Применение при обучении математики методов научного исследования

Применение при обучении математики

методов научного исследования

План.

1. Анализ и синтез как методы исследования и методы обучения.

2. Индукция и дедукция как виды умозаключения и формы обучения.

Анализ и синтез являются и методами исследования, и методами обучения. Они используются при решении задач, при доказательстве теорем, при формировании математических понятий.

Анализ – метод исследования (логический прием), состоящий в том, что изучаемый объект мысленно или практически расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из этих элементов рассматривается отдельно как часть расчлененного целого.

Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.

В математике чаще всего под анализом понимают прием мышления, при котором мы от следствия переходим к причине, породившей это следствие.

Под синтезом понимаем прием мышления, при котором мы от причины переходим к следствию.

При решении задач анализ может высткпать в двух формах:

1. когда мы двигаемся от искомых данных к данным известным (идут от неизвестного),

2. анализ в форме расчленения, т.е. когда целое расчленяется на части.

Анализ в форме рассуждений от искомых к данным подразделяется нна следующие виды:

- восходящий анализ: исходным моментом решения задачи является её заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедливости.

Сущность метода восходящего анализа определяет следующее рассуждение: «Для того, чтобы А было верно, достаточно чтобы верно было В».

- нисходящий анализ имеет две разновидности:

1) несовершенный анализ – при решении задачи несовершенным аннализом за исходное берется заключение задачи.

2) метод доказательства от противного:

а) предположим противоположное от того, что требуется доказать …

б) из предположенного следует, что …

с) получение противоречия с условием задачи

д) значит, наше предположение не верно и т. д.

-алгебраический метод – это такая форма анализа, при котором связи между искомыми и данными устанавливаются с помощью составления уравнения или системы уравнений (реже неравенств).

Основной вопрос при анализе – « Что нужно знать, чтобы найти?»

Анализ в форме расчленения:

1. Разбиваем условие задачи на отдельные части,

2. Выделяем отдельные условия, остальные пока не используем,

3. Из выделенных условий составляем более легкую вспомогательную задачу и решаем ее,

4. Обнаружив идею решения вспомогательной задачи, переходим к решению первоначально-поставленной задачи.

Анализ в форме расчленения чаще всего используется при решении задач на построение.

Синтез: суть синтетического решения состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим выводом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получаются как следствия из первых и т.д.

Основной вопрос при синтетических рассуждениях: «Что можно найти, зная…?»

Этот метод чаще всего применяется при решении несложных задач. К явным недостаткам синтеза относятся:

1. отсутствие рассуждений на основании которых определяется план решения задачи ;

2. отсутствие аргументации почему поступаем так, а не иначе;

3. трудность выбора нужных исходных данных и тех следствий из них, которые ведут к цели.

Пример: Погорелов А. В. §4, п. 37

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

В

О

К

1. Анализ

1. Что надо знать, чтобы доказать, что ВО || АС?

   

2. Какие фигуры можно рассмотреть для доказательства равенства углов?

   
   
   

- ∆ ВМС и ∆ ВОС. ВС – общая сторона. Угол МВС= углу ВСО (как внутренние накрест лежащие углы при || прямых и секущей (ВМ || ОС)). Предположим , что угол А = углу С= α,тогда по свойству внешнего угла имеем угол А + угол С= угол КВС.

С

М

А

А

2α = угол КВС = 2*угол ОВС (т. к. ВО – биссектриса)

Α = угол ОВС следовательно ∆ ВМС =∆ ВОС

1. Т. к. треугольники равны, что можно сказать о соответствующих элементах?

- угол ВМС = углу ВОС

4. Т. к. угол ВМС = углу ВОС то, что можно сказать о ВО и АС?

- ВО = АС.

II. Синтез

1.Что можно найти зная, что ВО – биссектриса угла КВС?

- угол ОВС = углу КВО = ½ КВС (по условию).

2. Что можно сказать еще о внешнем угле КВС?

- угол КВС = угол А + угол С (по условию), угол КВС = 2*угол С = 2*угол α.

3. Из 1 и 2 следует угол ОВС – углу КВО = ½*2 α = α.

4. Какой вывод можно сделать из того, что угол ОВС = углу АСВ – они накрест лежащие при ВС. Следовательно, ВО || АС.

Вывод. Признак параллельности прямых: если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов = 180 градусов, то прямые параллельны.

Индукция – умозаключение, при котором из двух или нескольких единичных суждений получают одно новое общее суждение (от частного к общему).

Дедукция – одна из форм умозаключений, при которой из одного общего суждения и одного частного суждения получают новое менее общее суждение (от общего к частному).

Процесс получения новых знаний состоит в переходе от одних суждений к другим суждениям на основе умозаключений. При этом умозаключения могут быть как индуктивными, так и дедуктивными. Чаще всего умозаключение представляет собой силлогизм.

Пример индукции:

Единичное суждение – окружность пересекается с прямой не более, чем в двух точках.

Единичное суждение – элипс может пересекаться с прямой не более, чем в двух точках.

Частное суждение – окружность и элипс – виды конических сечений.

Общее суждение – все конические сечения могут пересекаться с прямой не более, чем в двух точках.

Пример дедукции:

Общее суждение – в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Частное суждение –в треугольнике АВС, АВ = ВС.

Новое общее суждение – угол А = углу С

Индукция – метод исследования, при котором для изучения некоторого явления изучают отдельные объекты, устанавливают в них некоторые свойства, от которых зависит изучение всего объекта.

Пример: объект – арифметическая прогрессия:

а_1, а_{2, ……..} а_n

а_{2 =} а₁ + d

а_{3 =} а₂ + d = а₁ + 2d

а_{n =} а₁ + (n-1)d – доказывается методом математической индукции. Этот пример можно отнести и к индукции – как форме обучения (форма изложения материала).

Индукция начинается с наблюдения опыта сравнения.

Пример. Теорема о сумме углов треугольника.

1. Начертить треугольник, измерить углы, найти сумму углов, сравнить результаты, полученные учениками, выдвинуть гипотезу, сформулировать теорему.

2. Другой способ (он лучше, т. к. позволяет открыть и способ доказательства теоремы). Пусть у треугольника разноцветные углы. Отрежем эти углы. На прямой от точки отложим эти углы. Угол А + угол В + угол С = 180 градусов.

Индукция может быть полной и неполной. Неполная индукция – умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких частных или единичных суждений (эти умозаключения могут быть ложными).

Полная индукция – умозаключения, основанные на рассмотрении всех частных или единичных суждений. Выводы эти всегда истинны.

Пример: коммутативность сложения на множестве N.

2+3=5, 3+2=5 следовательно, 2+3=3+2

Это полная индукция. Выводы истинны

1+7=8, 7+1=8 следовательно7+1=1+7

Пример: y(x) = x²+ x +41, х принадлежит N – формула простого числа

у(1) = 1+1+41=43 – простое число

у (2) = 4+2+41=47 – простое число

у(41) = 41²+41+41=41*(41+1+1)=41*(41+2) – составное число - «ложь». Это неполная индукция.

Дедукция как метод исследования.

Для получения какого-нибудь нового знания о некотором объекте рассматривают ближайший к данному объекту класс объектов (родовое понятие); изучают свойства родового понятия и все эти свойства переносятся на изучаемый объект.

Пример: рассмотрим квадрат.

Исследуя свойства прямоугольника, ромба, переносим эти свойства на квадрат.

Дедукция – особая форма изложения материала: когда от общих правил и положений переходим к менее общим правилам и положениям.

Пример: учебник Погорелова А. В. 7-11 класс. Геометрия.

Тема «Подобие»

1. Вводится понятие преобразования подобия,

2. Подобие фигур,

3. Подобие треугольников.

Литература:

1. Данилов М. А., Скаткин М. Н.«Дидактика средней школы» . М.: Просвещение 1982г (4)

2. Колягин Ю. М. и др. «МПМ в средней школе. Общая методика». М.: Просвещение 1980г

3. Столяр А. А. «Педагогика математики» М.: Просвещение 1986г