Разработка элективного курса по обучению учащихся методам решений уравнений с параметрами

РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО ОБУЧЕНИЮ УЧАЩИХСЯ МЕТОДАМ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ ( 9 класс)

Разработала: учитель математики и информатики

МБОУ «СШ № 33» города Смоленска

Давыдовская Анастасия Юрьевна

1. Пояснительная записка

Задачам с параметрами отведена одна из главных ролей в формировании математической культуры и логического мышления учащихся. В техническом и логическом плане задачи с параметрами кажутся для учащихся сложными, поэтому умение решать подобного рода задачи в большинстве своем предопределяет благополучную сдачу ОГЭ и ЕГЭ.

Не вводя термин параметр, школьники знакомятся с ним в 7 классе при изучении линейного уравнения и при изучении квадратичного уравнения в 8 классе. В прочем в учебниках математики недостаточно задач, содержащих параметры.

Задачи с параметрами предназначены для школьников, обладающих довольно хорошей математической подготовкой, имеющих интерес к изучаемому предмету. Уравнения с параметрами и их решение - это исследовательская деятельность. Это связано с тем, что выбор способа, процесс решения и запись ответа предполагают определенную степень владения такими умениями как: наблюдение, сравнение, анализ, выдвижение и проверка гипотезы, обобщение полученных результатов.

Данный элективный курс, разработанный для учащихся 9 класса, не только позволит подготовить выпускников к ОГЭ и ЕГЭ, но и дополнит базовую программу полезными и новыми знаниями.

Отдельные задачи, взяты из контрольно - измерительных материалов ЕГЭ и ОГЭ, являются примерами к представленному в работе материалу. В конце каждого раздела предложены задачи для самостоятельной работы, которые помогут учащимся отработать полученные навыки решения задач, выявят «слабые» места в подготовке с целью их устранения и повторной отработки теоретического материала.

При изучении материала предполагаются различные формы и методы обучения:

• лекции;

• практические занятия;

• индивидуальная и групповая работа;

• взаимное обучение;

• проектная деятельность.

Данный курс рассчитан на 34 учебных часа, по 2 или 1 часу в неделю. Данный курс предназначен для учащихся 9 класса.

Цели элективного курса:

- сформировать представления о задачах с параметрами и изучить методы их решения;

- развивать самостоятельную, познавательную и научно- исследовательскую деятельность;

- подготовить к сдаче экзамена в форме ОГЭ/ЕГЭ;

- содействовать развитию учебной мотивации школьников, а также выбору профиля обучения в дальнейшем.

Задачи элективного курса:

- обобщение, систематизация и углубление знаний и умений при решении задач с параметрами;

- повышение уровня математической культуры;

-развитие логического и аналитического мышления при решении нестандартных задач с параметрами;

-показать многообразие задач с параметрами, сформировав у учащихся представление как о задачах исследовательского характера;

-обеспечение высокого уровня математической подготовки для сдачи ЕГЭ/ОГЭ.

Ожидаемые результаты элективного курса:

На основе поставленных задач необходимо достичь следующих результатов:

-уметь решать линейные, квадратные, дробно-рациональные и иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;

- использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функций;

- овладеть способами решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций;

- осуществлять оптимальный выбор метода решения задачи и обосновывать его.

Требования к подготовке учащихся по результатам изучения элективного курса:

В результате изучения данного курса учащиеся должны:

знать:

- понятие параметра;

- основные типы задач с параметрами;

- алгоритмы решения задач с параметрами;

- области определения уравнений с параметрами;

- определение равносильности и следования уравнений и их систем;

- равносильные и неравносильные преобразования.

уметь:

- решать уравнения с параметрами, выбирая правильный способ решения;

- использовать свойства функций в задачах;

- использовать графики при решении задач с параметрами;

- правильно записывать ответ

Ожидаемые результаты

После завершения курса учащиеся смогут:

- определять вид уравнения с параметрами и рациональный способ решения;

- находить взаимосвязь задач с параметрами с геометрическими закономерностями и физическими процессами;

- уметь пользоваться дополнительной математической литературой;

- уметь применять приобретенные знания и навыке при сдаче ОГЭ/ЕГЭ.

Формы итогового контроля элективного курса

В качестве итоговых форм контроля предлагаются контрольные и самостоятельные работы, тестирование, контрольная работа. Эти виды работ включают задачи, рассмотренные на занятиях и включенные в домашнюю контрольную работу.

Учащимся, нацеленным на выполнение более сложных заданий, предлагается выполнить проекты по заданным темам или темам по выбору.

Темы проектов и рефератов:

1. Параметр как равноправная переменная.

2. Нестандартные задачи из ОГЭ.

3. Координатная плоскость (х, а).

1. Содержание курса

В программу элективного курса включены следующие темы и ориентировочное время для их изучения:

№ п/п	Название темы	Кол-во часов	Форма проведения	Образовательный продукт
1-2	Введение. Первое знакомство с параметрами	2	лекция	опорный конспект
3-4	Линейные уравнения с параметрами и алгоритм их решения.	2	лекция	опорный конспект
5-6	Отработка навыка решения линейных уравнений с параметрами	2	практикум	подборка заданий
7-8	Квадратные уравнения с параметрами и алгоритм их решения.	2	лекция	блок-схема
9-12	Отработка навыка решения квадратных уравнений с параметрами	4	практикум	задания-исследования
13	Самостоятельная работа	1	работа в парах	задания-исследования
14-15	Дробно-рациональные уравнения с параметрами и алгоритм их решения.	2	лекция	блок-схема
16-17	Отработка навыка решения дробно-рациональных уравнений.	2	практикум	подборка заданий
18-19	Иррациональные уравнения с параметрами и алгоритм их решения.	2	лекция	опорный конспект
20-21	Отработка навыка решения иррациональных уравнений.	2	практикум	подборка заданий
22	Самостоятельная работа	1	практикум	подборка заданий
23-25	Аналитический метод решения уравнений с параметрами	3	практикум	исследовательская работа
26-28	Графический метод решения уравнений с параметрами.	3	практикум	исследовательская работа
29-33	Решение нестандартных задач. Задачи из ОГЭ	5	практикум	задания-исследования
34	Контрольная работа	1	практикум	подборка заданий
	Итого	34

Содержание тем учебного курса

Тема 1-2. Введение. Первое знакомство с параметрами

• понятие параметра;

• понятие уравнения с параметром;

• основные типы задач с параметрами и методы их решения;

• оформление задач с параметрами.

Тема 3-4. Линейные уравнения с параметрами и алгоритм их решения

• определение линейного уравнения с параметром;

• алгоритм решения линейных уравнений с параметрами в общем виде;

• оформление решения линейных уравнений с параметрами.

Тема 5-6. Отработка навыков решения линейных уравнений с параметрами

• решение линейных уравнений с параметрами разной сложности.

Уметь решать задания следующего типа:

1. Для каждого значения b решить уравнение bx=3.

2. Для каждого значения b решить уравнение bх - b=4 - х

3. Найти значение b, при каждом их которых уравнение

b(6x-b)=12x - 8 имеет положительный корень.

Тема 7-8. Квадратные уравнения с параметрами и алгоритм их решения

• понятие квадратного уравнения с параметром;

• алгоритм решения квадратных уравнений с параметрами;

• применение теоремы Виета и ей обратной для квадратных уравнений с параметрами;

• решение квадратных уравнений с параметрами с начальными условиями и без них;

• расположение корней квадратного уравнения с параметром относительно точек;

• оформление решения квадратных уравнений с параметрами.

Тема 9-12. Отработка навыков решения квадратных уравнений с параметрами

• решение квадратных уравнений с параметрами различной сложности.

Уметь решать задания следующего типа:

1. При каких значениях параметра c уравнение (с+1) х² +х – 1=0 имеет единственное решение?

2. Найти все значения параметра, при каждом их которых сумма квадратов корней уравнения х²+cx+с – 2=0 будет наименьшей.

3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых квадратный трехчлен (c²-1)х²+2(c-1)х+2 положителен для любого х.

4. Найдите все значения параметра c, при каждом их которых корни квадратного уравнения 4х²-2х+c=0 противоположны по знаку

5. Найти все значения параметра c, при каждом из которых оба корня уравнения (1+c) x² -3cx+4c=0 меньше 1.

Тема 13. Самостоятельная работа

• решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.

Самостоятельная работа № 1.

1. Решите уравнение с параметром b·х=7

2. Решите уравнение с параметром 23- b·х=х

3. При каких значениях b уравнение bх² - 2х + 5 = 0 имеет один корень?

4. Решите уравнение с параметром (b + 1)х² –2 х + 1 -b = 0.

5. При каких значениях параметра b число 3 находится между корнями уравнения х² – 2(b + 1)х + 4 – b = 0?

Тема 14-15. Дробно-рациональные уравнения с параметрами и алгоритм их решения.

• определение дробно-рациональных уравнений с параметрами;

• алгоритм решения дробно-рациональных уравнений с параметрами;

• оформление решения дробно-рациональных уравнений с параметрами.

Тема 16-17. Отработка навыка решения дробно-рациональных уравнений

• решение дробно - рациональных уравнений с параметрами.

Уметь решать задания следующего типа:

1. Решить уравнение с параметром _

2. Решить уравнение с параметром _

3. При каких значениях параметра p уравнение _ имеет единственное решение?

4. Решить уравнение с параметром _

5. Решить уравнение с параметром _

Тема 18-19. Иррациональные уравнения с параметрами и алгоритм их решения

• определение иррациональным уравнениям с параметрами;

• алгоритм решения иррациональных уравнений с параметрами;

• оформление решения иррациональных уравнений с параметрами.

Тема 20-21. Отработка навыка решения иррациональных уравнений

• решение иррациональных уравнений с параметрами.

Уметь решать задания следующего типа:

1. Решить уравнение с параметром _

2. Решить уравнение с параметром _

3. Решить уравнение с параметром _= x.

4. Решить уравнение с параметром _=1-c

5. Решить уравнение с параметром (_{ } + _ = 0

Тема 22. Самостоятельная работа

• решение дробно - рациональных и иррациональных уравнений с параметрами.

Самостоятельная работа № 2.

1. При каких значениях b уравнение _ не имеет решений?

2. Решить уравнение с параметром _.

3. При каких значениях b _уравнение имеет единственное решение?

4. При каких значениях параметра b уравнение _ имеет корень х₀=0?

5. Решить уравнение с параметром _.

Тема 23-25. Аналитический метод решения уравнений с параметрами

• определение равносильности;

• определение абсолютной величины;

• равносильность преобразований и исключение посторонних корней;

• свойства квадратичной и линейной функций;

• образец оформления решения разных типов уравнений с параметрами аналитическим методом.

Тема 26- 28. Графический метод решения уравнений с параметрами

• определения следующих понятий: область определения, множество значений, четность, монотонность, периодичность функций;

• оформление решения уравнений с параметрами графическим методом;

• анализ иллюстрации, полученный графическим методом.

Тема 29-33. Решение нестандартных задач. Задачи из ОГЭ

• решение нестандартные по условию задачи, связанные с уравнениями с параметром;

• решение задачи прошлых лет из контрольно – измерительных материалов ОГЭ.

Тема 34. Контрольная работа

• проверка уровня усвоения материала по теме «Уравнения с параметрами»

Контрольная работа

1. Решите уравнениеc параметром 5x-18p=21-5рx-p.

2. При каких значениях m уравнение 2px²-2x-3p-2=0 имеет единственное решение?

3. Решите уравнение с параметром _.

4. Решите уравнение с параметром _.

5. Укажите все значения параметра p, при которых график функций y=x²+px+1 и y=x²+x+p пересекают ось абсцисс хотя бы в одной точке.

1. Учебно - методическая литература для элективного курса

Литература для учеников:

1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами. — Минск, 1996.

2. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. — М., 1995.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. – М: Просвещение, 1996.

1. ОГЭ 2016. Математика: тренировочные задания / В.В. Мирошин. – Москва: Эксмо, 2015. – 96с.: ил. – (ОГЭ. Тренировочные задания).

2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по мате­матике. Решение задач: — М.: Просвещение, 1989.

3. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ.- С.-П., 2004.

4. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства с параметрами. - М, Просвещение, 2007 .

Литература для учителя:

1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ: Учеб. пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. — М.: Просвещение, 1995.

2. .Горнштейн П.И. Полонский В.Б. Якир М.С. Задачи с параметрам.- М, 2002

3. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. Ч. 1 и 2. — Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2000.

4. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Писарев В.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1996.

5. Мухаметзянова Ф.С. Учебно-методический комплект по элективному курсу. Ульяновск: ИПК ПРО, 2005.

6. ОГЭ 2016. Математика. Сборник заданий: 9 класс / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – Москва : Эксмо, 2016. – 224 с. – (ОГЭ. Сборник заданий)

7. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. — М.: Просвещение, 1989.

8. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 1995.

Электронно-образовательные ресурсы:

1. http://www.prosv.ru/- сайт издательства «Просвещение»

(рубрика «Математика»)

1. http://www.intellectcentre.ru/– сайт издательства «Интеллект-Центр»

2. http://www.edu.ru/ - сайт Министерства Образования

3. http://www.kokch.kts.ru/cdo/index.htm - тестирование online: 5 - 11 классы.

4. http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция Цифровых образовательных ресурсов.

5. Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ:

http://www.fipi.ru/

http://mathege.ru/or/ege/

https://ege.yandex.ru/mathematics-gia/

http://samopodgotovka.com/index.php/matematika.html