Единый государственный экзамен по математике. Профильный уровень Задача №19

Единый государственный экзамен по математике.

Профильный уровень

Задача №19

Составили: Петрушенко С.Ю.

Петрушенко И.В

Старый Оскол

2015 год

Знание методики решения банковских задач (сложные задачи на проценты от процентов) необходимо как в повседневной жизни (расчет процентов по кредиту), так и при написании ЕГЭ по математике. С 2015 года в профильный уровень ЕГЭ по математике включено задание №19, которое и является банковской задачей.

Обозначим: a% – процентная ставка по кредиту,

b = 1+ 0,01а,

X – ежегодный или ежемесячный платеж,

S – сумма, взятая в банке,

S_n – сумма долга, тогда

S_n = S·bⁿ - - общая формула для решения банковских задач.

В сборниках задач для подготовки к ЕГЭ 2015 года мы нашли 6 типов банковских задач. Рассмотрим их решение.

Задача № 1

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – первого числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс.рублей?

Решение.

S_n = S·bⁿ - , где b = 1+ 0,01а, а% – процент по кредиту.

b = 1+0,01·1= 1,01. В данной задаче S_n = 0, т.к. кредит выплачен полностью.

Выразим X:

X = – ежемесячные выплаты.

Т.к. по условию задачи X≤ 275000, то ≤ 275000, где b =1,01

Получим неравенство

≤ 0

-264000 bⁿ ≤ -275000

bⁿ ≥ ,

1,01ⁿ ≥ , n ≥ , n ≥ 1,041(6)

Т.к. 1,01² =1,0201

1,01³ = 1,030301

1,01⁴ = 1,04060401

1,01⁵ = 1,0510100501, то n=5

Ответ: 5 месяцев.

Задача № 2

31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на а%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то выплатит долг за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Решение.

S_n = S·bⁿ - , где b = 1+ 0,01а, а% – процент по кредиту.

В данной задаче S_n =0.

По условию задачи, если Никита будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года, получим уравнение

S·b⁴ -

По условию задачи, если Никита будет платить каждый год по 3 513 600 рублей, то выплатит долг за 2 года, получим уравнение

S·b² -

Составим и решим систему уравнений

1440000·b² = 2073600,

b² = 1,44,

b =1,2,

Т.к. b = 1+ 0,01а, то а = 20%

Ответ: 20

Задача № 3

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение.

S_n = S·bⁿ - , где b = 1+ 0,01а, а – процент по кредиту.

b = 1+0,11=1,11

В данной задаче S_n =0, т.к. кредит выплачен полностью.

Выразим S:

S·bⁿ =

S·b² = , Sb²=(b+1)·X, S = ·X

S = ·3 696 300 =6 330 000

Ответ: 6 330 000

Задача№4

31 декабря 2014 года Игорь взял в банке 1млн.рублей в кредит.Схема выплаты кредита следующая-31декабря каждого следующая года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a% ), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 580 тыс.рублей, во второй раз 621,5 тыс.рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю.

Решение.

S_n = S·bⁿ - , где b = 1+ 0,01а, а% – процент по кредиту.

S_n¹ = 1000000b – 580000 – сумма долга после первой выплаты,

S_n² = S_n¹·b – 621500 = 0, т.к. кредит выплачен полностью.

(1000000b – 580000)b – 621500 = 0

10000b² - 5800b – 6215 = 0

2000b² – 1160b – 1243 = 0

D = 11289600 = 3360²

b₁= -5,5 – не удовлетворяет условию задачи

b₂= 1,13, значит, а = 13%

Ответ: 13%

Задача№5

31 декабря 2014 года Федор взял в банке 6951000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Федор переводит в банк платеж. Весь долг Федор выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Решение.

S_n = S·bⁿ - , где b = 1+ 0,01а, а% – процент по кредиту.

b=1+0,01∙a.

По условию тремя выплатами Федор должен погасить кредит полностью, поэтому S∙-∙X=0, откуда X=.

При S=6951000 и а=10, получаем: b=1,1 и X== 2795100

По условию двумя выплатами Федор должен погасить кредит полностью, поэтому S∙-∙X=0, откуда X=.

X== 4005100

Сумма выплаты за три равных платежа равна 3∙2795100 =8385300 рублей.

Сумма выплаты за два равных платежа равна 2∙4005100 =8010200 рублей.

Разница между двумя выплатами равна 8385300-8010200 = 375100 рублей и он бы отдал меньше рублей банку на эту сумму.

Ответ: 375100.

Задача№6

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года ) ?

Решение.

S_n = S·bⁿ - , где b = 1+ 0,01а, а% – процент по кредиту

b=1+0,01∙a.

= S∙-∙X

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому S∙-∙X = 0, откуда X=.

При S=9282000 и а=10, получаем: b=1,1 и X= = 2928200

Ответ: 2928200.

Критерии оценивания задачи №19:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3 балла
Получено верное выражение для ежегодного платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу	2 балла
С помощью верных рассуждений получено уравнение, из которого может быть найдено значение ежегодного платежа, но коэффициенты уравнения неверные из-за ошибки в вычислениях	2 балла
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0 баллов