Обобщающее повторение начал стереометрии

Из опыта работы

Обобщающее повторение начал стереометрии

Необходимость в уроках обобщения и систематизации знаний по геометрии в старших классах вызвана, с одной стороны, психолого-дидактическими особенностями деятельности, а с другой, - структурой программы учебного курса стереометрии.

Особенность человеческого мышления такова, что даже простейшее восприятие требуют неоднократного обращения к материалу. Необходимо предусматривать уроки тематического повторения. Главная цель таких уроков - в углублении, обобщении, систематизации и закреплении полученных знаний.

Обобщающее повторение начал стереометрии имеет особое значение, так как является фундаментом для решения задач на нахождение площадей поверхности и объемов многогранников и круглых тел. Проведение такого повторения в начале учебного года позволит учителю скоординировать свою работу над проблемами в знаниях учащихся.

Формы повторения могут быть различны. Рассмотрим три из них: обзорная лекция с рассмотрением наиболее важных задач; подготовка рефератов; зачет.

Во время обзорной лекции целесообразно повторить материал большого объема, которым открывается курс стереометрии. Эта тема «Точки, прямые и плоскости в пространстве».

План лекции

І. Аксиомы стереометрии и их следствия.

ІІ. Взаимное расположение прямых в пространстве.

ІІІ. Взаимное расположение прямой и плоскости.

IV. Взаимное расположение плоскостей.

V. Изображение пространственных фигур на плоскости.

VI. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми.

Лекцию желательно сопровождать рисунками – плакатами, в которых наглядно представлены случаи взаимного расположения в пространстве двух прямых (рис. 1,а), прямой и плоскости (рис. 2,б), двух плоскостей (рис. 1,в). Рассказ учителя следует дополнить беседой с классом по ряду предложенных задач. В ходе такой беседы выделяются существенные моменты теории: определения, признаки, свойства рассматриваемых фигур. Приведем задачи, которыми можно сопровождать лекцию.

а)

б)

в)

Рис. 1

Задача 1. Прямые a и b параллельны, а прямая с пересекает a и b. Докажите, что прямые a,b, с лежат в одной плоскости.

Задача 2. Объясните, в чем состоит сходство и различие скрещивающихся и параллельных прямых в пространстве.

Задача 3. Прямые a и b параллельны. Докажите, что если плоскость а пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

Задача 4. Докажите, что через произвольную точку Р, лежащую на прямой р, можно провести плоскость а, перпендикулярную прямой р.

Задача 5. Из вершины прямого угла С треугольника АВС восстановлен к плоскости этого перпендикуляр СМ = 28см. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы треугольника АВС, если его катеты равны 16см и 12см.

Задача 6. Дан куб с ребром а (рис.2).

а) Докажите, что прямая АС^/ перпендикулярна плоскости DBA^/, плоскости СВ^/ D ^/ и делится этими плоскостями на три равные части.

б) Докажите, что плоскости DBA^/, плоскости СВ^/ D ^/ параллельны.

в) Постройте общий перпендикуляр к прямым А^/В^/ и СС^/ и найдите расстояние между ними.

г) Постройте угол между прямой АС^/ и плоскостью основания.

д) Постройте угол между прямыми A^/ D и AB^/.

е) Постройте линию пересечения плоскостей DBA^/ и АА ^/ С.

ж) Постройте двугранный угол между плоскостями D^/B^/C и АВС.

На дом предлагаются следующие вопросы: «Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах». «Углы в пространстве».

Следующий урок после лекции целесообразно посвятить решению задач. При этом надо учесть, что в стереометрических задачах большое значение при отыскании решения имеет удачно выполненный чертеж. Изображение пространственных конфигураций всегда возможно лишь с искажениями, поэтому чертеж нужно правильно понимать. Важным этапом решения стереометрических задач является логическое обоснование любого факта, сколь бы очевиден он ни был из чертежа.

При обобщении и систематизации знаний по теме «Углы в пространстве» необходимо акцентировать внимание учащихся на построение углов и изображение их на чертеже.

o

A

S

B C B N z

P
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 y

Только на этом уроке целесообразно требовать от учащихся подробного описания построения и изображения чертежа. На последующих уроках этот процесс станет не таким подробным, а в дальнейшем учащиеся будут мысленно логически обосновывать построенный чертеж.

Приведем примеры задач для урока повторения по теме «Углы в пространстве».

Задача 1. Из некоторой точки на плоскость опущен перпендикуляр и проведены две наклонные, которые составляют с плоскостью углы по 45⁰, а между собой – угол в 60⁰. Найдите угол между проекциями наклонных.

Построение чертежа. Пусть из точки SА, SВ и SС - наклонные;

SАВ = 90⁰, SАС = 90⁰ (по определению прямой, перпендикулярной плоскости), отрезок АВ – проекция отрезка SВ на плоскость γ; значит. Отрезок АС – проекция отрезка SС на плоскость γ; SСА = 45⁰; ВSС = 60⁰ – по условию, ВАС – угол между проекциями наклонных, который нужно найти (см.рис.3).

Решение. I способ. Треугольники SАВ и SАС - прямоугольные и равнобедренные, значит, АВ=АС= SА. Рассмотрим треугольник ВSС. По теореме косинусов имеем.

ВС²= SВ² + SС² – 2 SВ х SС х cos 60

Отсюда BC= АС√2. Из треугольника ВАС по теореме косинусов получаем

соs a 0, т.е. а = 90⁰

ІІ способ. Прямоугольные, равнобедренные треугольники SАВ и SАС равны. Следовательно, АВ =АС= SА и SВ + SС. Треугольник ВSС – равносторонний; поскольку

S = 60⁰ и SВ = SС, имеем ВС = SС; ВАС = ВАS = SАС по трем сторонам, значит ВАС = 90⁰.

Задача 2. В пространстве даны два луча Ах и Ву. не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол 90⁰; отрезок АВ – их общий перпендикуляр. На луче Ах отметили точку М, на луче Ву точку Р, такие, что 2АМ х ВР = АВ². Докажите, что расстояние от середины 0 отрезка АВ до прямой МР равно 0,5 АВ.

Построение чертежа. лучи Ах и Ву изобразятся в виде двух лучей пересекающихся прямых, но мы будем помнить, что эти лучи не лежат в одной плоскости.

Угол между скрещивающимися прямыми равен 90⁰. Покажем его на чертеже, для чего проведем дополнительное построение: через точку В проведем луч Bz II Ax. UНа основании определения угла между скрещивающимися прямыми заключаем, что угол PBN равен 90⁰ (рис. 4).

Решение. Введем для краткости следующие обозначение: МР= а, РО =b, MO = c, AB = MN = 2h, AM = BN = u, POM =a. По теореме Пифагора имеем:

b² = h² + u²,

c² = h² + u²,

a² = 4h² + PN² = 4h² + u² + u²,

по условию, 2 иu = 4h², Тогда S_{ΔРОМ =} 0,5 b х sin a.

По теореме косинусов а² = b² + с² - 2 bс cos a, отсюда cos a = b² + c² – a²

2bc

Поскольку sina = имеем S_{РОМ =}0,5 x c x sin a = bc x 1- b² + c² – a^{2 2} =

2bc

= x 4b²c² – (b² + c² - a ²⁾² = 4 (h² + u²) (h² + υ²) – 4h⁴ = 4h² + υ^{2 +} u²) = .

1

Итак, S_{ΔРОМ =} и S_{ΔРОМ =} = . Значит, имеет место равенство а х h= a х OS, т.е. OS=h, или OS = 0,5 х АВ.

Большинство школьников сводят повторение к многократному и однообразному чтению текста. Для того чтобы избежать такого однообразия, домашнее задание должно активизировать самостоятельную деятельность учащихся, сводить повторение к некоторой реконструкции материала. Поэтому учебник уже не может быть единственным источником знаний, старшеклассники должны уметь работать с дополнительной литературой.

Одним из видов домашнего задания на повторение является написание рефератов. Рефераты предлагаются несколькими учащимся, и готовятся они под руководством учителя. Темы могут быть различными, например, такими: «Изображение пространственных фигур на плоскости». «Методы построения плоских сечений». Учащиеся работаю самостоятельно, используя дополнительную литературу, справочники по математике, решают задачи, предложенные учителем.

Когда все основные вопросы темы проанализированы, рекомендуется организовать повторение в форме зачета.

Класс делится на две группы, и зачет проводится в течение двух спаренных уроков; І группа получает билеты к устному теоретическому опросу, ІІ группа решает задачи. На втором уроке группы меняются заданиями.

Зачет состоит из двух частей: теоретического опроса и практического решения задач. Ответы по теории учитель оценивает по пятибалльной системе. За решение задач оценки ставятся иначе. За каждую задачу присуждается заранее определенное число баллов. Если ученик набрал 7 баллов, т.е, решил две первые задачи из четырех ему предложенных, то он получает оценку «3», за 8 баллов присуждается оценка «4». Если же ученик набрал от 11 до 13 баллов, то его оценка «5».

Приведем примеры заданий для зачета.

Билеты к устному ответу.

Билет № 1.

1. Определение перпендикулярности плоскостей. Признак перпендикулярности плоскостей.

2. Постройте проекцию правильного треугольника по трем данным А₁, К₁, М₁ – проекции точек К и М, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно.

Билет № 2.

1.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Через центр вписанной в ромб окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости ромба. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон ромба.

Задания для практической работы (на 1ч)

І вариант

1.Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Точка М, расположенная вне плоскости треугольника, удалена от всех сторон треугольника на 5 см. Определите расстояние от точки М до плоскости треугольника. (3 балла.)

2.Пусть дан куб АВСDА^{/ /} В^/ С^/ D^/ . Какова величина угла между прямыми АD^/ и D^/С? Найдите расстояние между прямыми АА^/ и В^/ D, если ребро куба равно а (4 балла.)

3.Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания. Найдите угол между стороной основания и не пересекающей ее диагональю боковой грани. (4 балла).

4.В кубе АВСDА^{/ /} В^/ С^/ D^/ с ребром а провести сечение через середины ребер, выходящих из одной вершины. Определите: а) площадь сечения, б) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. (5 баллов.)

ІІ вариант

1.Из данной точки к плоскости проведены две наклонные, разность длин которых равна 6см. Их проекции на данную плоскость равны соответственно 27 см и 15 см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости. (3 балла).

2.Пусть дан куб АВСDА^{/ /} В^/ С^/ D^/. Какова величина угла между прямыми АD^/ иB^/D^/? Найти расстояние между прямыми АD^/ и DС^/, если ребро куба равно а (4 балла.)

3. Отрезки двух прямых, заключенные между параллельными плоскостями, относятся как 2:3, а их углы с одной из плоскостей как 2:1. Определите эти углы (4 балла)

4. В кубе АВСDА^{/ /} В^/ С^/ D^/ с ребром а проведите сечение через вершину А и точки E и F – середины А^/D^/ и D^/С^/, Определите площадь сечения и угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. (5 баллов.)

В заключение следует отметить, что знания, не обобщенные и не приведенные в систему, забываются школьниками быстрее. Предложенные уроки повторения могут эффективно решать многие вопросы обучения решению задач по геометрии.

Учитель математики

Кызылжарской СОШ ________________ Пеннер А.С