Применение оригами для доказательства теорем и решения задач

Применение оригами для доказательства теорем и решения задач

Доказывать ли теоремы? Этот вопрос возникает и перед молодыми и опытными педагогами. Мой ответ однозначно - доказывать. По опросам выпускников школ большой процент их не понимают ни формулировок теорем, ни смысл их доказательств. Как это исправить?

В 1863 году в работе « Наша университетская наука» Д.И.Писарев отмечал: « Доказывая геометрическую теорему, гимназист только притворяется будто он выводит доказательство одного из другого; он просто отвечает заученный урок, вся работа лежит на памяти… А вы попробуйте изменить фигуру: предложите, например, вместо остроугольника тупоугольник или устройте так, чтобы заинтересованный в доказательстве угол глядел не в стену, как ему велено глядеть по учебнику геометрии, а хотя бы в пол… и я вам ручаюсь, что из десяти бойких геометров девять погрузятся в бесплодную и мрачную задумчивость…»

Под руководством учителя ( с помощью наводящих вопросов, решая подготовительные задачи) ученики могли бы принимать участие в доказательстве большинства теорем школьного курса. Но как показывает практика, многие учителя мало привлекают учеников к совместному поиску доказательства. Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески. Так что учащийся видит сам, как можно било прийти к ним самостоятельно. Не беда, если ученик забыл какое-то свойство. Плохо, что он не знает как происходит доказательство.

Обучение учащихся доказательству теорем нередко оказывается недостаточно эффективным. На уроках математики многие ребята затрудняются в решении задач на доказательство, допускают ошибки при обосновании решения задач. Одна из причин этого – недостаточное освещение в школьных учебниках различных способов доказательства.

Чтобы доказывать теоремы и решать задачи надо помнить большое количество определений, формулировок теорем. Впервые в 2010 году при работе над темой «Формирование понятий в школьном курсе геометрии» я применила оригами для введения понятия «медианы треугольника». Затем попробовала применять оригами для доказательства теорем и решения задач на доказательсво и постоение. Хочу поделиться своими наработками.

 История оригами Оригами ("сложенная бумага") - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.     Первоначально оригами использовалось в религиозных обрядах. Долгое время этот вид искусства был доступен только представителям высших сословий, где признаком хорошего тона было владение техникой складывания из бумаги. Только после второй мировой войны оригами вышло за пределы Востока и попало в Америку и Европу, где сразу обрело своих поклонников. Классическое оригами складывается из квадратного листа бумаги.      Существует множество версий происхождения оригами. Одно можно сказать наверняка - по большей части это искусство развивалось в Японии. Однако, независимые традиции складывания из бумаги, хоть и не столь развитые, как в Японии, существовали среди прочего в Китае, Корее, Германии и Испании.

Теоремы геометрии и оригами

Теорема1: Сумма углов треугольника равна 180˚.

Доказательство: Вырежем из бумаги треугольник любой формы и перегнем его сначала по линии АВ (рис.1) так, чтобы основание треугольника легло на себя.

Перегнув затем треугольник по линиям DH и CQ так, чтобы точки Е и F попали в точкуВ, получим прямоугольник CQHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (1,2,3) составляют в сумме два прямых.

Необычайная наглядность и простота этого приема позволяют познакомить даже детей, не изучавших геометрии, с одной из ее важнейших теорем. 

Теорема2: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство: Возьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2.

Согнём лист по секущей АВ. Совместим вершины накрест лежащих углов – точки А и В. углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, ے1= ے2. Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

 

Свойство прямоугольного треугольника: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30o, равен половине гипотенузы. 

Доказательство:

Наметим середину стороны квадрата.

Точка D должна лечь на намеченную линию.

Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение.

Точка А должна лечь на намеченную линию.

Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение

ΔADN – прямоугольный, острый угол которого 30o.

Совместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение.  ΔADX равнобедренный и углы при основании равны 30o.

ےXDN=60o,ےXND=60o, значит ΔXDN равносторонний, т.е. DN = NX = AX = 1/2 AN.

Катет DN лежит против угла 30o и равен 1/2 гипотенузы AN.

 

 

Геометрические задачи и оригами

Задача 1: В ΔАВС проведена биссектриса ВК. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВM = МК. Докажите, что КМ //АВ.

Решение: 1) Оригамское решение:

Совместим лучи ВА и ВС, построим биссектрису ВК Совместим точки В и К, построим точку М

Согнем по линии МК.

2) Математическое обоснование:

BK биссектриса ΔАВС = ے1 = ے2,BM = MK (по условию) = ΔBMK равнобедренный =

ے 2 = ے 3.

Следовательно, ے 1 = ے 3, но ے 1 и ے 3 накрест лежащие при прямых AB и KM и секущей BK = AB // KM

  

Задача 2(на построение):

Разделить прямой угол на три равные части. 

Решение:1) Оригамское решение: Найдем середину стороны. Совмещаем нижний правый угол с серединным перпендикуляром нижней стороны Намечаем линию сгиба. На развернутом листе получили три равных угла 2) Математическое обоснование : Предположим, что нам необходимо вписать в квадрат равносторонний треугольник, причем так, чтобы одна из сторон совпадала со стороной квадрата. Вершина треугольника будет лежать на серединном перпендикуляре, т.к. высота и медиана совпадают. Загнув край на 2-ом этапе, мы получаем равенство сторон и, следовательно, местонахождение вершины, причем линия сгиба будет являться биссектрисой угла треугольника, ч. т. д.

Оказывается, что оригами может помочь при выполнении геометрических построений, решении задач и доказательстве теорем школьного курса геометрии. На мой взгляд, применение на практике оригами очень удобно, и это обязательно нужно применять при изучении геометрии и учить этому школьников. При работе с бумагой ученики не только лучше запоминают теоретический материал, но приобретают исследовательские навыки и что не менее важно с большим интересом работают на уроке.