Производные сложных функций. Производные высших порядков

ПрактическАЯ РАБОТА№ 4

Тема: Производные сложных функций. Производные высших порядков

Цели:

• повторить правило для нахождения производных сложных функций

• изучить правило для нахождения производных высших порядков

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых восьми примеров из задания 2.

оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых шести примеров из задания 2.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 5

- Выписать в тетрадь формулы и правила для вычисления производных

- Записать в тетрадь решение рассмотренных примеров

Задание 2.

Решить примеры для самостоятельного решения

Лекция 5.

Тема «Производные сложных функций».

Пусть у = у(u) и u = u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция у = у(u(x)) есть также дифференцируемая функция, причем

у'_х = у'_uЭто правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, её составляющих.

Примеры:

1. у(х) =

y'(x) = ((3

2. у(х) =

y'(x) = ( =

3. у(х) = sin(ln

y'(x) = (sin(ln )' )' = cos(ln =

4.у(х) =

y'(x) = ( = = =tgx

5. у(х) = arctgln2x

y'(x) = =

6.у(х) = (6x² - +5)²

у(х) = (6x²– 2x^-4+5)²

y'(x) =2(6x² – 2x^-4+5) (6x² – 2x^-4+5) = 2(6x² – 2x^-4+5) (12x+8x^-5) =

= (12x² - +5) (12x + )

Тема «Производные и дифференциалы высших порядков»

Производная второго порядка (вторая производная) от функции у = f(х) есть производная от её первой производной: у''= (f '(x))'

Производная третьего порядка (третья производная) от функции у = f(х) есть производная от её второй производной: у'''= (f ''(x))'

Производная п-го порядка ( п-я производная) от функции у = f(х) есть производная от её (п – 1)-й производной: у ^(п) = (f ^(п-1) (x))'

Дифференциал второго порядка (второй дифференциал) функции у = f(х) есть дифференциал от её первого дифференциала: d²y = d(dy)

Дифференциал третьего порядка (третий дифференциал) функции у = f(х) есть дифференциал от её второго дифференциала: d³y = d(d²y)

Дифференциал п-го порядка (п-й дифференциал) функции у = f(х) есть дифференциал от её (п – 1)-го дифференциала: dⁿy = d(d^n-1y)

Если х независимая переменная, то dⁿy = у ^(п) dxⁿ, откуда у ^(п) = ,

т. е. п-я производная функции у = f(х) равна отношению её п-го дифференциала dⁿy к п-й степени дифференциала независимой переменной dx.

Если функция имеет производную п-го порядка, то говорят, что функция дифференцируемап раз

Примеры: Найти производные второго порядка от указанных функций

1. у(х) = (2х+5)³

у'(х) = 3(2х+5)²(2х+5)' = 3(2х+5)²2= 6(2х+5)²

у''(х) = (6(2х+5)²)' = 62 = 24(2х+5)

2. у(х) =

у'(х) = ( + )'= +(-sinx) =

у''(х) = ( + + = = -2

3. Найти второй дифференциал и третью производную от функции y = xln2x в точке x = 2

Решение: Дифференцируя данную функцию, получим

у'(х) = ln2x + х = ln2x + 1

Дифференцируя производную у', найдем вторую производную

у''= (у '(x))' = (ln2x + 1)' =(ln2 + lnx + 1)' =

и второй дифференциал d²y = x².

Таким образом, третья производная у''' = (у '')' = -

При х = 2 имеем у'''(2) =- = -

Задание 2. Решить примеры

Примеры для самостоятельного решения

1. y(x) = - + - + 4xНайти: y'(x)

2. y(x) = 2 + - - + 1 Найти: y'(x).

3. y(x) = - + - + 3х Найти: y'(1).

4. y(x) = 4х³ - + - Найти: y'(1).

5. у(х) = + - - +5Найти: y'(1).

6. у(х) = Найти: y'(x)

7. у(х) = (cosx - Найти: y'(x)

8.у(х) = Найти: y'(x)

9. у(х) = Найти: y'(x)

10. у = Вычислить производную второго порядка

11. у = ln (2x – 3)Вычислить производную второго порядка

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

• устный опрос.

1. Назвать правило для вычисления производных сложных функций

2. Назвать правило для вычисления производных высших порядков

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия