Сборник задач по геометрии по теме "Пирамиды"

Соловьёв В.А. У Сборник задач по геометрии для 11 класса Пирамиды 2007 г.

В настоящем сборнике нашли отражение

задачи по геометрии из учебника

«Геометрия, 7-11» Погорелова А.В., «Просвещение», 1992 г.

и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина

«Просвещение», 1974 г.

Ввиду того, что задач из учебника геометрии явно недостаточно для приобретения прочного навыка их решения, наиболее интересные задачи из указанных выше книг нашли отражение в этом сборнике.

84. В данной треугольной пирамиде двугранные углы

при основании равны между собой; стороны основания:

7 см, 8 см и 9 см; объём пирамиды 40 см.

Определить её боковую поверхность.

Ответ: 60 см.

85. (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды а, в и с

взаимно перпендикулярны. Найти объём пирамиды.

Ответ: .

86. Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды –

равносторонние треугольники со стороной 4 см.

Найти объём пирамиды.

Ответ: 8 см.

87. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно

перпендикулярны, площади их равны 6 м, 4 м и 3 м.

Найти объём пирамиды

Ответ: 4 м.

88. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4;

каждое из остальных равно 3. Найти объём пирамиды.

Ответ: .

89. В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см;

противолежащее ей боковое ребро 18 см; каждое из четырёх

остальных рёбер равно 17 см.

Определить объём этой пирамиды.

Ответ: 576 см.

90. (Устно. Какую часть объёма пирамиды отсекает

среднее сечение? Ответ: .

91. Площадь сечения, параллельного основанию пирамиды,

составляет 0,36 её основания.

В каком отношении сечение делит объём пирамиды?

Ответ: 27 : 98.

92. Центры граней правильного тетраэдра служат верши нами

нового правильного тетраэдра.

Найти отношение их поверхностей и объёмов.

Ответ: 1 : 9; 1 : 27.

13

Неправильная пирамида

77. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м; каждое из боковых

рёбер равно 12,5 м. Найти объём пирамиды.

Ответ: 360 м.

78. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами

6 см и 15 см, высота проходит через точку пересечения

диагоналей основания, и боковая поверхность равна 126 см.

Определить объём этой пирамиды.

Ответ: 120 см.

79. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,

у которого равные стороны по 6 см, а третья сторона 8 см.

Боковые рёбра равны между собой, и составляют 9 см.

Определить объём этой пирамиды.

Ответ: 48 м.

80. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол

между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые рёбра

образуют с плоскостью основания углы в 45°.

Определить объём этой пирамиды.

Ответ: .

81. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами

39 см, 17 см и 28 см; все боковые рёбра равны по 22,9 м.

Определить объём этой пирамиды.

Ответ: 420 см.

82. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,

у которого равные стороны содержит по 39 см, а третья сторона

30 см. Двугранные углы при основании равны между собой,

и каждый равен 45°. Определить объём этой пирамиды.

Ответ: 1800 см.

83. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,

у которого равные стороны содержат по 7 см, а третья сторона

6 см; вершина пирамиды удалена от всех сторон основания

на одинаковое расстояние, которое относится к высоте пирамиды

как 5 : 4. Определить объём этой пирамиды.

Ответ: 16 см.

12

§ 1. Пирамиды

? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое пирамида?

(Основание пирамиды, боковые грани, рёбра, высота).

2. Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями,

проходящими через её вершину?

3. Что такое диагональное сечение пирамиды?

4. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей

через данную прямую в плоскости основания пирамиды

и заданную точку на одной из боковых граней?

5. Сформулируйте свойство плоскости, пересекающей пирамиду

и параллельной её основанию.

6. Объясните, что такое усечённая пирамида.

7. Какая пирамида называется правильной?

Что такое ось правильной пирамиды?

8. Что такое апофема правильной пирамиды?

9. Чему равна боковая поверхность правильной пирамиды?

ЗАДАЧИ

1. По данной стороне основания а и боковому ребру в

определить высоту правильной пирамиды:

1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

2. По данной стороне основания а и высоте h определить

апофему правильной пирамиды:

1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

1

3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7 см,

сторона основания равна 8 см. Определить боковое ребро.

Ответ: 9 см.

4. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого

стороны равны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота

пирамиды, проходящая через точку пересечения диагоналей

основания, равна 4 см. Определить боковые рёбра пирамиды.

Ответ: 5 см и 6 см.

5. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,

у которого основание равно 6 см и высота 9 см; боковые рёбра

равны между собой, и каждое содержит 13 см.

Определить высоту этой пирамиды.

Ответ: 12 см.

6. Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см;

каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.

Вычислить высоту пирамиды.

Ответ: 12 см.

Сечения пирамиды

7. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 14 см, а длина бокового

ребра 10 см.

Определить площадь диагонального сечения.

Ответ: 14 см.

8. В правильной шестиугольной пирамиде высота равна h, а сторона

основания а. Определить площади диагональных сечений.

Ответ: ; .

9. В правильной треугольной пирамиде по стороне основания а

и боковому ребру в определить площадь сечения, проведённого

через боковое ребро и высоту пирамиды.

Ответ: .

10. (Устно.) В пирамиде проведено сечение параллельно основанию

через середину высоты. Площадь основания равна Q.

Определить площадь сечения.

Ответ: Q.

2

70. (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно

перпендикулярны, каждое из них равно в.

Найти объём пирамиды.

Ответ: .

71. Определить объём правильной треугольной пирамиды,

у которой сторона основания равна а, а боковые рёбра

взаимно перпендикулярны.

Ответ: .

72. По ребру а правильного тетраэдра определить

его поверхность и объём.

Ответ: ; .

73. Сторона основания правильной треугольной пирамиды а,

а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 °.

Определить объём пирамиды.

Ответ: .

74. Высота правильной треугольной пирамиды h, а боковая грань

образует с плоскостью основания угол 60°.

Определить объём пирамиды.

Ответ: .

75. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а,

а двугранный угол при основании равен 45°.

Определить объём пирамиды.

Ответ: .

76. В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей

объём V, боковое ребро вдвое более стороны основания.

Определить сторону основания и угол бокового ребра

с плоскостью основания.

Ответ: ; 60°.

11

62. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота

равна 12 см, разность сторон оснований 10 см и полная

поверхность равна 512 см. Определить стороны оснований.

Ответ: 2 см и 12 см.

63. Основаниями усечённой пирамиды служат прямоугольники,

причём точки пересечения диагоналей оснований находятся

на одном перпендикуляре к плоскости основания. Стороны

одного прямоугольника равны 54 см и 30 см; периметр другого

прямоугольника – 112 см; расстояние между их плоскостями

равно 12 см.

Определить боковую поверхность этой усечённой пирамиды.

Ответ: 1920 см.

64. В усечённой пирамиде сходственные стороны оснований

относится как 3 : 11. В каком отношении её боковая

поверхность делится средним сечением?

Ответ: 5 : 9.

§ 5. Объём пирамиды.

Правильная пирамида

65. По стороне основания а и боковому ребру в определить объём правильной пирамиды:

1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

66. (Устно.) В правильной четырёхугольной пирамиде высота 3 м,

боковое ребро 5 м. Найти объём.

Ответ: 32 м.

67. Объём правильной шестиугольной пирамиды 6 см.

Сторона основания 1 см. Найти боковое ребро.

Ответ: 7 см.

68. Апофема правильной треугольной пирамиды равна k,

а высота h. Найти объём.

Ответ: .

69. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды Q

и боковая поверхность S. Определить объём (Q = 12, S = 24).

Ответ: .

10

11. Высота пирамиды разделена на четыре равные части, и через

точки деления проведены плоскости, параллельные основанию.

Площадь основания равна 400 см.

Определить площади полученных сечений.

Ответ: 25 см, 100 см, 225 см.

12. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту

в отношении 3 : 4 (от вершины к основанию), а площадь

сечения меньше площади основания на 200 см.

Определить площадь основания.

Ответ: 245 cм.

13. На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой h надо

провести сечение параллельно основанию, чтобы площадь

сечения равнялась половине площади основания?

Ответ: .

14. Высота пирамиды равна 16 м; площадь основания равна

512 м. На каком расстоянии от основания находится сечение,

параллельное основанию, содержащее 50 м?

Ответ: 11 м.

15. В пирамиде площадь основания равна 150 см, площадь

параллельного сечения 54 см, расстояние между ними

равно 14 см. Определить высоту пирамиды.

Ответ: 35 см.

§ 2. Поверхность пирамиды.

Правильные пирамиды

16. По стороне основания а и высоте h определить полную поверхность правильной пирамиды:

1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Ответ: 1) ; 2) ;

3) .

3

17. Определить боковую поверхность правильной треугольной

пирамиды, если её высота равна 4 см, а апофема 8 см.

Ответ: 288 см.

18. Определить полную поверхность правильной шестиугольной

пирамиды, если апофема пирамиды равна k и апофема

основания r.

Ответ: .

19. Определить высоту правильной треугольной пирамиды, если

сторона основания равна а, а боковая поверхность вдвое

больше площади основания.

Ответ: а/2.

20. В правильной четырёхугольной пирамиде боковая поверхность

равна 14,76 м, а полная поверхность 18 м.

Определить сторону основания и высоту пирамиды.

Ответ: 1,8 м и 4 м.

21. Определить боковую поверхность правильной треугольной

пирамиды, если сторона основания равна а и боковое ребро

составляет с плоскостью основания угол 45°.

Ответ: .

22. По стороне основания а определить боковую поверхность

правильной четырёхугольной пирамиды, у которой диагональное

сечение равновелико основанию.

Ответ: .

23. Определить сторону основания правильной четырёхугольной

пирамиды по её высоте h и боковой поверхности Р.

Ответ: .

24. Определить сторону основания и апофему правильной

треугольной пирамиды, если её боковое ребро и боковая

поверхность соответственно равны 10 см и 144 см.

Ответ: 16 см и 6 см или 12 см и 8 см.

25. В правильной четырёхугольной пирамиде определить сторону

основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность

равна 16 см.

Ответ: (см).

4

Ответ: ; .

§ 4. Поверхность усечённой пирамиды.

56. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны

оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м.

Найти полную поверхность.

Ответ: 168 м.

57. Стороны оснований правильной треугольной усечённой

пирамиды 6 дм и 12 дм; высота равна 1 дм.

Найти боковую поверхность.

Ответ: 54 дм.

58. Стороны оснований правильной шестиугольной усечённой

пирамиды 4 см и 2 см; высота 1 см. Найти боковую поверхность.

Ответ: 36 см.

59. Определить полную поверхность правильной усечённой

пирамиды:

1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной,

если даны высота h и стороны оснований а и в (а в).

Ответ: 1) ;

2) ;

3) .

60. Определить высоту правильной четырёхугольной усечённой

пирамиды, если стороны её оснований а и в, а боковая

поверхность равновелика сумме оснований.

Ответ: .

61. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде апофема

равна 12 см, боковое ребро равно 13 см и боковая поверхность

равна 720 см.

Определить стороны оснований.

Ответ: 20 см и 10 см.

9

48. В правильной треугольной усечённой пирамиде стороны

оснований равны 8 м и 5 м, а высота 3 м. Провести сечение

через сторону нижнего основания и противоположную ей

вершину верхнего основания. Определить площадь сечения

и двугранный угол между сечением и нижним основанием.

Ответ: 24 м; 30°.

49. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны

оснований равны 6 см и 8 см, а боковое ребро 10 см. Провести

сечение через конец диагонали меньшего основания

перпендикулярно к этой диагонали и определить его площадь.

Ответ: 14 см.

50. Соответственные стороны оснований усечённой пирамиды

относятся как 13 : 17, а периметр среднего сечения равен 45 м.

Определить периметры оснований.

Ответ: 39 м и 51 м.

51. Площади оснований усечённой пирамиды 9 см и 25 см.

Найти площадь среднего сечения.

Ответ: 16 см.

52. Даны площади оснований усечённой пирамиды: 2 м и 98 м.

Определить площадь параллельного сечения, проведённого

через середину высоты.

Ответ: 32 м.

53. Высота усечённой пирамиды равна h, а площади оснований

Q и q. На каком расстояния от верхнего основания находится

параллельное ему сечение, площадь которого есть средняя

пропорциональная между площадями оснований?

Ответ: .

54. Площади оснований усечённой пирамиды равны 18 м и 128 м.

Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту

в отношения 2 : 3 (начиная от меньшего основания).

Ответ: 50 м.

55. Высота усечённой пирамиды разделена на три равные части и

через точки деления проведены плоскости, параллельные

основаниям. Определить площади полученных сечений,

если площади оснований Q и q (Q = 32; q = 2).

8

26. Определить боковую поверхность правильной шестиугольной

пирамиды, если сторона основания равна а, а боковая грань

равновелика диагональному сечению, проведённому через

диаметр основания. Ответ: .

27. Центр верхнего основания куба и середины сторон нижнего

основания служат вершинами вписанной в этот куб пирамиды.

Определить её боковую поверхность по данному ребру куба а.

Ответ: .

Неправильные пирамиды

28. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды

проходит через точку пересечения диагоналей ромба, лежащего

в основании пирамиды, и равна 1 м.

Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Ответ: 26 м.

29. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого

стороны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см; высота

пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей

основания и равна 12 см.

Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Ответ: 768 см.

30. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого

стороны равны 5 м и 4 м, а одна из диагоналей 3 м; высота

пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей

основания и равна 2 м.

Определить полную поверхность этой пирамиды.

Ответ: 33,66 (м).

31. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,

у которого одна сторона содержит 40 см, а две другие по 25 см.

Высота пирамиды проходит через вершину угла, образуемого

равными сторонами основания, и равна 8 см.

Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Ответ: 540 см.

32. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами:

13 см, 14 см и 15 см. Боковое ребро, противолежащее средней

по величине стороне основания, перпендикулярно к плоскости

основания и равно 16 см. Определить полную поверхность

этой пирамиды. Ответ: 448 см.

5

§ 3. Усечённая пирамида.

33. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна

7 см. Стороны оснований 10 см и 2 см. Определить боковое ребро.

Ответ: 9 см.

34. Стороны оснований правильной треугольной усечённой

пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найти высоту.

Ответ: 1 дм.

35. Определить высоту правильных усечённых пирамид:

1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной, если даны

боковое ребро с и стороны а и в нижнего и верхнего оснований.

Ответ: 1) : 2) ; 3) .

36. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота

равна 63 см, апофема равна 65 см, а стороны оснований относятся

как 7 : 3. Определить эти стороны.

Ответ: 56 см и 24 см.

37. (Устно.) Сколько диагоналей можно провести в усечённой

пятиугольной пирамиде? в усечённой п-угольной пирамиде?

Ответ: 10; п(п – 3).

38. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота

равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см.

Определить диагональ этой усечённой пирамиды.

Ответ: 6 см.

39. Определить стороны оснований правильной четырёхугольной

усечённой пирамиды, если её высота равна 7 см, боковое ребро

9 см и диагональ 11 см.

Ответ: 2 см и 10 см.

40. Диагонали АС и АС правильной четырёхугольной усечённой

пирамиды АВСDАВСD взаимно перпендикулярны;

каждая из них равна 2. Найти высоту.

Ответ: .

41. Диагонали данной правильной четырёхугольной усечённой

пирамиды перпендикулярны к боковым рёбрам; сторона

нижнего основания равна 9 см и боковое ребро равно 8 см.

6

Определить сторону верхнего основания высоту усечённой

пирамиды и расстояние от точки пересечения её диагоналей

до плоскости нижнего основания.

Ответ: 1 см; 6см; 5см.

42. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде сторона

большего основания а, сторона меньшего в. Боковое ребро

образует с основанием угол 45°. Найти боковое ребро.

Ответ: а – в.

43. Стороны основания правильной треугольной усечённой

пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим

основанием угол 60°. Найти высоту.

Ответ: 2 см.

Сечения пирамиды

44. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8.

Найти площади диагональных сечений.

Ответ: 20 ≈ 28.

45. В правильной усечённой треугольной пирамиде сторона

большего основания а, сторона меньшего в. Боковое ребро

образует с основанием угол в 45°. Провести сечение через

боковое ребро и ось и найти его площадь.

Ответ: .

46. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

равна 4 см, диагональ 5 см.

Найти площадь диагонального сечении.

Ответ: 12 см.

47. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади

оснований Q и q, а боковое ребро составляет c плоскостью

нижнего основания угол 45°.

Определить площадь диагонального сечения.

Ответ: .

7