см, а хорда равна 20 см. (240 π см)

20. Из точки А на окружности радиуса r = 7 м проведена

касательная АВ = l =24 м, а из её конца В – секущая ВОС

через центр. Определить величину поверхности, которую

описывает отрезок ВС секущей, вращаясь вокруг касательной.

(286,72 π м)

21. Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высоты.

Определить стороны этого треугольника, если его периметр

равен 30 см, а полная поверхность тела вращения равна

60 π см. (11 см, 11 см, 8 см)

22. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°.

Найти отношение боковой поверхности к площади основания

конуса. (2 : 1)

23. Как относятся между собой площадь основания, боковая

поверхность и полная поверхность в равностороннем конусе?

(1 : 2 : 3)

5

24. По высоте Н равностороннего конуса определить

его полную поверхность. ()

25. Как относится боковая поверхность равностороннего конуса

к боковой поверхности равностороннего цилиндра, имеющего

такую же высоту? (2 : 3)

Развёртка конуса

26. Высота конуса 4, радиус основания 3; боковая поверхность конуса развёрнута

на плоскость. Найти угол полученного сектора. (216°)

27. По радиусу основания R и образующей l определить угол

в развёртке боковой поверхности конуса. (360°∙)

(Рассмотреть особо случай равностороннего конуса.)

(В случае равностороннего конуса 180°)

28. Полукруг свёрнут в коническую поверхность.

Найти угол между образующей и высотой конуса. (30°)

29. Радиус сектора равен 3 м; его угол 120°. Сектор свёрнут

в коническую поверхность. Найти радиус основания конуса. (1 м)

§ 3. Усечённый конус.

Поверхность усечённого конуса вычисляется

по формуле:.

1. (Устно.) Радиусы оснований усечённого конуса 3 м и 6 м,

высота 4 м. Найти образующую. (5 м)

2. (Устно.) Радиусы оснований усёчённого конуса R и r;

образующая наклонена к основанию под углом в 45°.

Найти высоту. (R – r)

3. Радиусы оснований усечённого конуса 11 см и 16 см;

образующая 13 см. Найти расстояние от центра меньшего

основания до окружности большего. (20 см)

4. (Устно.) Высота усечённого конуса равна Н; определить

образующую, если она наклонена к основанию под углом 30°.

(2 Н)

5. Образующая усечённого конуса равна 2а и наклонена

к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое

больше радиуса другого основания. Найти каждый из радиусов.

(а и 2а)

6

12. Как относятся полные поверхности равностороннего конуса

и равностороннего цилиндра, если их объёмы равны?

()

13. Объём конуса V, а радиус основания равен R.

Чему равна площадь осевого сечения конуса? ()

14. В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого

сечения М. Определить объём и боковую поверхность.

(; )

15. На одном основании построен конус и равновеликий ему

цилиндр. Параллельно основанию проведена плоскость

через середину высоты цилиндра. Как относятся площади

полученных сечений конуса и цилиндра? (25 : 36)

16. По радиусу R основания конуса определить радиус сечения,

параллельного основанию, делящего пополам объём конуса.

()

17. Определить объём и боковую поверхность конуса, вписанного

в правильный тетраэдр с ребром а. (;)

Конус как тело вращения

18. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найти поверхность и объём тела вращения. (;)

19. Основание треугольника в, высота его h. Найти объём

тела, полученного при вращении его вокруг основания. ()

20. Прямоугольный треугольник с катетами а и в вращается около

гипотенузы. Определить объём и поверхность полученного

тела. (; )

21. Определить объём и поверхность тела, образуемого

вращением равнобедренного треугольника вокруг боковой

стороны, если основание равно 30 см, а боковая сторона 25 см.

(48π дм; 1320π см)

11

()

§ 5. Объём конуса.

Формула объёма конуса: V = πRH.

1. (Устно.) Высота конуса 3, образующая 5.

Найти объём. (16π)

2. Осевым сечением конуса служит равнобедренный

прямоугольный треугольник; площадь его 9 м.

Найти объём конуса. (9π м)

3. Площадь основания конуса 9 π см, полная поверхность

его 24 π см. Найти объём конуса. (12π см)

4. Высота и образующая конуса относятся как 4 : 5, а объём конуса

96 π см. Найти его полную поверхность. (96π см)

5. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности

основания С. Определить объём. ()

6. Определить объём конуса по данной площади основания Q

и боковой поверхности S. ()

7. Высота конуса равна 15 м, а объём равен 320π м.

Опредёлить полную поверхность. (200π см)

8. Высота конуса равна 6 см, а боковая поверхность 24π см.

Определить объём конуса. (24π см)

9. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания

угол 30°. Определить объём конуса. ()

10. Объём конуса V. Высота его разделена на три равные части,

и через точки деления проведены плоскости параллельно

основанию. Найти объём средней части. ()

11. Как относятся объёмы равностороннего конуса и равно-

стороннего цилиндра, если их полные поверхности

равновелики? ()

10

6. Радиусы основания усечённого конуса 3 дм и 7 дм; образующая

5 дм. Найти площадь осевого сечения. (30 дм)

7. Площади оснований усечённого конуса 4 м и 16 м.

Через середину высоты проведена плоскость параллельно

основанию. Найти площадь сечения. (9 м)

8. Площади оснований усечённого конуса М и п.

Найти площадь среднего сечения, параллельного основаниям.

()

9. Площади оснований усечённого конуса 4 и 25. Высота разделена

на 3 равные части, и через точки деления провёдены плоскости

параллельно основаниям. Найти площади сечений. (9 и 16)

10. В усечённом конусе площади оснований 1 м и 49 м. Площадь

параллельного сечения равна их полусумме. На какие части это

сечение делит высоту? (, считая от большего основания)

Поверхность усечённого конуса

11. В усечённом конусе высота H = 10 см, а радиусы оснований 8 см и 18 см. На каком расстоянии от меньшего основания находится параллельное

сечение, площадь которого есть средняя пропорциональная

между площадями оснований? (4 см)

12. Высота усечённого конуса 4 дм; радиусы его оснований 2 дм

и 5 дм. Найти . (35 π дм)

13. Радиусы оснований усечённого конуса R и r. Образующая

наклонена к основанию под углом 60°.

Найти боковую поверхность. ()

14. Радиусы оснований усечённого конуса и его образующая

относятся как 1 : 4 : 5; высота равна 8 см. Найти . (100 π см)

15. Определить высоту усечённого конуса, если его полная

поверхность равна 572π м, а радиусы оснований 6 м и 14 м.

(15 м)

16. В усечённом конусе высота H = 63 дм, образующая

l = 65 дм и боковая поверхность S =26π м.

Определить радиусы оснований. (28 дм и 12 дм)

17. В усечённом конусе образующая l =5 см, а радиусы оснований

1 см и 5 см. Найти радиус цилиндра с такой же высотой и такой

же величиной боковой поверхности. (5 см)

7

18. В усечённом конусе радиусы оснований 6 см и 10 см,

а образующая l = 5 см. Найти радиус цилиндра такой же

высоты, полная поверхность которого была бы равновелика

боковой поверхности данного усечённого конуса. (5 см)

19. В усечённом конусе радиусы оснований 6 см и 10 см,

а образующая l = 5 см. Найти радиус цилиндра такой же

высоты, полная поверхность которого была бы равновелика

полной поверхности усечённого конуса. (9 см)

20. Определить боковую поверхность усечённого конуса, если его

образующая составляет с плоскостью основания угол 30°,

а площадь осевого сечения равна F. (2 π F)

21. Боковая поверхность усечённого конуса равна S, а радиусы

оснований R и r. Определить боковую поверхность полного

конуса. ()

22. Определить высоту усечённого конуса, если его боковая

поверхность равновелика сумме оснований, а их радиусы

равны R и r. ()

23. Определить боковую поверхность усечённого конуса,

у которого образующая составляет с плоскостью основания

угол 45°, а радиусы оснований R и r. ()

24. Определить боковую поверхность усечённого конуса, если

его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°,

а площади оснований Q и q .

25. В усечённом конусе даны: высота Н, образующая l и боковая

поверхность S. Определить площадь осевого сечения. ()

26. В усечённом конусе определить площадь осевого сечения,

если даны площади оснований Q и q и боковая поверхность S.

()

27. В усечённом конусе радиусы оснований 1 см и 3 см. Определить

образующую, если полная поверхность усечённого конуса

должна быть равновелика всему тому круговому кольцу, в часть

которого развёртывается боковая поверхность усечённого

конуса. ()

8

§ 4. Объём цилиндра.

Объём цилиндра находим по формуле: V = πRH.

1. (Устно.) Найти объём тела, получаемого при вращении квадрата

вокруг его стороны а. ()

2. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого

равна 4. Найти объём цилиндра. ()

3. (Устно.) Как относятся объёмы цилиндра и его модели,

уменьшенной в масштабе 1 : 2, 1 : 3, ... , 1 : п?

(1 : 8; 1 : 27; …; 1 : п)

4. (Устно.) Как относятся объёмы двух цилиндров, имеющих

равные высоты? равные диаметры оснований?

(Как квадраты радиусов; как высоты)

5. (Устно.) Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра,

не меняя основания, чтобы объём его увеличился вдвое? в п раз?

(в 2 раза; в п раз)

6. (Устно.) Во сколько раз надо увеличить радиус основания

цилиндра, не меняя его высоты, чтобы объём его увеличился

вдвое? в п раз? (в раз; в раз)

7. (Устно.) Боковая поверхность (в кв. ед.) и объём цилиндра

(в куб. ед.) выражаются одним числом.

Определить диаметр цилиндра. (4 лин. ед.)

8. В цилиндр вписана правильная треугольная призма,

а в последнюю вписан цилиндр.

Найти отношение объёмов обоих цилиндров. (4 : 1)

9. Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности

основания С. Найти объём. ()

10. Боковая поверхность цилиндра развёртывается в квадрат

со стороной а. Найти объём. ()

11. Высота цилиндра равна H, и в развёртке его боковой

поверхности образующая составляет с диагональю угол 60°.

Определить объём. ()

12. Определить объём цилиндра, вписанного в правильную

шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.

9