Просмотр содержимого документа
«Олимпиада по математике 10 класс»
Задания для олимпиды по математике
10 класс
Упростить выражение
.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .
Доказать равенство
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра , при котором оно достигается.
10 класс
Упростить выражение
Решение
=
=====.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .
Решение
Каждый игрок сыграл 9 партий, значит, . Кроме того, число всех побед равно числу всех поражений, т.е. . Получим:
=
Доказать равенство
.
Решение.
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Решение:
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:
, значит, , . Аналогично,
, ,
.
Так как треугольники и имеют общий угол, то их площади относятся, как произведение сторон, т.е. , отсюда . Аналогично,
, отсюда ,
, отсюда . Тогда получим, . Площадь треугольника найдем по формуле Герона . Значит, .
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра , при котором оно достигается.
Решение:
5. . Квадратное уравнение имеет корни, если :
, т.е.. По теореме Виета : , . Поэтому, . Вершина этой параболы не входит в область допустимых значений , значит наименьшее значение функции равняется наименьшему из значений функции на концах промежутков: , . Значит, наименьшее значение суммы равно 1,5 при .