Проектная работа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Моховицкая средняя общеобразовательная школа»

Орловского муниципального округа Орловской области

Итоговый индивидуальный проект

Математика в природе

Выполнила: Лаврова Полина,

учащаяся 9 класса

Руководитель: Лаврова Т.И.,

учитель математики высшей категории

2024

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

1.Теоретическая часть. ...…………………………………………….………...5

1.1. Понятие симметрии…...…………………………………………………...5

1.2. Основные виды симметрии.........................................................................6

2. Практическая часть …………..…….…..…………...………………………8

2.1. Симметрия у растений………..……………...……………………………8

2.2. Симметрия у животных…...……………………………………………..10

2.3. Симметрия у человека…………..……………………………………….12

Заключение………………...……………...…………………………………14

Список используемой литературы………………………………………..…15

Приложение……………………………………………………...……………16

Введение

«Природа не на столько глупа,

чтобы не использовать законы математики»

В стенах школы часто повторяют, что математика- царица наук! Изучая математику, мы обращаем внимание только на знание формул, теорем и расчётов. Однако, математика- красивая наука. Поэтому, я поставила перед собой цель: показать красоту математики при помощи закономерностей, существующих в природе. Предметы, которые окружают нас в природе, имеют какую-либо геометрическую форму. Идеальных геометрических форм в природе найти почти не возможно, но сходства существует. Если внимательно приглядеться, то мы увидим, это круг, дуга, шар, сфера. Если разрезать апельсин - фигура близкая к кругу, дугу напоминает радуга, сфера – одуванчик, шар- ягода смородины.

Я выбрала для исследования очень необычную тему проекта: «Математика в природе», Ярким представителем математики в природе является СИММЕТРИЯ, потому что она связана с интересующим нас вопросом о гармонии нашего мира. В восьмом классе на уроках геометрии мы познакомились с понятиями симметрия. Мы учились строить фигуры, симметричные относительно точки и прямой. Мы узнали, какие фигуры обладают осевой и центральной симметрией. В учебнике говорилось, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике. Я решила узнать, встречается ли симметрия в природе и проверить, действительно ли симметрия так распространена в нашем мире?

Восхищаясь красотой окружающего мира, мы не задумываемся, что лежит в основе этой красоты. А внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды – от простейших до самых сложных.

Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. В обычной «нематематической» жизни нам часто приходится говорить о симметрии. Только при этом мы чаще используем слова «симметричный», «симметрично расположенный». С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве… Тема симметрии по–прежнему актуальна.

Тема: Математика в природе.

Объект исследования: симметрия, как одно из математических понятий.

Гипотеза: Симметрия создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

Актуальность темы: в наше время трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живем, наполнен симметрией, которую можно встретить в природе и в творениях человека.

Проблема: в школьном курсе очень мало уроков отведено изучению понятия «Симметрия».

Я поставила цель: сформировать представление о симметрии через анализ имеющихся уже знаний, а так же через явления живой природы.

Для достижения цели я поставила следующие задачи:

1. Изучить виды симметрии;

2. Проанализировать информацию, содержащуюся в печатных изданиях и в интернете по этой теме.

3. Рассмотреть какие виды симметрии встречаются в животном и растительном мире.

4. Найти симметричные объекты в природе.

Теоретическая часть

1. Понятие симметрии

Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. Современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве. Слово «симметрия» знакомо нам с детства. Глядя в зеркало, мы видим симметричные половинки лица, глядя на ладошки, мы тоже видим зеркально-симметричные объекты. Взяв в руку цветок ромашки, мы убеждаемся, что путём поворотов её вокруг стебелька, можно добиться совмещения разных частей цветка.

В природе нет точной симметрии. Всегда есть хотя бы незначительные отклонения. Так, наши руки, ноги, глаза и уши не полностью идентичны друг другу, пусть и очень похожи. Природа создавалась не по принципу однотипности, а по принципу согласованности, соразмерности. Именно соразмерность является древним значением слова «симметрия». Философы античности считали симметрию и порядок сущностью прекрасного.

Симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в порхающей бабочке, загадочной снежинке и множество других примеров.

      Весь наш мир, все существующие объекты и происходящие явления должны рассматриваться как проявление единства симметрии и асимметрии.

1. Основные виды симметрии

Осевая симметрия

О севая симметрия — это преобразование, при котором каждая точка А фигуры преобразуется в симметричную ей относительно некоторой прямой (оси).

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой

а считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре . Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, также, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают такие геометрические фигуры как угол,

равнобедренный треугольник, прямоугольник,

ромб .

Центральная симметрия

П реобразование, переводящее каждую точку А фигуры в точку А, симметричную ей относительно центра О, называется центральной симметрией

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе .

Ф игура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре Простейшими фигурами,

обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм .Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

3. Поворот.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры поворачивается на один и тот же угол  вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол  – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

4. Параллельный перенос.

Преобразование при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

5. Скользящая симметрия.

Скользящей симметрий называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Зеркальная симметрия

Если какой-либо предмет или плоскую фигуру можно разделить плоскостью на две половины таким образом, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости, как в зеркале, повторила другую, то они обладают зеркальной симметрией. Зеркальная симметрия – это симметрия относительно плоскости, в природе она называется билатеральной симметрией. Зеркальная симметрия, хорошо знакомая каждому из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его изображение в плоском зеркале. Геометрическое определение таково: фигура называется симметричной относительно плоскости Р (зеркальная плоскость, плоскость симметрии), если каждой точке Е этой фигуры соответствует такая принадлежащая той же фигуре точка F, что отрезок ЕF перпендикулярен к плоскости Р и делится этой плоскостью

пополам.

Практическая часть

2.1. Симметрия у растений

Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины). Интересно, что в цветочном мире наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка, которая принципиально невозможна в периодических структурах неживой природы.

Этот факт академик Н. Белов объясняет тем, что ось 5-го порядка - своеобразный инструмент борьбы за существование, "страховка против окаменения, кристаллизации, первым шагом которой была бы их поимка решеткой» Действительно, живой организм не имеет кристаллического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой. Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Все мы год за годом с приходом весны и все лето до глубокой осени можем любоваться растениями, деревьями, их цветами.

Посмотрим на кленовый лист. Кленовый лист симметричен. Если перегнуть его по среднему вертикальному стебельку-прожилке, то получившиеся части листа совпадут друг с другом. И перед нами две половинки – правая и левая! Можно провести опыт и с зеркалом; отражение в зеркале дополнит половину кленового листа до целого. Кленовый лист обладает зеркальной симметрией, и, если его нарисовать на листке бумаги, то полученная плоская фигура будет иметь ось симметрии.

Дальнейшие поиски были сосредоточены на нахождении симметрии в цветах и плодах растений.

Рассмотрим разрез любого из этих фруктов. В разрезе они представляют собой окружность.

Симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки.

Выводы:

• В любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.

• Симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

• Стебли растений обладают симметрией.

• Симметрия форм и окраски цветков придаёт им красоту.

2.2. Симметрия у животных

В от над поляной порхает бабочка. Ее крылышки кажутся совершенно одинаковыми. Как бы для того, чтобы подтвердить это, она садится на цветок, складывает их, и мы видим, что форма одного крыла в точности повторяет форму другого.

Значит, крылья у бабочки одинаковые? Не совсем. Если взять копию правого крыла и заменить ею левое крыло, то точного совпадения не будет: либо яркая расцветка окажется не с той стороны, либо при складывании крылья не будут совпадать.

Когда тебе на глаза попадется птица, внимательно рассмотри ее. Птица так замечательно летает, потому что она обладает симметрией. Иными словами, если мысленно поделить птицу вдоль ее тела, обе половинки окажутся одинаковыми.

С имметричное обычно кажется нам красивым. Это можно объяснить тем, что одна часть уравновешивает другую.

По спокойной глади небольшого озерка грациозно передвигается лебедь, - вдруг он остановился, замер. И в воде можно увидеть отражение этой птицы. Такое отражение можно назвать еще зеркальным. Зеркальное отражение можно получить, если взять зеркало и поставить его вертикально на рисунок так, чтобы край зеркала прошел ровно посередине рисунка (бабочки, стрекозы). Получается, что половина рисунка вместе с ее отражением в зеркале составляют прежней рисунок.

Предметы, одна из половин которых может быть получена как зеркальное отражение другой половины, называются симметричными, а само изображение – зеркальной симметрией.

Ярким примером зеркального отражения в нашей многоводной реке может быть отражение церкви. (показ по картинке) и других предметов (домов, деревьев.)

Если мысленно поделить туловище животного вдоль его тела (зайца, собаки, слона…) то обе половинки окажутся одинаковыми, т.е. симметричными. Хотя могут быть небольшие различия в расцветке – окраске животных.

Выводы:

1. Насекомые, птицы и животные – обладают симметрией;

2. Симметричность форм, окраски насекомых, птиц придает красоту;

3. Симметрия служит для равновесия.

2.3. Симметрия у человека

Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Почти органы симметричны относительно той или иной оси (т.е. осевая симметрия). Например, легкие, почки, глаза, руки, ноги. Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части – два полушария – плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого.

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое — левую сторону.

Выводы: Симметрия - это также показатель молодости и здоровья. Симметрия также очень часто является показателем физического здоровья, в то время как ее отсутствие может выделить потенциальное расстройство какой-либо функции или болезнь. Практический врач Александр Трифонов, изучая механизмы возникновения различных заболеваний, пришел к выводу, что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько генетически обусловленные нарушения конструкции человеческого тела. Симметричные животные живут дольше, чем не симметричные, что также говорит в пользу того, что симметрия — это показатель здоровья.

Заключение

В процессе своей работы я расширила свои знания о симметрии, убедилась, что симметрия присутствует во многих областях жизни, с ней мы сталкиваемся ежедневно в живой и не живой природе. Симметрия действительно создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире. Быть прекрасным – значит быть симметричным.

В процессе работы была подтверждена гипотеза о том, что во всем есть симметрия. Симметрия – это фундаментальное свойство природы, с которым связаны различные законы и свойства.

В практической части по основным видам симметрии изучаемые в школьном курсе математики были приведены удивительные примеры симметрии, которые встречаются в природе.

Работа над темой позволила мне узнать, как много существует видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека: архитектуре, живописи, музыке, литературе.

Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С. Учебник по геометрии для 7 – 9 классов

2. Андрущенко А.В. Развитие пространственного воображения на уроках математики. М.: Владос, 2003.

3. Иванова О. Интегрированный урок «Этот симметричный мир»// газета Математика. 2006. №6 с.32-36.

4. Ожегов С.И. Толковый словарь русского языка. М. 1997.

5. Л. Тарасов «Этот удивительно симметричный мир». Москва «Просвещение» 1982. 176 стр.

6. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия». Москва 1995. 240 стр.

7. https://biography.wikireading.ru/57122

8. https://obuchonok.ru/node/2261

9. https://www.informio.ru/publications/id2254/Simmetrija-vokrug-nas

10. http://otvetila.ru/laboratornye/simmetriya-v-prirode/

11. http://kl10sch55.narod.ru/kl/sim.html

12. http://www.goldenmuseum.com/0501Symmetry_rus.html

13. http://ru.wikipedia.org

14. http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/simmetriya-v-matematikei-fizike

Приложение 1

Удивительные примеры симметрии

1. Брокколи Романеско

Увидев брокколи Романеско в магазине, можно подумать, что это ещё один образец генномодифицированного продукта. Но на самом деле это один из восхитительных примеров симметрии природы. Каждое соцветие брокколи имеет рисунок спирали.

2. Соты

На протяжении тысяч лет люди удивлялись форме сот, которая образует правильный многоугольник, и задавали вопрос, как пчелы могут инстинктивно создать форму, которую люди могут воспроизвести только с помощью циркуля и линейки. Как и почему пчелы создают шестиугольники? Математики считают, что они это делают потому, что это идеальная форма, которая позволяет им хранить максимально возможное количество меда, затрачивая минимальное количество воска. В любом случае, все это продукт природы, и это невероятно впечатляет.

3. Подсолнухи

Подсолнухи могут впечатлить нас своей великолепной симметрией и интересным типом симметрии, известной как последовательность Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 24, 55, 89, 144 и т.д. (каждое число определяется суммой двух предыдущих чисел.) И тут возникает вопрос: почему же многие растения и объекты природы подчиняются математическим законам?

4.Кристаллы.

Симметрия кристаллов – наиболее общая закономерность, связанная со строением и свойствами кристаллического вещества. Она является одним из обобщающих фундаментальных понятий физики. Внутренняя атомная структура кристаллов – трёхмерно-периодическая, т. е. она описывается как кристаллическая решётка. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его внутреннего атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла. кристаллическое состояние – это почти невообразимый порядок, построенный десятками или даже сотнями миллионов послушных, идентичных молекул.

5. Животные

Большинство животных имеют симметрию, что означает, что они могут быть разделены на две одинаковых половинки. Человек тоже симметричен, и некоторые ученые полагают, что эта симметрия является наиболее важным фактором, который влияет на восприятие нашей красоты.

Некоторые объекты живой природы доходят до полной симметрии в стремлении привлечь партнера, например, павлин. Дарвин был положительно раздражен этой птицей, и написал в письме, что «Вид перьев в хвосте павлина, всякий раз, когда я смотрю на него, делает меня больным!» Дарвину, хвост казался обременительным и не имеющим эволюционного смысла, так как он не соответствовал его теории «выживания наиболее приспособленных». Он был в ярости, пока не придумал теорию полового отбора, которая утверждает, что животные развивают определенные функции, чтобы увеличить свои шансы на спаривание.

6. Паутина

Есть около 5000 типов пауков, и все они создают почти идеальное круговое полотно с поддерживающими нитями почти на равном расстоянии и спиральной тканью для ловли добычи. Ученые не уверены, почему пауки так любят геометрию, так как испытания показали, что круглое полотно не заманит еду лучше, чем полотно неправильной формы. Ученые предполагают, что симметрия равномерно распределяет силу удара, когда жертва попадает в сети, в результате чего получается меньше разрывов.

А вы знали, что некоторые пауки делают обманки себя самих из паутины, чтобы отпугнуть хищников? Некоторые из этих ложных пауков такого же размера, как паук, а некоторые гораздо больше и порой выглядят даже страшнее, чем сам паук. Ученые как-то заметили, как один паук качал паутину, стараясь, чтобы его «клон» максимально был похож на живого паука. Удивительно, но эти приманки, на самом деле работают.

7. Круги на полях

Круги на полях, по мнению одних, возникают из-за воздействий НЛО, а по мнению других, это дело рук людей. Но удивительные формы симметрии привлекут любого.

Из-за того, что круги на полях отличаются сложностью дизайна и невероятной симметрией, даже после того, как создатели кругов признались и продемонстрировали свое мастерство, многие люди до сих пор верят, что это сделали космические пришельцы.

По мере усложнения кругов все больше проясняется их искусственное происхождение. Нелогично предполагать, что пришельцы будут делать свои сообщения все более трудными, когда мы не смогли расшифровать даже первые из них.

Независимо от того, как они появились, круги на полях приятно рассматривать, главным образом потому, что их геометрия впечатляет.

8. Снежинки

Для того чтобы увидеть бесподобную, неповторимую симметрию снежинки, понадобится микроскоп. Такая симметрия формируется в результате кристаллизации молекул воды, из которых и сформирована снежинка.

Молекулы воды приобретают твердое состояние, образуя слабые водородные связи, они выравниваются в упорядоченном расположении, которое уравновешивает силы притяжения и отталкивания, формируя гексагональную форму снежинки. Но при этом каждая снежинка симметрична, но ни одна снежинка не похожа на другую. Это происходит потому, что, падая с неба, каждая снежинка испытывает уникальные атмосферные условия, которые заставляют её кристаллы располагаться

определенным образом.

.

9. Галактика и Млечный Путь

Симметрию мы можем встретить почти везде и даже за пределами нашей планеты. Астрономы считают, что галактика Млечного Пути идеально симметрична.

Форма Галактики напоминает круглый сильно сжатый диск. Как и диск, Галактика имеет плоскость симметрии, разделяющую её на две равные части и ось симметрии, проходящую через центр системы и перпендикулярную к плоскостям симметрии. Но у всякого диска есть точно обрисованная поверхность - граница. У нашей звездной системы такой чётко очерченной границы нет, также как нет чёткой верхней границы у атмосферы Земли. В Галактике звёзды располагаются тем теснее, чем ближе данное место к плоскости симметрии Галактики и чем ближе оно к её плоскости симметрии. Наибольшая звёздная плотность в самом центре Галактики. Здесь на каждый кубический парсек приходится несколько тысяч звёзд, т.е. в центральных областях Галактики (в балдже) звёздная плотность во много раз больше, чем в окрестностях Солнца. При удалении от плоскости и оси симметрии звёздная плотность убывает, при чём при удалении от плоскости симметрии она убывает значительно быстрее

10. Симметрия Солнца-Луны

Если учесть, что Солнце имеет диаметр 1,4 млн. км, а Луна – 3474 км, кажется почти невозможным то, что Луна может блокировать солнечный свет и обеспечивать нам около пяти солнечных затмений каждые два года. Как это получается? Так совпало, что наряду с тем, что ширина Солнца примерно в 400 раз больше, чем Луна, Солнце также в 400 раз дальше. Симметрия обеспечивает то, что Солнце и Луна получаются одного размера, если смотреть с Земли, и поэтому Луна может закрыть Солнце. Конечно, расстояние от Земли до Солнца может увеличиваться, поэтому иногда мы видим кольцевые и неполные затмения. Но каждые один-два года происходит точное выравнивание, и мы становимся свидетелями захватывающих событий, известных как полное солнечное затмение. Астрономы не знают, как часто встречается такая симметрия среди других планет, но они думают, что это довольно редкое явление. Тем не менее, мы не должны предполагать, что мы особенные, так как все это дело случая. Например, каждый год Луна отдаляется примерно на 4 см от Земли, это означает, что миллиарды лет назад каждое солнечное затмение было бы полным затмением. Если и дальше все пойдет так, то полные затмения, в конце концов, исчезнут, и это будет сопровождаться исчезновением кольцевых затмений. Получается, что мы просто находимся в нужном месте в нужное время, чтобы увидеть это явление.

Аннотация наставника

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему «Математика в природе», автором была поставлена цель сформировать представление о симметрии через анализ имеющихся уже знаний, а так же анализ деятельности человека и явлений живой природы.

В ученическом проекте автором была изучена теория принципа симметрии, рассмотрены классы симметрии, а также исследован принцип симметрии в природе (растениях, животных), в организме человека,.

В работе автор приводит свои чертежи осевой симметрии, центральной симметрии, поворота и параллельного переноса, скользящей и зеркальной симметрии, последняя довольно часто встречается на изображении гербов населенных пунктов, также приведены удивительные примеры симметрии, которые встречаются в природе. Фотографии прилагаются к проекту.

Данная работа способствует развитию регулятивных и познавательных учебных действий, а также целенаправленному поиску и использованию информации по исследованию симметрии в природе, необходимой для отработки математических навыков на уроках математики.

Данная учебная исследовательская работа рассматривает симметрию как основу порядка, красоты и совершенства в окружающем нас мире и будет интересна учащимся 6, 8, 9 классов,

.