"Поиграем" с квадратичной функцией!

Математическая статья

«Поиграем» с квадратичной функцией!

2015 г

«Поиграем» с квадратичной функцией!

При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, температуру, время. Поэтому математика изучает зависимость между переменными в процессе их измерения.

Зависимость, выраженная видом , где a, b, c - заданные числа, причем a ≠ 0, а x, y - переменные, является квадратичной функцией.

Знакомство с квадратичной функцией начинается в 7 классе на примере зависимости площади квадрата от его стороны ( , где S – площадь квадрата, a – сторона квадрата). Впервые строится график , его называют параболой и выясняют некоторые свойства.

В 9 классе, изменяя коэффициент a , замечаем изменения в графике:

Приходим к выводу, что для построения графика функции надо растянуть график функции в a раз вдоль оси ординат, если ; если , график строится с помощью сжатия график функции в a раз вдоль оси ординат; при для построения графика функции надо сначала растянуть график в раз вдоль оси ординат, а затем отразить его симметрично относительно оси абсцисс.

Рассмотрим другие случаи квадратичной функции .

Вывод: для построения графика функции надо график функции параллельно перенести на единиц вдоль ось ординат

• в положительном направлении, если ;

• в отрицательном направлении, если

Вывод: график функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль ось абсцисс на m единиц вправо, если , или на m единиц влево, если

Построим график функции

Вывод: график функции вида можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов :

• сдвига вдоль оси ОХ на единиц вправо, если , или на единиц влево, если

• сдвига вдоль оси ОУ на единиц вверх, если , или на единиц вниз, если

Для построения надо:

1.Найти координаты вершины параболы (;) по формулам

; ;

.Построить ось симметрии параболы ;

3.Найти две точки графика слева или справа от оси симметрии;

4.Построить две точки , симметричные полученным точкам относительно оси симметрии;

5.Построить параболу и назвать ее.

Пример.

Построить график функции .

Квадратичная функция, график парабола , ветви направлены вверх (т.к. Вершина параболы (2; -1)

x=2, - ось симметрии

Рассмотренные варианты построения графиков квадратичных функций можно разбить на 4 блока

Преобразование графиков квадратичных функций

С помощью отображения относительно оси абсцисс

С помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс и оси ординат

С помощью алгоритма построения графика квадратичной функции общего вида

С помощью сжатия и растяжения вдоль оси ординат

При рассмотрении построения графика квадратичной функции в системе координат реализуются связи содержательных линий алгебры и геометрии: выясняется геометрический смысл коэффициента , а также ясную геометрическую интерпретацию получает коэффициент .

Данный материал имеет практическую направленность. Умение выполнять простейшие преобразования графиков элементарных функций помогает при составлении различных математических моделей, позволяет расширить аппарат решения уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств графическим способом. А это позволяет успешно применять полученные навыки при выполнении материалов итоговой аттестации ЕГЭ и ОГЭ.