Сборник задач по геометрии по теме "Призмы", 11 класс

Соловьёв В.А. У Сборник задач по геометрии для 11 класса Призмы 2007 г.

В настоящем сборнике нашли отражение

задачи по геометрии из учебника

«Геометрия, 7-11» Погорелова А.В., «Просвещение», 1992 г.

и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина

«Просвещение», 1974 г.

Ввиду того, что задач из учебника геометрии явно недостаточно для приобретения прочного навыка их решения, наиболее интересные задачи из указанных выше книг нашли отражение в этом сборнике.

85. В прямой треугольной призме стороны оснований равны

4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте

основания. Найдите объём призмы.

Ответ: 48 м.

86. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см,

а площади боковых граней 9 см, 10 см и 17 см.

Найдите объём.

Ответ: 12 см.

87. Основание призмы – треугольник, у которого одна сторона

равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и

составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро

равновеликого куба.

Ответ: 2 см.

88. Основанием наклонной призмы является равносторонний

треугольник со стороной а; одна из боковых граней

перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого

меньшая диагональ равна с. Найдите объём призмы.

Ответ: .

89. Чему равен объём прямой четырёхугольной призмы, если её

высота h, диагонали наклонены к плоскости основания

под углами α и β и острый угол между диагоналями основания

равен γ?

Ответ: .

12

§ 1. Угол прямой линии с плоскостью. Двугранный угол.

Призма.

? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как найти угол прямой линии с плоскостью?

2. Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?

3. Что такое линейный угол двугранного угла?

4. Зависит ли мера двугранного угла от выбора линейного угла?

5. Объясните, что такое трёхгранный угол

(грани и рёбра трёхгранного угла).

6. Объясните, что такое плоские и двугранные углы

трёхгранного угла.

7. Что такое многогранник?

8. Какой многогранник называется выпуклым?

9. Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина?

10. Что такое призма (основания призмы, боковые грани,

рёбра)?

11. Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных

плоскостях и равны, боковые рёбра параллельны и равны,

боковые грани – параллелограммы.

12. Что такое высота призмы?

13. Что такое диагональ призмы?

14. Что представляет собой сечение призмы плоскостью,

параллельной боковым рёбрам, в частности, диагональное

сечение?

15. Какая призма называется прямой (наклонной)?

16. Какая призма называется правильной?

17. Что такое боковая поверхность призмы

(полная поверхность призмы)?

18. Чему равна боковая поверхность прямой призмы?

19. Что такое параллелепипед?

20. Каким свойством обладают противолежащие грани

параллелепипеда?

1

21. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

22. Что такое куб?

23. Что такое линейные размеры прямоугольного

параллелепипеда?

24. Назовите свойство диагонали прямоугольного

параллелепипеда.

ЗАДАЧИ

Угол прямой линии с плоскостью

1. Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость,

если наклонная составляет с плоскостью проекции угол,

равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

2. Точка отстоит от плоскости на h. Найти длину наклонных,

проведённых из неё под следующими углами к плоскости:

1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

3. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся

на расстоянии 3 см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным

отрезком и плоскостью.

Ответ: 30°.

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две

наклонные, образующие с плоскостью углы в 45°, а между собой

угол в 60°. Определить расстояние между концами наклонных.

Ответ: .

5. Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные,

образующие с плоскостью углы в 45° и 30°, а между собой прямой

угол. Определить расстояние между концами наклонных.

Ответ: .

2

77*. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин

параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2α каждый.

Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: .

78. По стороне основания а и боковому ребру в найдите объём

правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырёхугольной;

3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

79. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 3,5 см,

а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объём призмы.

Ответ: 3 см.

80. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а,

боковая поверхность равновелика сумме оснований.

Найдите её объём.

Ответ: .

81. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего

диагонального сечения 4 м, а расстояние между двумя

противоположными боковыми гранями 2 м.

Найдите объём призмы.

Ответ: 6 м.

82. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное

боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра.

Найдите объём призмы, если площадь сечения Q, а боковые

рёбра равны l.

Ответ: Ql.

83. Боковые рёбра наклонной треугольной призмы равны 15 м,

а расстояния между содержащими их параллельными прямыми

26 м, 25 м и 17 м. Найдите объём призмы.

Ответ: 3060 м.

84. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции

с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м.

Найдите, сколько кубических метров земли приходится

На 1 км насыпи.

Ответ: 35 200 м.

11

Ответ: 30 м.

69. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если

увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность

увеличится на 54 см. Как увеличится его объём?

Ответ: Вдвое.

70. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ

которого а и составляет с плоскостью основания угол α,

а с боковой гранью угол β?

Ответ: .

71. В прямом параллелепипеде стороны основания а и в образуют

угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объём.

Ответ: .

72. В прямом параллелепипеде стороны основания 2 см и 5 см

образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна

7 см. Найдите его объём.

Ответ: 60 см.

73. Основание прямого параллелепипеда – ромб, площадь которого

1 м. Площади диагональных сечений 3 м и 6 м.

Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 3 м.

74. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь

ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.

Ответ: .

75. Основание наклонного параллелепипеда – квадрат, сторона

которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует

с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°.

Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: м.

76*. Грани параллелепипеда – равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: .

10

Двугранный угол

6. Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры

АА и ВВ на ребро угла. Найдите: 1) отрезок АВ, если АА = а,

ВВ = в, АВ = с и двугранный угол равен ; 2) двугранный

угол , если АА = 3, ВВ = 4, АВ = 6, АВ = 7.

Ответ: 1) ; 2) 60.

Диагонали параллелепипеда

7. Сколько диагоналей имеет п-угольная призма?

Ответ: п (п – 3).

8. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда

по трём его измерениям:

1) 1; 2; 2; 2) 2; 3; 6; 3) 6; 6; 7; 4) 8; 9; 12; 5) 12; 16; 21.

Ответ: 1) 3; 2) 7; 3) 11; 4) 17; 5) 29.

9. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны

основания равны 6 м и 8 м и одна на диагоналей основания равна

12 м. Определить диагонали параллелепипеда.

Ответ: 13 м и 9 м.

10. В предыдущей задаче заменить данные числа по порядку

следующими: 9 см, 7 см, 11 см и 14 см.

Ответ: ≈16,6 см и 15 см.

11. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см,

а одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ

с плоскостью основания составляет угол в 60°.

Определить диагонали параллелепипеда.

Ответ: 8 см и 10 см.

12. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 см и

5 см; расстояние между меньшими из них 4 см; боковое ребро

равно 2 см. Определять диагональ параллелепипеда.

Ответ: 7 см и 5 см.

13. Определить диагонали прямого параллелепипеда, у которого

каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.

Ответ: аи 2 а.

14. В прямом параллелепипеде стороны основания длиной 3 см и

4 см составляют угол в 60°, а боковое ребро есть средняя

пропорциональная между сторонами основания.

3

Определить диагонали этого параллелепипеда.

Ответ: 5 см и 7 см.

15. В прямом параллелепипеде рёбра, выходящие из одной

вершины, равны 1 м, 2 м и 3 м, причём два меньших образуют

угол в 60°. Определить диагонали этого параллелепипеда.

Ответ: 4 м и ≈ 3,464 (м).

16. Ребро куба равно а. Определять расстояние от вершины куба

до его диагонали.

Ответ:

Сечения параллелепипеда

17. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, проходящей через

сторону основания и одну из вершин другого основания.

18. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью,

проходящей через три точки на боковых ребрах призмы.

Прямая призма

19. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Докажите, что остальные боковые рёбра тоже

перпендикулярны плоскости основания.

20. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см,

17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения,

проведённого через боковое ребро и меньшую высоту

основания.

Ответ: 144 см.

21. Основанием призмы является правильный шестиугольник

со стороной а, боковые грани – квадраты. Найдите

диагонали призмы и площади её диагональных сечений.

Ответ: , 2а, 2а, .

22. В правильной четырёхугольной призме площадь основания

144 см, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.

Ответ: 22 см.

23. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой

грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения.

Ответ: Q.

4

60. (Устно.) Расстояние между боковыми рёбрами наклонной

треугольной призмы: 2 см, 3 см и 4 см; боковая поверхность

равна 45 см. Найти боковое ребро. Ответ: 5 см.

61. В наклонной четырёхугольной призме боковое ребро равно

8 см, а расстояния между последовательными боковыми

рёбрами: 3 си, 6 см, 2 см и 7 см. Определить её боковую

поверхность.

Ответ: 144 см .

62. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно

перпендикулярны; их общее ребро равно 24 см и отстоит от

двух других боковых рёбер на 12 см и 35 см. Определить

боковую поверхность этой призмы.

Ответ: 2016 см.

63. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми

рёбрами равны 37см, 15 см и 26 см, а боковая поверхность

равновелика перпендикулярному сечению. Определить боковое

ребро.

Ответ: 2 см.

64. В наклонной треугольной призме боковые рёбра содержат

по 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как

9 : 10 : 17, а его площадь равна 144 см. Определить боковую

поверхность этой призмы.

Ответ: 576 см.

65. Основанием параллелепипеда служит квадрат; одна из вершин

верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего

основания. Сторона основания равна а, боковое ребро равно в.

Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Ответ: .

Объём призмы

66. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объём увеличится на 98 см. Чему равно ребро куба?

Ответ: 3 см.

67. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объём

увеличится в 125 раз. Найдите ребро.

Ответ: 25 см.

68. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м.

Найдите ребро равновеликого ему куба.

9

51. (Устно.) Боковая поверхность правильной четырёхугольной

призмы равна 32 м, а полная поверхность 40 м.

Найти высоту. Ответ: 4м.

52. Определить полную поверхность правильной четырёхугольной

призмы, если её диагональ равна 14 см, а диагональ боковой

грани равна 10 см. Ответ: 192 + 32≈ 270 (см).

53. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 9 см,

а полная поверхность её равна 144 см. Определить сторону

основания и боковое ребро.

Ответ: 6 см и 3 см или 4 см и 7 см.

54. Определить полную поверхность прямой треугольной призмы,

если её высота равна 50 см, а стороны основания: 40 см, 13 см,

37 см. Ответ: 4980 см.

55. В прямой треугольной призме стороны основания равны 25 дм,

29 дм и 36 дм, а полная поверхность содержит 1620 дм.

Определить боковую поверхность призмы.

Ответ: 9 м.

56. В прямой треугольной призме стороны основания относятся как

17 : 10 : 9, а боковое ребро равно 16 см; полная поверхность

этой призмы содержит 1440 см.

Определить стороны основания.

Ответ: 34 см, 20 см и 18 см.

57. Основанием прямой призмы служит равнобедренный

треугольник, у которого боковая сторона относится

к основанию как 5 : 6. Высота призмы равна высоте основания,

опущенной на его боковую сторону; полная поверхность

содержит 2520 м. Определить рёбра призмы.

Ответ: 25 см, 25 см, 30 см, 24 см.

58. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция

АВСD со сторонами АВ = СD = 13 см, ВС = 11 см и АD=21 см;

площадь её диагонального сечения равна 180 см . Определить

полную поверхность этой призмы и площадь сечения АВСD.

Ответ: 906 см и 240 см.

59. Площадь наибольшего диагонального сечения правильной

шестиугольной призмы равна 1 м.

Найти боковую поверхность. Ответ: 3 м.

8

24. В прямой треугольной призме все ребра равны.

Боковая поверхность равна 12 м. Найдите высоту.

Ответ: 2 м.

Наклонная призма

25. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°.

Найдите высоту призмы.

Ответ: 7,5 см.

26*. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми

рёбрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между

большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Ответ: 12 см.

27. Расстояния между параллельными прямыми, содержащими

боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см,

3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см.

Найдите боковую поверхность призмы.

Ответ: 45 см.

Поверхность призмы

28. По стороне основания а и боковому ребру в найдите полную поверхность

правильной призмы: 1) треугольной;

2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

29. У параллелепипеда три грани имеют площади 1м, 2 м

и 3 м. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

Ответ: 12 м.

30. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м

образуют угол 30°, боковое ребро равно 5 м.

Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.

Ответ: 188 м.

31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см,

угол между ними 60°. Боковая поверхность равна 220 см.

Найдите полную поверхность.

Ответ: ≈ 262 см.

5

32. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см,

а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую

диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ

образует с плоскостью основания угол 60°.

Ответ: 10 см.

33. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое

ребро равно а, а угол основания равен 60°.

Ответ: 2 а, а.

34*. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания

6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м.

Найдите диагонали параллелепипеда.

Ответ: 13 м, 9 м.

35. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трём его

измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.

Ответ: 1) 3; 2) 7; 3) 11.

36. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и

24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм.

Найдите площадь диагонального сечения.

Ответ: 2 м.

37. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трём

его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.

Ответ: 1464 см.

38. Найдите боковую поверхность прямоугольного

параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q,

а площадь диагонального сечения М.

Ответ: .

39. Диагонали трёх граней прямоугольного параллелепипеда,

сходящиеся в одной вершине, равны а, в, с. Найдите линейные

размеры параллелепипеда.

Ответ: , , .

40. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник,

у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см.

Боковые грани образуют с основанием равные двугранные

углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: 3 см.

6

41. (Устно.) Поверхность куба равна 24 м. Найти его ребро. (2 м).

42. Определить ребро куба, если его поверхность равна:

1) 5046 см; 2) 793 см; 3) 47 м.

Ответ: 1) 29 см; 2) 11 см; 3) см.

43. Определять поверхность куба: 1) по его диагонали l;

по данной площади Q его диагонального сечения.

Ответ: 1) 2 l; 2) 3 Q.

44. Определить поверхность прямоугольного параллелепипеда

по трём его измерениям: а = 10 см, в = 22 см и с = 16 см.

Ответ: 1464 см.

45. Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3 : 7 : 8,

а поверхность содержит 808 см. Определить рёбра.

Ответ: 6 см, 14 см, 16 см.

46. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания

относятся как 7 : 24, а площадь диагонального сечения равна

50 дм. Определить боковую поверхность.

Ответ: 124 дм.

47. В прямом параллелепипеде стороны основания равны

10 см и 17 см; одна из диагоналей основания равна 21 см;

большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Определить

полную поверхность параллелепипеда.

Ответ: 1416 см.

48. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб

с диагоналями в 6 см и 8 см; диагональ боковой грани

равна 13 см.

Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Ответ: 288 см.

49. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а площади

диагональных сечений М и Q. Определить боковую

поверхность параллелепипеда.

Ответ:

50. (Устно.) В прямой треугольной призме все рёбра равны.

Боковая поверхность равна 12 м. Найти высоту. (2 м).

7