Программа элективного курса по математике « Тригонометрия»

КГУ «Средняя школа №17»

акимата города Рудного

Программа элективного курса по математике

« Тригонометрия»

Ульянич Е.В.

учитель математики

1 категории

г.Рудный, 2014Пояснительная записка

Главной целью обучения математике в средней школе является развитие способностей к получению математических знаний , научить учиться и развивать интеллект учащегося , что обеспечит прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для изучения сложных дисциплин .

Опыт работы показывает, что раздел математики «Тригонометрия» вызывает у учащихся затруднения в усвоении материала . В связи с этим, целесообразно вынести некоторые упражнения за пределы урока и рассмотреть их . Поэтому элективный курс разработан для углубления и расширения знаний учащихся .Курсу присущи систематизирующий и обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных на уроках математики.

Элективный курс позволяет учитывать, что важной для учащихся является задача подготовки к экзамену ЕНТ, восполнение пробелов в знаниях, их систематизация, выполнение контрольных работ, тестовых заданий. Поэтому предложенный курс позволяет восполнить пробелы в знаниях , систематизировать полученную информацию на уроках математики, выработать самостоятельность в подготовке к аттестации обучающегося, удовлетворить образовательные потребности учащихся, осваивающих как базовый уровень математики, так и профильный уровень, помогает в подготовке для продолжения получения образования в ВУЗах и успешного применения полученных знаний в будущей профессиональной деятельности и в повседневной жизни.

Цель курса: углубить знания учащихся в области тригонометрии, развить интерес к этому разделу математики, обеспечить активное погружение в деятельность, благодаря которой обучающиеся осознают необходимость не только приобретения основных знаний, но и усовершенствует практические навыки в решении задач.

Задачи курса:

• обобщить и углубить знания по основным темам тригонометрии.

• подготовить учащихся к решению задач по тригонометрии уровней «В» и «С»

• расширить кругозор учащихся

• показать прикладной характер тригонометрии.

Структура программы

Программа рассчитана на 68 часа (2 час в неделю.)

Программа составлена в соответствии с программой общеобразовательных школ Республики Казахстан с учетом профилизации (естественно-математическое направление). В программе отведено необходимое количество часов для каждого раздела. Предлагаемые задачи содержат как вопросы, требующие знания теоретического материала, так и задачи повышенной сложности, требующие нестандартного подхода, умение применять все основные группы тригонометрических формул и выводы из них.

Формы организации занятий: семинары, практикумы по решению, защита презентаций : решений нестандартных задач, отчетов по теоретическому материалу.

Виды организации работы на занятиях: фронтальная, групповая , индивидуальная и самостоятельная работы.

Методические указания: каждый учитель может использовать свои методические подходы и формы для организации занятий, однако, основные моменты необходимо учитывать:

• к решению задач необходимо приступить только после того, как проработан теоретический материал. Поэтому для облегчения работы по решению задач перед каждой главой необходимо кратко систематизировать теоретический материал, для чего необходимо использовать опорные конспекты (основные тождества и следствия из них);

• прежде всего, необходимо научиться различать основные типы тригонометрических уравнений и уметь решать простейшие из них;

• результаты предварительного анализа задачи желательно зафиксировать, записать (или указать группу используемых формул). Словесная, описательная форма записи неудобна;

• качественного усвоения материала по теме можно добиться, только выполнив самостоятельно большое количество задач в каждой главе тригонометрии. При этом необходимо добиваться от учащегося грамотного, рационального оформления задачи, что облегчит решение задачи. Рассматривать задания с комплексного тестирования.

• занятия рассчитаны на учеников, увлеченных математикой, и способных самостоятельно изучать данный предмет.

Учащиеся должны знать:

• определение радианной меры угла

• определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

• таблицу значений тригонометрических функций

• формулы приведения

• понятие периода функции

• решение тригонометрических уравнений основных типов

• формулы корней тригонометрических уравнений

• группы формул тригонометрии

• алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием тригонометрического круга

Учащиеся должны уметь:

• определять четверть, в которую попадает точка при повороте на заданный  угол

• находить значения функций по заданному значению одной функции

• применять  формулы тригонометрии при решении уравнений и упрощении выражений

• решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

• находить область определения сложных функций, содержащих тригонометрические функции

• находить множество значений функций,  содержащих тригонометрические функции

• решать тригонометрические уравнения, содержащие модуль, параметр.

Краткое содержание программы 10 класса

- Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. (1ч)

Закрепить понятия, синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла с

помощью тригонометрического круга, как координат точки единичной окружности.

- Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. (3ч)

Изучить зависимость знаков значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса от

величины угла. Рассмотреть свойства четности и нечетности тригонометрических функций, их периодичности, области определения, множества значений.

- Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических функций. (2ч)

Рассматривается радианная мера угла, связь между радианной и градусной мерами

угла, перевод одних единиц в другие. Устанавливается соответствие между

действительными числами и точками тригонометрической окружности.

- Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. (2ч)

Изучаются формулы, связывающие тригонометрические функции одного аргумента,

основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Учащиеся должны находить значения тригонометрических функций по заданному значению одной из них.

- Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений. Тригонометрия треугольника(2ч)

Расширить и закрепить знания и умения, связанные с тождественными преобразованиями тригонометрических выражений. Показать практическую значимость тригонометрии.

- Формулы приведения.(2ч)

Изучить вывод формул приведения при помощи тригонометрического круга,

мнемоническое правило, продолжить формирование навыков преобразования

тригонометрических выражений с использованием формул привидения.

- Формулы сложения. (2ч)

Изучить формулы сложения. Расширить и углубить знания и умения, связанные с

преобразованием тригонометрических выражений.

- Формулы кратных аргументов.(3ч)

Изучить формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного, тройного и

половинного углов и их применение при преобразовании выражений.

- Формулы суммы и разности тригонометрических функций. (2ч)

Изучить формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

и их применение при преобразовании выражений.

- Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Преобразование тригонометрических выражений(7ч)

Изучаются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в

сумму и их применение при преобразовании выражений.

- Тригонометрические функции. Их свойства и графики. (2ч)

В соответствии с общей схемой исследования функций провести исследование функций

синус, косинус, тангенс и котангенс, и построение их графиков. Изучить свойства

периодичности тригонометрических функций, наименьший положительный период,

четность и нечетность, область определения и множество значений, промежутки возрастания и убывания, нули, экстремумы, промежутки знакопостоянства. Рассмотреть преобразование графиков параллельным переносом и растяжением или сжатием вдоль координатных осей.

- Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. (2ч)

Ввести понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса угла, используя

графики тригонометрических функций и теорему о корне. Сформировать умения находить

значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, а также сложных функций,

составленных из тригонометрических функций и аркфункций.

-Преобразование выражений, содержащие обратные тригонометрические функции.(3ч)

Расширить знания и закрепить умения и навыки по применению формул тригонометрии

-Свойства и графики обратных тригонометрических функций. (1ч)

Ознакомить с основными свойствами тригонометрических функций, с таблицей значений тригонометрических функций, углубить знания и закрепить умения по построению графика тригонометрической функции с помощью простейших преобразований.

-Тригонометрические уравнения. (10ч)

Научить решать простейшие тригонометрические уравнения, определять их частные корни, рассмотреть способы решения уравнений и систем уравнений

-Решение простейших тригонометрических неравенств. Основные типы тригонометрических уравнений(12ч)

Рассмотреть способы решения тригонометрических неравенств выработать навык решения таких неравенств

-Производная, ее применение к исследованию функции. (4 ч)

Ознакомить с признаками возрастания и убывания функции, умение нахождения промежутков возрастания и убывания с помощью производной.

-Решение задач на применение формул дифференцирования тригонометрических функций. (8ч)

Ознакомить с формулами вычисления тригонометрии, показать практическую значимость.

Календарно-тематическое планирование 10 класса

занятия	Тема урока	Чаы	Форма организации занятия	Приемы и методы
1	Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.	1	вводная лекция	Разъяснение; решение заданий с опорой на правила, формулы, свойства.
2-4	Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.	3	урок-исследование	Исследование.Самоанализ схем, формул по поиску общего вывода; доказательство закономерности, алгоритма; разрешение противоречий с опорой на сравнение в практической деятельности учащихся при решении задач.
5-6	Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических функций. Радианная мера угла. Вычисление значений тригонометрических функций.	2	семинар-практикум	Решение заданий
7-8	Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла	2	лекция	Объяснение с опорой на упражнения; доказательства путем сравнения свойств, фактов с опорой на наглядность и упражнения.
9-10	Тригонометрия треугольника	2	консультация	Практическая работа
11-13	Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений.	3	консультация. практикум решения	Самоанализ схем, формул по поиску общего вывода; выявление закономерности, алгоритма; разрешение противоречий с опорой на сравнение в практической деятельности учащихся при решении задач. Доказательства путем сравнения свойств, фактов с опорой на наглядность и упражнения. Самостоятельная работа в парах на применение знаний по теме.
14 15	Область определения и область значения тригонометрических функций Четность, периодичность тригонометрических функций	2	лекция	Самостоятельная работа на применение знаний по теме. Работа с компьютером.
16-25	Формулы приведения. Формулы сложения. Формулы кратных аргументов. Формулы суммы и разности тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.	10	самостоятельная работа консультация.групповая форма работы.	Самостоятельная работа на применение знаний по теме; Работа с книгой; опора на правила, формулы, свойства; перенос общих признаков известного на новые в практических действиях учащихся при решении задач. Повторить формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса двойного и половинного углов и их применение при преобразовании выражений Выполнение заданий по образцу с последующим обобщением и проверкой. .
26	Применение формул для преобразования тригонометрических выражений	1	урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков.	Ответ на выбранный билет
27-28	Тригонометрические функции. Их свойства и графики. Тригонометрические функции. Их свойства и графики.	2	семинар-практикум.	Упражнения в построении графиков; самостоятельная работа на применение знаний по теме.
29-32	Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.	4	практикум решения	Выполнение заданий по образцу с последующим обобщением и проверкой.
33	Преобразование выражений , содержащие обратные тригонометрические функции.	1	практикум решения	Самостоятельная работа на применение знаний по теме;
34	Свойства и графики обратных тригонометрических функций	1	урок-исследование	Исследование.Самоанализ схем, формул по поиску общего вывода; доказательство закономерности, алгоритма; разрешение противоречий с опорой на сравнение в практической деятельности учащихся при решении задач
35-43	Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения, сводящиеся к простейшим Уравнения , решаемые путем применения основных тригонометрических тождеств. Решение однородных уравнений Тригонометрические уравнения , решаемые различными способами Отбор корней тригонометрических уравнений. Тригонометрические уравнения , с параметрами. Системы тригонометрических уравнений.	9	лекция. групповая форма работы	Описание схем алгоритма; примеры с ЕНТ упражнения. Комментированное решение с выводом; поиск примеров на основании нового правила; выбор примеров, подтверждений с опорой на наглядность; перенос общих признаков известного на новые в практических действиях учащихся при решении задач.
44	Решение тригонометрических уравнений	1	Урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков	Контрольная работа по теме: “Решение тригонометрических уравнений ” по материалам ЕНТ
45-56	Решение простейших тригонометрических неравенств и неравенств ,сводящих к ним. Нестандартные методы решения неравенств. Системы тригонометрических неравенств Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами. Решение тригонометрических уравнений и неравенств с радикалами. Решение тригонометрических уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Решение тригонометрических уравнений и неравенств с помощью применения свойств функций.	12	Лекция с использованием презентации. Урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков	Описание схем алгоритма, объяснение причин различных фактов с опорой на наглядность, таблицы, схемы; доказательство закономерности, алгоритма Контрольная работа по теме:“Решение тригонометрических неравенств ”( по материалам ЕНТ)
57-60	Производная, ее применение к исследованию функции	4	Комбинированный урок.	Беседа, выполнение тренировочных упражнений, индивидуальная работа с учащимися.
61-68	Решение неравенств, уравнений систем тригонометрических уравнений и неравенств	8	Защита творческих проектов. Групповая форма работы	Метод проектов. Учебное занятие проверки, оценки и коррекции знаний и способов деятельности

Организация и проведение аттестации учащихся

Элективный курс носит развивающий характер и его проведение не требует осуществления жесткого контроля за успеваемостью и деятельностью учащихся. Однако, в целях развития рефлексивной культуры учащихся, их способности к объективному самооцениванию для оценивания курса предлагаю использовать Лист саморефлексии.

Название темы	Вид контроля
	тест	Контрольная работа	Анализ теоретического материала	Защита решения, проекта	Подготовка презентации	Выполнение творческих заданий	самооценка
Применение основных тригонометрических формул для преобразования выражений	10 б из 20 50%	5	-	-	-	+	4

Данный Лист саморефлексии предлагается каждому ученику в начале учебного года с перечнем всех изучаемых тем и разделов, проводится инструктаж по его заполнению. Это позволяет повысить мотивацию к изучению разделов курса и осуществлять диагностический и корректирующий контроль как учителю, ведущему курс, так и родителям, заинтересованным в обучении ученика.

Надо иметь ввиду, что при изучении отдельных разделов не обязательно выполнение всех видов контроля, но ведение Листа обязательно каждым учеником.

Литература:

1. Рустюмова И.П. Пособие для подготовки к единому национальному тестированию по математике. В двух частях. г.Алматы 2011г

2.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник.

для общеобразовательных учреждений.- 8-е изд. испр.- М.: Мнемозина, 2010-2012.

3.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс.  В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений.- 8-е изд. испр.- М.: Мнемозина, 2010-2012.

4.Шабунин М. И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 классов общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2011.

5.Шабунин М. И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 классов общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2011.

Приложения

Тема занятия № 10 :Практическая работа по теме: «Геодезическая съемка»

Цели: продемонстрировать приложения тригонометрических функций в измерении реальных объектов на практике; научиться изготавливать и применять простейшие угломерные приборы; закрепить понятия «триангуляция» и «геодезическая съемка»; рассмотреть основные виды задач, встречающихся при съемке планов.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация знаний по теме.

3. Практическая часть.

4. Решение задач.

5. Подведение итогов занятия.

Подготовка учителя к уроку

Учителю необходимо заранее приготовить несколько приборов для измерения углов – если есть возможность, то каждому ученику, если нет – хотя бы 1 на двоих.

Для этого в точке А пробиваем шилом круглое отверстие диаметром 1,0 – 1,5 мм. В точке В прикрепляем суровую нитку с грузиком и сгибаем планку транспортира вдоль пунктирных линий так, чтобы получить прибор.

Также к уроку необходимо приготовить сантиметр – по 1 на 3 учеников.

И заранее узнать высоту школы и некоторые расстояния до приметных объектов (дерева, скамейки, забора и т.д.)

I Мотивационная беседа

На предыдущем занятии мы познакомились с понятиями «геодезической съемки» и «триангуляции». Это одно из многих приложений тригонометрических функций на практике. И сегодня мы попробуем самостоятельно применить полученные знания, и измерим высоту нашей школы. Для этого необходимо выйти на улицу и провести необходимые измерения.

II Актуализация знаний

Но для начала вспомним некоторые определения.

Что такое геодезическая съемка? триангуляция?

Что значит «снять план местности»?

Что вы можете сказать об определении радиуса Земли?

III Практическая работа

(во дворе школы)

Как можно узнать высоту школы, не измеряя ее?

Давайте мысленно построим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого будет стена школы. А второй катет я предлагаю выбрать каждому самостоятельно. Длину этого катета измерим в шагах, предварительно узнав длину шага в сантиметрах (в среднем).

Что еще необходимо, чтобы узнать высоту? Правильно, угол, противолежащий стене школы (в мнимом треугольнике).

А чем можно измерить угол? (транспортиром) Для измерения углов в вертикальной плоскости можно изготовить самодельный прибор, воспользовавшись транспортиром. Я предлагаю вам воспользоваться уже готовыми приборами. Для того чтобы измерить угол, необходимо, воспользовавшись окулярным отверстием А и горизонтальной линией CD, нацелится на вершину предмета, а потом, слегка повернув прибор вокруг его продольной оси прочитать величину измеренного угла.

Задание. Необходимо отмерить произвольную длину а от школы в шагах и записать ее в тетрадь. После этого с места, отмеренного шагами, измерить угол α, под которым видна крыша школы, и также зафиксировать. У каждого должно быть по три пары чисел.

IV Решение задач

После этого учащиеся возвращаются в кабинет и там продолжают вычисления.

Давайте схематично нарисуем на доске нашу задачу.

Мы знаем длину катета и величину, прилежащего к нему угла. Как найти второй катет X?

tg α = , X = tg α ∙ a

С помощью таблиц Брадиса или калькулятора вычисляем тангенс полученного угла и умножаем на длину a, переведенную в метры. К полученному числу необходимо прибавить рост человека, делавшего измерения.

Давайте сравним полученные результаты. Очевидно, что должно получиться приблизительно одно и то же число.

Задача

Найти расстояние между точками А и С, которые лежат на противоположных берегах реки, если в треугольнике АВС базис ВС = а = 10м., угол С = 90^о, а угол В = 68^о.

Каждый выполняет самостоятельно в своей тетради.

IV Подведение итогов

Сегодня мы с вами попробовали применить тригонометрию на практике. Хотелось бы услышать ваше мнение об этом способе измерения и узнать, если бы не было транспортира, смогли бы мы сделать такой прибор? А если бы не смогли, то, каким способом еще можно измерять углы?

Тема занятия № 26 « Применение основных тригонометрических формул

Тип урока :урок контроля и коррекции знаний, умений и навыков.

Форма проведения: зачет.

Цель урока: систематизировать и закрепить умения применять тригонометрических формул, контроль знаний по всему элективному курсу.

Оборудование: таблицы «Формулы тригонометрии», «Основные тригонометрические формулы», «Формулы сложения», «Формулы двойного угла», «Формулы суммы и разности синусов и косинусов», «Значения синуса и косинуса угла α », «Значения тангенса и котангенса угла α ».

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие. Ознакомление с планом работы. Выбор билетов.

2. Зачет.

Билет №1

1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла?

2. Найдите значение выражения: 2sin 30º- cos 60º + 3 tg 45º;

4 ctg 45º - sin 60º + cos 30º

Билет №2

1. Каковы знаки синуса , косинуса, тангенса и котангенса в каждой из координатных четвертей?

2. Сравните с нулем значение выражения:

sin 143º, cos 108º , tg61º , ctg280º, sin 125º , cos200º, tg160º, ctg200º

Билет №3

1. Выразите sin 763º через синус угла, заключенного в промежутке от 0º до 360º. Сформулируйте свойство синуса, которое при этом использовалось. Обладают ли аналогичными свойствами косинус· тангенс и котангенс?

Билет №4

1. Является ли четной или нечетной функция: у = sin x, y= cos x, y= tg x и y= ctg x?

2. Вычислите: sin(30º) tg(45º) cos (60º) ctg(30º) и запись в радианной мере.

Билет №5

1. Какой угол называется углом в 1 радиан? Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 2,5; π / 4; - π/ 2; 10 π .

2. Найдите радианную меру угла, равного: 120º; 270º; - 180º;- 150º.

Билет №6

1. Запишите основные тригонометрические тождества.

2. Упростите выражения: а) 1- sin α · cos α; б) 2- cos αsin α

Билет №7

1. Какие три формулы являются основными для получения всех формул приведения?

2. Пользуясь формулами приведения, замените данные выражения тригонометрическими функциями угла α :

sin (180º+ α ) ; sin( π/ 2+ α) ; cos (270º- α); cos( π - α); tg ( 90º+ + α ); tg( π / 2- α )

Билет №8

1. Запишите формулы сложения для синуса и косинуса суммы (разности) двух углов и сформулируйте соответствующее правило.

2. Упростите выражение: sin ( α - β ) + (cos α · sin β)/ sin ( α + +β) - cos α · sin β ; sin(α + β ) + cos (α - β )/ cos ( α + β ) – cos (α - -β ).

Билет №9

1. Запишите формулы суммы (разности) синусов двух углов и суммы (разности) косинусов двух углов. Сформулируйте соответствующее правило.

2. Используя формулы сложения, вычислите: sin 75º; cos 15º; sin 105º; cos 105º

Билет № 10

1. Запишите формулу двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.

2. Упростите выражение: sin 2 α / 2 cos α; cos⁴ α - sin⁴ α ;

sin 2 α - (sin ²α + cos²α ); 2 tg 15º/ (1- tg² 15º)

3. Итоги урока. Анализ зачета.