Как тратить минимум сил на подготовку и
проведение уроков?
Как быстро и объективно проверять
знания учащихся?
Как сделать изучение нового материала
максимально понятным?
Как избавить себя от подбора заданий и
их проверки после уроков?
Как наладить дисциплину на своих
уроках?
Как получить возможность работать
творчески?
Просмотр содержимого документа
«Олимпиада по математике 10 класс»
Задания для олимпиды по математике
10 класс
Упростить выражение
.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .
Доказать равенство
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра , при котором оно достигается.
10 класс
Упростить выражение
Решение
=
=====.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .
Решение
Каждый игрок сыграл 9 партий, значит, . Кроме того, число всех побед равно числу всех поражений, т.е. . Получим:
=
Доказать равенство
.
Решение.
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Решение:
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:
, значит, , . Аналогично,
, ,
.
Так как треугольники и имеют общий угол, то их площади относятся, как произведение сторон, т.е. , отсюда . Аналогично,
, отсюда ,
, отсюда . Тогда получим, . Площадь треугольника найдем по формуле Герона . Значит, .
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра , при котором оно достигается.
Решение:
5. . Квадратное уравнение имеет корни, если :
, т.е.. По теореме Виета : , . Поэтому, . Вершина этой параболы не входит в область допустимых значений , значит наименьшее значение функции равняется наименьшему из значений функции на концах промежутков: , . Значит, наименьшее значение суммы равно 1,5 при .